기하학(geometry)에서, 헤론의 공식 (Heron's formula, 때때로 Hero's formula로 불림)은, 알렉산드리아의 히이로(Hero of Alexandria)의 이름을 따서 지어졌으며, 모든 세 변의 길이가 알려져 있을 때 삼각형(triangle)의 넓이(area)를 제공합니다. 다른 삼각형 넓이 공식과 달리, 먼저 삼각형에서 각도 또는 다른 거리를 계산할 필요가 없습니다.
Formulation
헤론의 공식은 그것의 변이 길이 a, b, and c를 가지는 삼각형(triangle)의 넓이(area)는 다음임을 말합니다:
\(\quad\)\(A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\)
여기서 s는 삼각형의 반-둘레(semi-perimeter); 즉, 다음입니다:
\(\quad\)\(\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2}.\)
헤론의 공식은 역시 다음으로 쓰일 수 있습니다:
\(\quad\)\(\displaystyle A=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}\)
\(\quad\)\(\displaystyle A=\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}\)
\(\quad\)\(\displaystyle A=\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}\)
\(\quad\)\(\displaystyle A=\frac{1}{4}\sqrt{4(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^2+b^2+c^2)^2}\)
\(\quad\)\(\displaystyle A=\frac{1}{4}\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}.\)
Example
\(\triangle \rm{ABC}\)를 변 \(a = 4, b = 13\)와 \(c = 15\)를 갖는 삼각형으로 놓습니다. 이 삼각형의 반-둘레는 \(s = \frac12 (a + b + c) = \frac12 (4 + 13 + 15) = 16\)이고, 넓이는 다음입니다:
\(\quad\)\(\begin{align}
A &= \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)} = \sqrt{16 \cdot (16-4) \cdot (16-13) \cdot (16-15)}\\
&= \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{576} = 24.
\end{align}\)
이 예제에서, 변 길이와 넓이는 정수(integer)이며, 그것을 헤론 삼각형(Heronian triangle)으로 만듭니다. 어쨌든, 헤론의 공식은 이들 숫자 중 하나 또는 모두가 정수가 아닌 경우에도 똑같이 잘 작동합니다.
History
그 공식은 안렉산드리아의 헤론 (또는 히이로)(Heron (or Hero) of Alexandria)로 공인되고, 증명은 약 CE 60년에 쓰인, 그의 책, Metrica에서 찾아질 수 있습니다. 아르키메데스(Archimedes)는 2세기 전에 그 공식을 알고 있었다고 제안되어 왔고, Metrica는 고대 세계에서 사용할 수 있는 수학적 지식의 모음이기 때문에, 그 공식이 해당 연구에서 주어진 참조보다 이전에 존재했을 가능성이 있습니다.
헤론의 것과 동등한 공식, 즉, 다음은
\(\quad\)\(\displaystyle A=\frac1{2}\sqrt{a^2c^2-\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2}\right)^2}\)
그리스와 독립적으로 중국인에 의해 발견되었습니다. 그것은 Mathematical Treatise in Nine Sections (진규소(Qin Jiushao), 1247)에 게재되었습니다.
Proofs
헤론의 원래 증명은 순환 사변형(cyclic quadrilateral)을 사용해서 만들었습니다. 다른 논증은 아래에서 처럼 삼각법(trigonometry)을 사용, 삼각형의 내중심(incenter)과 외-원(excircle)을 사용, 또는 드 가의 정리(de Gua's theorem) (예각 삼각형의 특별한 경우)를 사용합니다.
Trigonometric proof using the law of cosines
대수(algebra)를 사용하고 헤론에 의해 (그의 저서 Metrica에서) 제공된 것과 꽤 다른 현대적인 증명은 다음과 같습니다. a, b, c를 삼각형의 변이고 놓고 α, β, γ를 그것들 변의 반대편 각도(angle)로 놓습니다. 코사인의 법칙(law of cosines)을 적용하면 우리는 다음을 얻습니다:
\(\quad\)\(\displaystyle \cos \gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
이 증명으로부터, 우리는 다음이라는 대수적 명제를 얻습니다:
\(\quad\)\(\displaystyle \sin \gamma = \sqrt{1-\cos^2 \gamma} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}.\)
밑변 a에 대한 삼각형의 고도(altitude)는 길이 b sin γ를 가지고, 다음을 따릅니다:
\(\quad\)\(\begin{align}
A & = \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{altitude}) \\
& = \frac{1}{2} ab\sin \gamma \\
& = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2} \\
& = \frac{1}{4}\sqrt{(2a b -(a^2 +b^2 -c^2))(2a b +(a^2 +b^2 -c^2))} \\
& = \frac{1}{4}\sqrt{(c^2 -(a -b)^2)((a +b)^2 -c^2)} \\
& = \sqrt{\frac{(c -(a -b))(c +(a -b))((a +b) -c)((a +b) +c)}{16}} \\
& = \sqrt{\frac{(b + c - a)}{2}\frac{(a + c - b)}{2}\frac{(a + b - c)}{2}\frac{(a + b + c)}{2}} \\
& = \sqrt{\frac{(a + b + c)}{2}\frac{(b + c - a)}{2}\frac{(a + c - b)}{2}\frac{(a + b - c)}{2}} \\
& = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.
