유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서 점에서 직선까지 거리(distance from a point to a line)는 주어진 점(point)에서 무한한 똑바른 직선(straight line) 위의 임의의 점까지 가장-짧은 거리(distance)입니다. 그것은 직선에 대한 점의 수직(perpendicular) 거리, 점을 직선 위의 가장 가까운 점에 연결하는 선분(line segment)의 길이입니다. 그것을 계산하는 공식은 여러-가지 방법으로 유도되고 표현될 수 있습니다.
점에서 직선까지 거리를 아는 것은 다양한 상황—예를 들어, 도로에 도달하는 가장-짧은 거리를 찾는 것, 그래프 위의 분산된-것을 정량화하는 것, 등에서 유용할 수 있습니다. 데밍 회귀(Deming regression)에서, 선형 곡선 피팅의 하나의 유형, 만약 종속 및 독립 변수는 같은 분산을 가지면, 이것은 직교 회귀(orthogonal regression)를 결과로써 생기는데, 그것에서 적합의 불완전성의 정도는 회귀 직선으로부터 점의 수직 거리로 각 데이터 점에 대해 측정됩니다.
Cartesian coordinates
Line defined by an equation
방정식 ax + by + c = 0로 주어진 평면에서 직선의 경우에서, 여기서 a, b 및 c는 a와 b가 모두 영은 아닌 실수(real) 상수이며, 직선에서 점 \((x_0,y_0)\)까지 거리는 다음입니다:
\(\quad\)\(\displaystyle \operatorname{distance}(ax+by+c=0, (x_0, y_0)) = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\)
\(x_0, y_0)\)에 가장-가까운 이 직선 위의 점은 다음 좌표를 가집니다:
\(\quad\)\(\displaystyle x = \frac{b(bx_0 - ay_0)-ac}{a^2 + b^2} \text{ and } y = \frac{a(-bx_0 + ay_0) - bc}{a^2+b^2}.\)
수평 및 수직 직선
직선의 일반 방정식 ax + by + c = 0에서, 만약 c가 영이 아니면 a와 b는 절대 모두 0이 될 수 없습니다. 그렇지 않으면, 방정식은 직선을 정의하지 않습니다. 만약 a = 0 및 b ≠ 0이면, 직선은 수평이고 방정식 y = −c/b를 가집니다. \((x_0, y_0)\)에서 이 직선까지 거리는 수직 선분을 따라 측정되는데, 길이 \(|y_0 - (-c/b)| = |by_0+c|/|b|\)는 공식과 일치합니다. 마찬가지로, 수직선 (b = 0)에 대해, 같은 점과 직선 사이의 거리는, 수평 선분을 따라 측정되므로, \(|ax_0+c|/|a|\)입니다.
Line defined by two points
만약 직선이 두 점 \(P_1=(x_1,y_1)\) 및 \(P_2=(x_2,y_2)\)를 통과하면, 직선으로부터 \((x_0,y_0)\)의 거리는 다음입니다:
\(\quad\)\(\displaystyle \operatorname{distance}(P_1, P_2, (x_0, y_0)) = \frac{|(y_2-y_1)x_0-(x_2-x_1)y_0+x_2 y_1-y_2 x_1|}{\sqrt{(y_2-y_1)^2+(x_2-x_1)^2}}.\)
이 표현의 분모는 \(P_1\)과 \(P_2\) 사이의 거리입니다. 분자는 세 점, \((x_0,y_0)\), \(P_1\) 및 \(P_2\)에서 꼭짓점을 갖는 삼각형의 넓이의 두 배입니다. Area of a triangle § Using coordinates를 참조하십시오. 그 표현은 \(h=\frac{2A}{b}\)와 동등하며, 이것은 삼각형의 넓이에 대해 표준 공식을 다시-정렬함으로써 얻어질 수 있습니다: \(A=\frac12 bh\), 여기서 b는 변의 길이이고, h는 대-꼭짓점으로부터 수직 높이입니다.
