(번역) Ceva's theorem

체바의 정리(Ceva's theorem)는 평면 기하학(plane geometry)에서 삼각형(triangle)에 대한 하나의 정리입니다. 삼각형 ABC가 주어지면, 직선 AO, BO 및 CO를 꼭짓점에서 (ABC의 변의 점이 아닌) 공통 점 O에서 그려진 것으로, D, E 및 F에서 대변과 각각 만나는 것으로 놓습니다. (선분 AD, BE 및 CF는 체바선(cevian)으로 알려져 있습니다.) 그런 다음, 선분의 부호화된 길이를 사용하여

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1.\)

다시 말해서, 길이 AB는 직선의 어떤 고정된 방향에서 A가 B의 왼쪽 또는 오른쪽에 있는지에 따라 양 또는 음으로 여겨집니다. 예를 들어, AF/FB는 F가 A와 B 사이에 있을 때 양수 값을 갖고 그렇지 않으면 음수를 갖는 것으로 정의됩니다.

세바의 정리는 (같은-직선(collinear:공선)인 두 선분(line segment)의 길이의 비율을 제외한) 각도, 넓이, 및 길이의 개념을 사용하지 않고 명시되고 증명될 수 있다는 의미에서 아핀 기하학(affine geometry)의 하나의 정리입니다. 그것은 따라서 임의의 필드(field)에 걸쳐 아핀 평면(affine plane) 안의 삼각형에 대해 참입니다.

약간 조정된 역(converse)도 역시 참입니다: 만약 점 D, E 및 F가 각각 BC, AC 및 AB 위에 선택되고 다음이면

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1,\)

AD, BE 및 CF는 (같은 점을 지나는) 공점(concurrent)이거나, 또는 모든 세 직선은 평행(parallel)합니다. 역은 종종 정리의 부분으로 포함됩니다.

이 정리는 종종 지오바니 체바(Giovanni Ceva)에 기인하며, 그는 그의 1678년 작품 De lineis rectis에 그것을 발표했습니다. 그러나 그것은 사라고사(Zaragoza)의 11세기 왕, 유수프 알-뮤타만 이븐 허드(Yusuf Al-Mu'taman ibn Hűd)에 의해 훨씬 일찍 증명되었습니다.

체바의 이름에서 파생된 여러 용어가 그림과 관련되어 있습니다: 체바선(cevian) (직선 AD, BE, CF는 O의 체바선들입니다), 체바선 삼각형(cevian triangle) (삼각형 DEF는 O의 체바선 삼각형입니다); 체바선 네스트, 안티체바선 삼각형, 체바 켤레 (Ceva는 체바, cevian은 체비안으로 발음됩니다.)

이 정리는 메넬라우스의 정리(Menelaus' theorem)와 매우 유사한데, 그들 방정식은 오직 부호만 다릅니다.

Proofs

정리의 몇 가지 증명이 제시되어 왔습니다. 그중에서 두 가지 증명이 아래에 제공됩니다.

첫 번째 하나는, 오직 삼각형 넓이의 기본 속성을 사용하여, 매우 기초적입니다. 어쨌든, 점 O의 위치에 따라, 몇 가지 경우가 고려되어야 합니다.

두 번째 증명은 질량중심 좌표(barycentric coordinates)와 벡터(vectors)를 사용하지만, 약간 더 자연스럽고 대소 문자에 의존하지 않습니다. 게다가, 그것은 임의의 필드(field)에 걸쳐 임의의 아핀 평면(affine plane)에서 작동합니다.

Using triangle areas

첫 번째, 왼쪽 변(left-hand side)의 부호는 양수인데, 왜냐하면 세 가지 비율 모두가 양수, 즉 O가 삼각형 안에 있는 경우 (위의 다이어그램), 또는 하나가 양수이고 다른 두 개가 음수, 즉 O가 삼각형 바깥쪽에 있는 경우 (아래 그림은 하나의 경우를 보여줍니다)이기 때문입니다.

