기초 대수(elementary algebra)에서, FOIL은 두 이항식(binomials)을 곱하는 표준 방법의 기억법(mnemonic)입니다–따라서 이 방법은 FOIL 방법이라고 참조될 수 있습니다. 단어 FOIL은 곱의 네 항에 대해 머리-문자(acronym)입니다:
- First (각 이항시의 "첫 번째" 항은 함께 곱해집니다)
- Outer ("바깥" 항은 곱해집니다—즉, 첫 번째 이항식의 첫 번째 항과 두 번째의 두 번째 항)
- Inner ("안쪽" 항은 곱해집니다—첫 번째 이항식의 두 번째 항과 두 번째의 첫 번째 항)
- Last (각 이항식의 "마지막" 항은 곱해집니다)
일반적인 형식은 다음입니다:
\(\quad\displaystyle (a + b)(c + d) = \underbrace{ac}_\text{first} + \underbrace{ad}_\text{outside} + \underbrace{bc}_\text{inside} + \underbrace{bd}_\text{last}.\)
a는 "첫 번째" 항과 "바깥" 항 둘 다입니다; b는 "마지막"과 "안쪽" 항, 등임을 주목하십시오. 합에서 네 항의 순서는 중요하지 않고 단어 FOIL에서 문자의 순서와 일치할 필요는 없습니다.
History
FOIL 방법은 분배 법칙(distributive law)을 사용하여 대수적 표현을 곱하는 것에 대해 보다 일반적인 방법의 특별한 경우입니다. 단어 FOIL은 원래 대수학을 배우는 고등학생을 위한 기억법(mnemonic)으로만 의도되었습니다. 그 용어는 윌리엄 배츠의 1929년 텍스트 Algebra for Today에서 나타나며, 여기서 그는 다음과 같이 말합니다:
... 첫 번째 항, 바깥 항, 안쪽 항, 마지막 항. (위에서 언급된 규칙은 역시 단어 first, outer, inner, last의 첫 문자에 의해 제안된, 단어 FOIL에 의한 기억될 수 있습니다.)
윌리엄 배츠는 당시 미국(United States)에서 수학 개혁 운동에 적극적으로 참여했으며, 초등 수학 주제에 대한 많은 글을 썼었고 "수학 교육의 향상에 그의 평생을 바쳤습니다".
지금 미국에서 많은 학생과 교육자들은 "두 이항식의 곱을 전개하다"를 의미하는 동사(verb)로 단어 "FOIL"을 사용합니다.
Examples
그 방법은 선형(linear) 이항식을 곱하기 위해 가장 공통적으로 사용됩니다. 예를 들어,
\(\quad\displaystyle \begin{align}
(x + 3)(x + 5) &= x \cdot x + x \cdot 5 + 3 \cdot x + 3 \cdot 5 \\
&= x^2 + 5x + 3x + 15 \\
&= x^2 + 8x + 15.
\end{align}\)
만약 두 이항식이 뺄셈(subtraction)을 포함하면, 대응하는 항은 부정되어야 합니다. 예를 들어,
\(\quad\displaystyle \begin{align}
(2x - 3)(3x - 4) &= (2x)(3x) + (2x)(-4) + (-3)(3x) + (-3)(-4) \\
&= 6x^2 - 8x - 9x + 12 \\
&= 6x^2 - 17x + 12.
\end{align}\)
The distributive law
FOIL 방법은 분배 법칙(distributive law)을 포함하는 이-단계 과정과 동등합니다:
\(\quad\displaystyle \begin{align}
(a + b)(c + d) &= a(c + d) + b(c + d) \\
&= ac + ad + bc + bd.
\end{align}\)
첫 번째 단계에서, (c + d)는 첫 번째 이항식에서 덧셈에 걸쳐 분배됩니다. 두 번째 단계에서, 분배 법칙은 두 항의 각각을 단순화하기 위해 사용됩니다. 이 과정은 분배 속성의 총 세 가지 응용을 포함함을 주목하십시오. FOIL 방법과 달리, 분배를 사용하는 방법은 삼항식 이상과 같은 더 많은 항을 갖는 곱에 쉽게 적용될 수 있습니다.
Reverse FOIL
FOIL 규칙은 두 이항식의 곱(product)을 넷 (또는 만약 동류항(like terms)이 그때에 결합되면 더 적은 숫자)의 단항식(monomial)의 합(sum)으로 변환합니다. 그 반대 과정은 인수화(factoring) 또는 인수분해(factorization)라고 불립니다. 특히, 만약 위의 증명이 반대로 읽히면, 그것은 그룹화에 의한 인수화(factoring by grouping)라고 불리는 기법을 묘사합니다.