Proofs
An algebraic proof
이 증명은 만약 직선이 수직 또는 수평 둘 다가 아니면, 유효합니다. 즉, 우리는 직선의 방정식에서 a와 b가 모두 영이 아니라고 가정합니다.
방정식 ax + by + c = 0를 가진 직선은 기울기 –a/b를 가지므로, 그것에 직교하는 임의의 직선은 기울기 b/a (음의 역수)를 가질 것입니다. (m, n)을 직선 ax + by + c = 0 및 점 \((x_0,y_0)\)을 통과하는 그것과 직각인 직선의 교점으로 놓습니다. 이들 두 점을 통과하는 직선은 원래 직선과 수직이므로,
\(\quad\)\(\displaystyle \frac{y_0 - n}{x_0 - m}=\frac{b}{a}.\)
따라서, \(a(y_0 -n) - b(x_0 - m) = 0,\) 및 이 방정식을 제곱함으로써 우리는 다음을 얻습니다:
\(\quad\)\(a^2(y_0 - n)^2 + b^2(x_0 - m)^2 = 2ab(y_0 - n)(x_0 - m).\)
이제 다음을 생각해 보십시오,
\(\quad\)\((a(x_0 - m) + b(y_0 - n))^2 \)
\(\quad\)\(= a^2(x_0 - m)^2 + 2ab(y_0 -n)(x_0 - m) + b^2(y_0 - n)^2 \)
\(\quad\)\(= (a^2 + b^2)((x_0 - m)^2 + (y_0 - n)^2)\)
이것은 위의 제곱된 방정식을 사용한 결과입니다. 그러나 우리는 역시 다음을 가집니다:
\(\quad\)\((a(x_0 - m) + b(y_0 - n))^2 = (ax_0 + by_0 - am -bn )^2 = (ax_0 + by_0 + c)^2\)
왜냐하면 (m, n)은 ax + by + c = 0 위에 있기 때문입니다. 따라서,
\(\quad\)\((a^2 + b^2)((x_0 - m)^2 + (y_0 - n)^2) = (ax_0 + by_0 + c)^2\)
및 우리는 이들 두 점에 의해 선분의 길이를 얻습니다:
\(\quad\)\(\displaystyle d=\sqrt{(x_0 - m)^2+(y_0 - n)^2}= \frac{|ax_0+ by_0 +c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\)
A geometric proof
이 증명은 직선이, 만약 수평 또는 수직가 아니면, 단지 유효합니다.
좌표\((x_0,y_0)\)를 가진 점 P에서 방정식 Ax + By + C = 0를 가진 직선에 수직으로 떨어뜨립니다. 수선의 발을 R로 놓습니다. P를 통과하는 수직 직선을 그리고 주어진 직선과 교점을 S로 놓습니다. 직선 위의 임의의 점 T에서, 그의 변이 주어진 직선과 길이 |B|의 가로 변 위에 빗변 TU를 가진 수평 및 수직 선분인 직각 삼각형 TVU를 그리십시오 (다이어그램을 참조하십시오). ΔTVU의 수직 변은 길이 |A|를 가질 것인데 왜냐하면 직선은 기울기 –A/B를 가지기 때문입니다.