\end{align}\)
두 제곱의 차이(difference of two squares) 인수분해는 두 다른 단계에서 사용되었습니다.
Algebraic proof using the Pythagorean theorem
다음 증명은 라이파이젠(Raifaizen)에 의해 제시된 것과 매우 유사합니다. 피타고라스 정리에 의해, 우리는 오른쪽 그림에 따라 \(b^2=h^2+d^2\) 및 \(a^2=h^2+(c-d)^2\)를 가집니다. 이것들을 빼면 \(a^2-b^2=c^2-2cd\)를 산출합니다. 이 방정식은 삼각형의 변의 관점에서 \(d\)를 표현하는 것을 허용합니다:
\(\quad\)\(\displaystyle d=\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c}\)
삼각형의 높이에 대해, 우리는 \(h^2=b^2-d^2\)임을 가집니다. d를 위에서 주어진 공식에 대체하고 제곱의 차이(difference of squares) 항등식을 적용하면 우리는 다음을 얻습니다:
\(\quad\)\(\begin{align}
h^2 & = b^2-\left(\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c}\right)^2\\
& = \frac{(2bc-a^2+b^2+c^2)(2bc+a^2-b^2-c^2)}{4c^2}\\
& = \frac{((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c)^2)}{4c^2}\\
& = \frac{(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^2}\\
& = \frac{2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^2}\\
& = \frac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^2}
\end{align}\)
우리는 이제 이 결과를 그것의 높이로부터 삼각형의 넓이를 계산하는 공식에 적용합니다:
\(\quad\)\(\begin{align}
A & = \frac{ch}{2}\\
& = \sqrt{\frac{c^2}{4}\cdot \frac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^2}}\\
& = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
\end{align}\)
Trigonometric proof using the law of cotangents
코탄젠트의 법칙(Law of cotangents) 증명의 첫 번째 부분으로부터, 우리는 삼각형의 넓이가 다음과 A = rs 둘 다를 가집니다:
\(\quad\)\(\begin{align}
A &= r\big((s-a) + (s-b) + (s-c)\big) = r^2\left(\frac{s-a}{r} + \frac{s-b}{r} + \frac{s-c}{r}\right) \\
&= r^2\left(\cot{\frac{\alpha}{2}} + \cot{\frac{\beta}{2}} + \cot{\frac{\gamma}{2}}\right)
\end{align}\)
그러나, 반-각의 합이 π/2이기 때문에, 세-쌍 코탄젠트 항등식(triple cotangent identity)이 적용되므로, 이것들의 첫 번째는 다음입니다:
\(\quad\)\(\begin{align}
A &= r^2\left(\cot{\frac{\alpha}{2}} \cot{\frac{\beta}{2}} \cot{\frac{\gamma}{2}}\right) = r^2\left( \frac{s-a}{r}\cdot \frac{s-b}{r}\cdot \frac{s-c}{r}\right) \\
&= \frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{r} \\
\end{align}\)
둘을 결합하면, 우리는 다음을 얻습니다:
\(\quad\)\(A^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)\)
이것으로부터 그 결과가 따릅니다.
Numerical stability
위에 주어진 헤론의 공식은 부동 점 산술을 사용할 때 매우 작은 각도를 갖는 삼각형에 대해 수치적으로 불안정(numerically unstable)입니다. 안정적인 대안은 \(a \ge b \ge c\)가 되도록 변의 길이를 배열하고 계산하는 것입니다:
\(\quad\)\(\displaystyle A = \frac{1}{4}\sqrt{(a+(b+c)) (c-(a-b)) (c+(a-b)) (a+(b-c))}.\)
위의 공식에서 괄호는 평가에서 수치적 불안정성을 방지하기 위해 요구됩니다.