Table as an alternative to FOIL
시각적 기억 도구는 항의 임의의 숫자를 갖는 한 쌍의 다항식에 대해 FOIL 기억법을 대체할 수 있습니다. 왼쪽 가장자리에 첫 번째 다항식의 항과 위쪽 가장자리에 두 번째 항의 항을 갖는 테이블을 만들고, 그런-다음 테이블을 곱(products)으로 채웁니다. FOIL 규칙에 동등한 테이블은 이것처럼 보입니다:
\(\quad\displaystyle \begin{array}{c|cc}
\times & c & d \\
\hline
a & ac & ad \\
b & bc & bd
\end{array}\)
이것들이 다항식, (ax + b)(cx + d)인 경우에서, 주어진 차수의 항이 역-대각선(antidiagonal)을 따라 더함으로써 찾아집니다:
\(\quad\displaystyle \begin{array}{c|cc}
\times & cx & d \\
\hline
ax & acx^2 & adx \\
b & bcx & bd
\end{array}\)
따라서 \((ax + b)(cx + d) = acx^2 + (ad + bc)x + bd\)입니다.
(a + b + c)(w + x + y + z)을 곱하기 위해, 테이블은 다음처럼 될 것입니다:
\(\quad\displaystyle \begin{array}{c|cccc}
\times & w & x & y & z \\
\hline
a & aw & ax & ay & az \\
b & bw & bx & by & bz \\
c & cw & cx & cy & cz
\end{array}\)
테이블 엔트리의 합은 다항식의 곱입니다. 따라서
\(\quad\displaystyle \begin{align}
(a + b + c)(w + x + y + z) &= (aw + ax + ay + az) \\
&+ (bw + bx + by + bz) \\
&+ (cw + cx + cy + cz).
\end{align}\)
유사하게, \((ax^2+bx+c)(dx^3+ex^2+fx+g)\)를 곱하기 위해, 우리는 같은 테이블을 씁니다:
\(\quad\displaystyle \begin{array}{c|cccc}
\times & d & e & f & g \\
\hline
a & ad & ae & af & ag \\
b & bd & be & bf & bg \\
c & cd & ce & cf & cg
\end{array}\)
그리고 반대-대각선을 따라 합합니다:
\(\quad\displaystyle \begin{align}
(ax^2 &+ bx + c)(dx^3 + ex^2 + fx + g) \\
&= adx^5 + (ae + bd)x^4 + (af + be + cd)x^3 + (ag + bf + ce)x^2 + (bg + cf)x + cg.
\end{align}\)
Generalizations
FOIL 규칙은 둘 이상의 피승수를 갖는 곱 또는 둘 이상의 피합수를 갖는 피승수를 전개하기 위해 직접 적용될 수 없습니다. 어쨌든, 결합 법칙(associative law)과 재귀적 포일링을 적용하면 그러한 곱을 전개하는 것을 허용합니다. 예를 들어,
\(\quad\displaystyle \begin{align}
(a + b + c + d)(x + y + z + w) &= ((a + b) + (c + d))((x + y) + (z + w)) \\
&= (a + b)(x + y) + (a + b)(z + w) \\
&+ (c + d)(x + y) + (c + d)(z + w) \\
&= ax + ay + bx + by + az + aw + bz + bw \\
&+ cx + cy + dx + dy + cz + cw + dz + dw.
\end{align}\)
분배를 기반으로 한 대안적인 방법은 FOIL 규칙의 사용을 포기하지만, 기억하고 적용하기가 더 쉬울 수 있습니다. 예를 들어,
\(\quad\displaystyle \begin{align}
(a + b + c + d)(x + y + z + w) &= (a + (b + c + d))(x + y + z + w) \\
&= a(x + y + z + w) + (b + c + d)(x + y + z + w) \\
&= a(x + y + z + w) + (b + (c + d))(x + y + z + w) \\
&= a(x + y + z + w) + b(x + y + z + w) \\
&\qquad + (c + d)(x + y + z + w) \\
&= a(x + y + z + w) + b(x + y + z + w) \\
&\qquad + c(x + y + z + w) + d(x + y + z + w) \\
&= ax + ay + az + aw + bx + by + bz + bw \\
&\qquad + cx + cy + cz + cw + dx + dy + dz + dw.
\end{align}\)
See also
Further reading
- Steege, Ray; Bailey, Kerry (1997). Schaum's Outline of Theory and Problems of Intermediate Algebra. Schaum's Outline Series. New York: McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-060839-9.