기하학(geometry)에서, 플랫(flat) 또는 유클리드 부분공간(Euclidean subspace)은 그 자체로 (더 낮은 차원(dimension)의) 유클리드 공간(Euclidean space)인 유클리드 공간의 부분집합입니다. 이-차원 공간의 플랫은 점(points)과 직선(lines)이고, 삼-차원 공간(three-dimensional space)에서 플랫은 점, 직선, 및 평면(planes)입니다.
n-차원 공간(n-dimensional space)에서, 0에서 n − 1까지 모든 각 차원의 플랫이 있습니다. 차원 n − 1의 플랫은 초평면(hyperplane)이라고 불립니다.
플랫은 유클리드 공간의 아핀 부분공간(affine subspace)이며, 이것은 그것들이 원점(origin)을 통과할 필요가 없다는 것을 제외하고 선형 부분공간(linear subspace)과 비슷함을 의미합니다. 플랫은 선형 방정식 시스템(systems of linear equations)의 해 집합의 기하학적 실현으로 선형 대수(linear algebra)에서 발생합니다.
플랫은 매니폴드(manifold) 및 대수적 다양체(algebraic variety)이고, 때때로 그것을 다른 매니폴드 또는 다양체와 구별하기 위해 선형 매니폴드 또는 선형 다양체라고 불립니다.
Descriptions
By equations
플랫은 선형 방정식의 시스템(system of linear equations)에 의해 표현될 수 있습니다. 예를 들어, 이-차원 공간에서 직선은 x와 y를 포함하는 단일 선형 방정식에 의해 설명될 수 있습니다:
\(\quad 3x + 5y = 8.\)
삼-차원 공간에서, x, y, 및 z를 포함하는 단일 선형 방정식은 평면을 정의하지만, 선형 방정식의 쌍은 직선을 설명하기 위해 사용될 수 있습니다. 일반적으로, n 변수에서 선형 방정식은 초평면을 설명하고, 선형 방정식의 시스템은 그들 초평면의 교차(intersection)를 설명합니다. 방정식이 일관되고 선형적으로 독립(linearly independent)이라고 가정하면, k 방정식의 시스템은 차원 n − k의 플랫을 설명합니다.
Parametric
플랫은 역시 선형 매개변수 방정식(parametric equation)의 시스템에 의해 설명될 수 있습니다. 직선은 하나의 매개변수(parameter)를 포함하는 방정식에 의해 설명될 수 있습니다:
\(\quad x=2+3t,\;\;\;\;y=-1+t\;\;\;\;z=\frac{3}{2}-4t\)
반면에 평면의 설명은 두 매개변수를 요구할 것입니다:
\(\quad x=5+2t_1-3t_2,\;\;\;\; y=-4+t_1+2t_2\;\;\;\;z=5t_1-3t_2.\,\!\)
일반적으로, 차원 k의 플랫의 매개변수화는 매개변수 \(t_1, \cdots, t_k\)를 요구할 것입니다.
Operations and relations on flats
Intersecting, parallel, and skew flats
플랫의 교차(intersection)는 하나의 플랫 또는 빈 집합(empty set)입니다.
만약 하나의 플랫으로부터 각 직선이 또 다른 플랫으로부터 일부 직선에 평행하면, 이들 두 플랫은 평행(parallel)입니다. 같은 차원의 두 평행 플랫은 일치하거나 교차하지 않습니다; 그것들은 오직 그것들의 오른쪽 변이 다른 선형 방정식의 두 시스템에 의해 설명될 수 있습니다.
만약 플랫이 교차하지 않고, 첫 번째 플랫으로부터 직선이 두 번째 플랫으로부터 직선과 평행하지 않으면, 이것들은 꼬인 플랫(skew flats)입니다. 그것은 오직 그들의 차원의 합이 주변 공간의 차원보다 작으면 가능합니다.
Join
차원 \(k_1\) 및 \(k_2\)의 두 플랫에 대해, 그것들을 포함하는, 많아야 \(k_1+k_2+1\) 차원의 최소 플랫이 존재합니다. 만약 두 플랫이 교차하면, 플랫을 포함하는 것의 차원은 \(k_1+k_2\) 빼기 교차의 차원과 같습니다.
Properties of operations
이들 두 연산은 (만남과 결합으로 참조되며) 유클리드 n-공간 격자(lattice)에서 모든 플랫의 집합을 만들고 임의의 차원에서 플랫에 대해 체계적인 좌표를 구축할 수 있으며, 그라스만 좌표(Grassmann coordinates) 또는 이중 그라스만 좌표로 이어집니다. 예를 들어, 삼-차원 공간에서 직선은 두 구별되는 점 또는 두 구별되는 평면에 의해 결정됩니다.
어쨌든, 모든 플랫의 격자는 분배 격자(distributive lattice)가 아닙니다. 만약 두 직선 \(\ell_1\) 및 \(\ell_2\)가 교차하면, \(\ell_1 \cap \ell_2\)는 하나의 점입니다. 만약 p가 점이고 같은 평면 위에 놓이지 않으면, \((\ell_1 \cap \ell_2)+ p = (\ell_1+p) \cap (\ell_2 + p)\)이며, 둘 다 직선을 나타냅니다. 그러나 \(\ell_1\)과 \(\ell_2\)가 평행일 때, 이 분배성(distributivity)은 실패하며, 왼쪽 변에서 p와 오른쪽 변에서 세 번째 평행한 직선을 제공합니다.
Euclidean geometry
앞서 언급한 사실은 유클리드 공간의 구조 (즉, 유클리드 거리(Euclidean distance) 포함)에 의존하지 않고 임의의 아핀 공간(affine space)에서 정확합니다. 유클리드 공간에서:
- 플랫과 점 사이의 거리가 있습니다. (예를 들어 점에서 평면까지의 거리(Distance from a point to a plane) 및 점에서 직선까지의 거리(Distance from a point to a line)를 참조하십시오.)
- 두 플랫 사이의 거리가 있으며, 만약 그것들이 교차하면 0과 같습니다. (예를 들어 (같은 평면에서) 두 직선 사이의 거리(Distance between two lines) 및 꼬인 직선 사이의 거리를 참조하십시오.)
- 두 플랫 사이의 각도(angle)가 있으며, 이것은 구간 [0, π/2], 즉 0과 직각(right angle) 사이에 속합니다. (예를 들어 (두 평면 사이에) 이면 각도(Dihedral angle)를 참조하십시오. 역시 플랫 사이의 각도(Angles between flats)를 참조하십시오.)
See also
References
- Heinrich Guggenheimer (1977) Applicable Geometry,page 7, Krieger, New York.
- Stolfi, Jorge (1991), Oriented Projective Geometry, Academic Press, ISBN 978-0-12-672025-9
From original Stanford Ph.D. dissertation, Primitives for Computational Geometry, available as DEC SRC Research Report 36.
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