Other area formulae resembling Heron's formula
세 가지 다른 넓이 공식은 헤론의 공식과 같은 구조를 가지지만 다른 변수의 관점에서 표현됩니다. 먼저, 변 \(a, b\), 및 \(c\)로부터 중앙선을 각각 \(m_a, m_b\), 및 \(m_c\)로 표시하고 그것들의 반-합 \(\frac12 (m_a+m_b+m_c)\)을 \(\sigma\)으로 표시하면, 우리는 다음을 가집니다:
\(\quad\)\(\displaystyle A = \frac{4}{3} \sqrt{\sigma (\sigma - m_a)(\sigma - m_b)(\sigma - m_c)}.\)
다음으로, 변 \(a,b\), 및 \(c\)로부터 고도를 각각 \(h_a,h_b\), 및 \(h_c\)로 표시하고, 고도의 역수의 반-합을 \(H = \frac12 \left( h_a^{-1}+H_b^{-1} + h_c^{-1} \right)\)로 표시하면, 우리는 다음을 가집니다:
\(\quad\)\(\displaystyle A^{-1} = 4 \sqrt{H(H-h_a^{-1})(H-h_b^{-1})(H-h_c^{-1})}.\)
마지막으로, 각도의 사인의 반-합을 \(S=\frac12 (\sin \alpha + \sin \beta+ \sin \gamma)\)로 표시하면, 우리는 다음을 가집니다:
\(\quad\)\(\displaystyle A = D^{2} \sqrt{S(S-\sin \alpha)(S-\sin \beta)(S-\sin \gamma)}\)
여기서 D는 둘레원의 지름입니다:
Generalizations
헤론의 공식은 순환 사변형(cyclic quadrilateral)의 넓이에 대해 브라마굽타의 공식(Brahmagupta's formula)의 특별한 경우입니다. 헤론의 공식과 브라마굽타의 공식은 둘 다 사변형(quadrilateral)의 넓이에 대한 브레치나이더 공식(Bretschneider's formula)의 특별한 경우입니다. 헤론의 공식은 브라마굽타의 공식 또는 브레치나이더의 공식에서 사각형의 변 중 하나를 영으로 설정함으로써 얻어질 수 있습니다.
헤론의 공식은 역시 그것의 변을 오직 기반으로 사다리꼴 또는 부등변 사변형의 넓이에 대한 공식(formula)의 특별한 경우입니다. 헤론의 공식은 더 작은 평행 변을 영으로 설정함으로써 얻어집니다.
주어진 세 꼭짓점 사이의 거리(distance)의 제곱의 관점에서 케일리–멩거 행렬식(Cayley–Menger determinant)과 함께 헤론의 공식을 표현하면,
\(\quad\)\(\displaystyle A = \frac{1}{4} \sqrt{- \begin{vmatrix}
0 & a^2 & b^2 & 1 \\
a^2 & 0 & c^2 & 1 \\
b^2 & c^2 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0
\end{vmatrix} }\)
이것은 삼-심플렉스(three-simplex)의 부피(volume)에 대한 타르탈리아의 공식(Tartaglia's formula)과 유사성을 묘사합니다.
원에 내접시키는 오각형과 육각형에 대한 헤론 공식의 또 다른 일반화는 데이비드 피터 로빈스(David P. Robbins)에 의해 발견되었습니다.
Heron-type formula for the volume of a tetrahedron
만약 U, V, W, u, v, w가 사면체(tetrahedron)의 가장자리의 길이이면 (처음 셋이 삼각형을 형성합니다; u가 U의 반대편에 있고 그런 식입니다), 다음입니다:
\(\quad\)\(\displaystyle \text{volume} = \frac{\sqrt {\,( - a + b + c + d)\,(a - b + c + d)\,(a + b - c + d)\,(a + b + c - d)}}{192\,u\,v\,w}\)
여기서
\(\quad\)\(\begin{align} a & = \sqrt {xYZ} \\ b & = \sqrt {yZX} \\ c & = \sqrt {zXY} \\ d & = \sqrt {xyz} \\ X & = (w - U + v)\,(U + v + w) \\ x & = (U - v + w)\,(v - w + U) \\ Y & = (u - V + w)\,(V + w + u) \\ y & = (V - w + u)\,(w - u + V) \\ Z & = (v - W + u)\,(W + u + v) \\ z & = (W - u + v)\,(u - v + W). \end{align} \)
External links
- A Proof of the Pythagorean Theorem From Heron's Formula at cut-the-knot
- Interactive applet and area calculator using Heron's Formula
- J.H. Conway discussion on Heron's Formula
- "Heron's Formula and Brahmagupta's Generalization". MathPages.com.
- A Geometric Proof of Heron's Formula
- An alternative proof of Heron's Formula without words
- Factoring Heron