∆PRS와 ∆TVU는 닮은 삼각형(similar triangles)인데, 왜냐하면 그들은 둘 다 직각 삼각형이고 ∠PSR ≅ ∠TUV이기 때문으로써, 두 각은 평행 직선 PS 및 UV (둘 다 수직 직선입니다)에 대한 횡단의 해당하는 각도이기 때문입니다. 이들 삼각형의 대응하는 변은 같은 비율에 있으므로,
\(\quad\)\(\displaystyle \frac{|\overline{PR}|}{|\overline{PS}|} = \frac{|\overline{TV}|}{|\overline{TU}|}.\)
만약 점 S가 좌표 \((x_0,m)\)를 가지면, \(|PS|=|y_0-m|\)이고 P에서 직선까지 거리는 다음입니다:
\(\quad\)\(\displaystyle |\overline{PR} | = \frac{|y_0 - m||B|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.\)
S는 직선 위에 있으므로, 우리는 m의 값을 찾을 수 있습니다:
\(\quad\)\(\displaystyle m = \frac{-Ax_0 - C}{B},\)
그리고 마침내 다음을 획득합니다:
\(\quad\)\(\displaystyle |\overline{PR}| = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.\)
이 증명의 변형은 P에 V를 놓고 \(D|\overline{TU}| = |\overline{VU}||\overline{VT}|\)임을 얻기 위해 두 방법으로 삼각형 ΔUVT의 넓이를 계산하며, 여기서 D는 P에서 ∆UVT의 빗변으로 그려진 ∆UVT의 고도입니다. 거리 공식은 그런-다음 P의 좌표와 표시된 공식을 얻기 위한 직선의 방정식의 계수에 관한 \(|\overline{TU}|\), \(|\overline{VU}|\), 및 \(|\overline{VT}|\)을 표현하기 위해 사용됩니다.
A vector projection proof
P를 좌표 \((x_0,y_0)\)를 가진 점으로 놓고 주어진 직선은 방정식 ax + by + c = 0을 가진 것으로 놓습니다. 또한, \(Q=(x_1,y_1)\)를 이 직선 위의 임의의 점 및 \(\vec{n}\)을 점 Q에서 시작하는 벡터 (a, b)로 놓습니다. 벡터 \(\vec{n}\)은 직선에 수직이고, 점 P에서 직선까지 거리 d는 \(\vec{n}\) 위의 \(\vec{QP}\)의 직교 투영의 길이와 같습니다. 이 투영의 길이는 다음으로 제공됩니다:
\(\quad\)\(\displaystyle d = \frac{|\overrightarrow{QP} \cdot \vec{n}|}{\| \vec{n}\|}.\)
이제,
\(\quad\)\(\displaystyle \overrightarrow{QP} = (x_0 - x_1, y_0 - y_1)\)이므로, \( \overrightarrow{QP} \cdot \vec{n} = a(x_0 - x_1) + b(y_0 - y_1)\)이고 \( \| \vec{n} \| = \sqrt{a^2 + b^2},\)
따라서
\(\quad\)\(\displaystyle d = \frac{|a(x_0 - x_1) + b(y_0 - y_1)|}{\sqrt{a^2 + b^2}}.\)
Q는 직선 위의 점이므로, \(c=-ax_1-by_1\)이고, 따라서,
\(\quad\)\(\displaystyle d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}.\)
Another formula
점과 직선 사이의 가장-짧은 거리를 찾기 위해 또 다른 표현을 생성할 수 있습니다. 이 파생은 직선이 수직 또는 수평이 아닌 것을 역시 요구합니다.
점 P는 좌표 \((x_0,y_0)\)로 주어집니다. 직선의 방정식은 \(y=mx+k\)로 제공됩니다. 점 P를 통과하는 그 직선의 법선의 방정식은 \(y=\frac{x_0-x}{m} + y_0\)로 제공됩니다.
이들 두 직선이 교차하는 점은 점 P에서 원래 직선 위의 가장-가까운 점입니다. 그러므로:
\(\quad\)\(\displaystyle mx+k=\frac{x_0-x}{m}+y_0.\)
우리는 이 방정식을 x에 대해 풀 수 있습니다:
\(\quad\)\(\displaystyle x=\frac{x_0+my_0-mk}{m^2+1}.\)
교차의 점의 y-좌표는 x의 이 값을 원래 직선의 방정식에 대입함으로써 구해질 수 있습니다:
\(\quad\)\(\displaystyle y=m\frac{(x_0+my_0-mk)}{m^2+1}+k.\)
두 점 사이의 거리를 찾는 방정식을 사용하면, 이므로, 우리는 직선과 점 사이의 가장-짧은 거리를 찾는 공식은 다음임을 추론할 수 있습니다:
\(\quad\)\(\displaystyle d=\sqrt{ \left(\frac{x_0 + m y_0-mk}{m^2+1}-x_0 \right)^2 + \left( m\frac{x_0+m y_0-mk}{m^2+1}+k-y_0\right)^2}\)
\(\quad\)\(\displaystyle =\frac{|k + m x_0 - y_0|}{\sqrt{1 + m^2}} .\)
방정식 ax + by + c = 0을 가진 직선에 대해, m = -a/b 및 k = - c/b임을 다시-기억해 내십시오. 작은 대수적 단순화는 이것을 표준 표현으로 감소시킵니다.
