등거리-변환 그룹의 고정된 점(fixed point of an isometry group)은 그룹에서 모든 각 등거리-변환(isometry)에 대해 고정된 점(fixed point)인 점입니다. 유클리드 공간(Euclidean space)에서 임의의 등거리-변환 그룹(isometry group)에 대해, 고정된 점의 집합은 빈 것이거나 아핀 공간(affine space)입니다.
대상에 대해, 임의의 고유한 중심(centre)과, 보다 일반적으로, 대상과 관련하여 고유한 속성을 갖는 임의의 점은 그것의 대칭 그룹(symmetry group)의 고정된 점입니다.
특히 이것은, 만약 그것이 존재하면, 그림의 도형-중심(centroid)에 적용됩니다. 물리적 몸체의 경우에서, 만약 대칭을 위해 모양뿐만 아니라 밀도까지 고려하면, 그것은 질량의 중심(centre of mass)에 적용됩니다.
만약 대상의 대칭 그룹의 고정된 점의 집합이 한원소(singleton)이면 그 대상은 특정 대칭의 중심(centre of symmetry)을 가집니다. 도형-중심과 질량 중심이, 만약 정의되면, 이 점입니다. "대칭 중심"의 또 다른 의미는 반전 대칭이 적용되는 것에 관한 점입니다. 그러한 점은 고유할 필요는 없습니다; 그렇지 않으면, 평행이동적 대칭(translational symmetry)이 있으며, 따라서 무한하게 많은 그러한 점이 있습니다. 다른 한편으로, 예를 들어 \(C_{3h}\)와 \(D_2\) 대칭의 경우에서 첫 번째 의미에서 대칭 중심이 있지만 반전은 그렇지 않습니다.
만약 대상의 대칭 그룹이 고정된 점을 가지지 않으면 대상은 무한대이고 도형중심과 질량 중심은 정의되지 않습니다.
만약 대상의 대칭 그룹의 고정된 점의 집합이 직선이나 평면이면 대상의 도형중심과 질량 중심과, 만약 정의되면, 대상에 관한 고유한 속성을 가지는 임의의 다른 점이 이 직선 또는 평면 위에 있습니다.
1D
Line : 자명한 등거리-변환 그룹만이 전체 직선을 고정된 상태로 둡니다.
Point : 반사에 의해 생성된 그룹은 고정된 점을 유지합니다.
2D
Plane : 자명한 등거리-변환 그룹 \(C_1\)만이 전체 평면을 고정된 상태로 둡니다.
Line : 임의의 직선에 관한 \(C_s\)는 해당 직선을 고정된 상태로 둡니다.
Point : 임의의 점에 관한 이-차원에서 점 그룹은 해당 점을 고정된 상태로 둡니다.
3D
Space : 자명한 등거리-변환 그룹 \(C_1\)만이 전체 공간을 고정된 상태로 둡니다.
Plane : 평면에 관한 \(C_s\)는 해당 평면을 고정된 상태로 둡니다.
Line : 고정된 직선을 유지하는 등거리-변환 그룹은 해당 직선에 수직인 모든 각 평면에서 직선과 평면의 교차점에 관해 이-차원에서 공통 2D 점 그룹을 가지는 등거리-변환입니다.
- \(C_n\) ( n > 1 ) 및 \(C_{nv}\) ( n > 1 )
- 축에 수직인 평면에서 반사 대칭 없이 원통형 대칭
- 대칭 그룹이 원통형 대칭 그룹의 무한 부분집합인 경우
Point : 모든 다른 삼-차원에서 점 그룹
No fixed points : 등거리-변환 그룹은 평행이동 또는 나사 연산을 포함합니다.
Arbitrary dimension
Point : 모든 각 차원에 적용되는 등거리-변환 그룹의 한 예는 한 점에서 반전에 의해 생성된 것입니다. n-차원 평행육면체(parallelepiped)는 그러한 반전 아래에서 대상 불변의 예입니다.
References
Slavik V. Jablan, Symmetry, Ornament and Modularity, Volume 30 of K & E Series on Knots and Everything, World Scientific, 2002. ISBN 9812380809