Vector formulation
직선의 방정식은 벡터(vector) 형식으로 제공될 수 있습니다:
\(\quad\)\( \vec{x} = \vec{a} + t\vec{n}\)
여기서 \(\vec{a}\)는 직선 위의 한 점의 위치이고, \(\vec{n}\)은 직선의 방향에서 단위 벡터(unit vector)입니다. 그런-다음 스칼라 \(t\)가 변하므로, \(\vec{x}\)는 직선의 자취(locus)를 제공합니다.
이 직선에 대한 임의의 점 \(\vec{p}\)의 거리는 다음으로 제공됩니다:
\(\quad\)\(\operatorname{distance}(\vec{x} = \vec{a} + t\vec{n}, \vec{p}) = \| (\vec{a}-\vec{p}) - ((\vec{a}-\vec{p}) \cdot \vec{n})\vec{n} \|. \)
이 공식은 다음으로 구해질 수 있습니다: \(\vec{a}-\vec{p}\)는 \(\vec{p}\)에서 직선 위의 점 \(\vec{a}\)까지 벡터입니다. 그런-다음 \((\vec{a} - \vec{p}) \cdot \vec{n}\)은 직선 위로 투영된 길이이고, 그래서
\(\quad\)\(((\vec{a} - \vec{p}) \cdot \vec{n})\vec{n}\)
는 직선 위로 \(\vec{a}-\vec{p}\)의 투영(projection)인 벡터입니다. 따라서
\(\quad\)\((\vec{a}-\vec{p}) - ((\vec{a}-\vec{p}) \cdot \vec{n})\vec{n}\)
은 그 직선에 수직인 \(\vec{a}-\vec{p}\)의 성분입니다. 점에서 직선까지 거리는, 그런-다음, 단지 벡터(norm)의 노름입니다. 이 보다 일반적인 공식은 이-차원에 제한되지 않습니다.
Another vector formulation
만약 벡터가 직교-정규(orthonormal)이고 직선 (l )이 점 A를 지나고 방향 벡터(direction vector) \(\vec{u}\)를 가지면, 점 P와 직선 (l) 사이의 거리는 다음입니다:
\(\quad\)\(\displaystyle d(\mathrm{P}, (l))= \frac{\left\|\overrightarrow{\mathrm{AP}} \times\vec u\right\|}{\|\vec u\|}\)
여기서 \(\overrightarrow{\mathrm{AP}} \times\vec u\)는 벡터 \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) 및 \(\vec u\)의 교차 곱(cross product)이고 \(\|\vec u\|\)는 \(\vec u\)의 벡터 노름입니다.
교차 곱은 오직 차원 3과 7에서 존재하는 것에 주목하십시오.
See also
- Hesse normal form
- Line-line intersection
- Distance between two lines
- Distance from a point to a plane
- Skew lines#Distance
References
- Anton, Howard (1994), Elementary Linear Algebra (7th ed.), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58742-7
- Ballantine, J.P.; Jerbert, A.R. (1952), "Distance from a line or plane to a point", American Mathematical Monthly, 59: 242–243, doi:10.2307/2306514
- Larson, Ron; Hostetler, Robert (2007), Precalculus: A Concise Course, Houghton Mifflin Co., ISBN 0-618-62719-7
- Spain, Barry (2007) [1957], Analytical Conics, Dover Publications, ISBN 0-486-45773-7
Further reading
- Deza, Michel Marie; Deza, Elena (2013), Encyclopedia of Distances (2nd ed.), Springer, p. 86, ISBN 9783642309588