크기를 확인하기 위해, 주어진 높이의 삼각형의 넓이는 그의 밑(변)에 비례하는 것에 주목하십시오. 그래서

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{|\triangle BOD|}{|\triangle COD|}=\frac{BD}{DC}=\frac{|\triangle BAD|}{|\triangle CAD|}.\)

그러므로,

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{BD}{DC}=
\frac{|\triangle BAD|-|\triangle BOD|}{|\triangle CAD|-|\triangle COD|}
=\frac{|\triangle ABO|}{|\triangle CAO|}.\)

(만약 A와 O가 BC의 반대 편에 있으면 빼기를 더하기로 바꾸십시오.) 비슷하게,

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{CE}{EA}=\frac{|\triangle BCO|}{|\triangle ABO|},\)

그리고

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{AF}{FB}=\frac{|\triangle CAO|}{|\triangle BCO|}.\)

이들 세 방정식을 곱하는 것은 다음을 제공합니다:

\(\quad\)\(\displaystyle \left|\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \right|= 1\).

이 정리는 메넬라우스의 정리를 사용하여 역시 쉽게 입증될 수 있습니다. 삼각형 ACF의 횡단 BOE로부터,

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{AB}{BF} \cdot \frac{FO}{OC} \cdot \frac{CE}{EA} = -1\)

그리고 삼각형 BCF의 횡단 AOD로부터,

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{BA}{AF} \cdot \frac{FO}{OC} \cdot \frac{CD}{DB} = -1.\)

정리는 이들 두 방정식을 나눔으로써 따라옵니다.

역은 따름정리로 이어집니다. D, E 및 F를 직선 BC, AC 및 AB 위에 제공하는 것으로 놓더라도 방정식이 유지됩니다. AD와 BE가 O에서 만나고 F′을 CO가 AB를 교차하는 점으로 놓습니다. 그런 다음 정리에 의해, 방정식은 D, E 및 F′에 역시 유지됩니다. 둘을 비교함으로써,

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{AF}{FB} = \frac{AF'}{F'B}\)

그러나 많아야 한 점이 주어진 비율로 선분을 절단할 수 있으므로 F=F′입니다.

Using barycentric coordinates

같은 직선 위(collinear)에 있지 않은 세 점 A, B, C, 및 같은 평면(plane)에 속하는 점 O가 주어지면, A, B, C에 관한 O의 베리-센터 좌표(barycentric coordinates)는 모든 각 점 X에 대해 다음을 만족하는 고유한 세 숫자 \(\lambda_A, \lambda_B, \lambda_C\)입니다:

\(\quad\)\(\lambda_A + \lambda_B + \lambda_C =1,\)

및

\(\quad\)\(\overrightarrow{XO}=\lambda_A\overrightarrow{XA} + \lambda_B\overrightarrow{XB} + \lambda_C\overrightarrow{XC},\)

(이 화살표 표기법의 정의와 더 자세한 설명에 대해, 아핀 공간(Affine space)을 참조하십시오).

체바의 정리에 대해, 점 O는 삼각형의 두 꼭짓점을 통과하는 임의의 직선에 속하지 않아야 합니다. 이것은 \(\lambda_A\lambda_B\lambda_C \neq 0\)임을 의미합니다.

만약 우리가 X에 대해 직선 AB와 OC의 교차점 F를 취하면 (그림을 참조하십시오), 마지막 방정식은 다음으로 재-정렬될 수 있습니다:

\(\quad\)\(\overrightarrow{FO}-\lambda_C\overrightarrow{FC}=\lambda_A\overrightarrow{FA} + \lambda_B\overrightarrow{FB}.\)

이 방정식의 왼쪽-변은 직선 CF와 같은 방향을 가지는 벡터이고, 오른쪽-변은 직선 AB와 같은 방향을 가집니다. 이들 직선은 다른 방향을 가지는데 왜냐하면 A, B, 및 C는 같은 직선 위에 있지 않기 때문입니다. 그것은 방정식의 두 구성원이 영 벡터와 같고, 다음임을 따릅니다:

\(\quad\)\(\lambda_A\overrightarrow{FA} + \lambda_B\overrightarrow{FB}=0.\)

그것은 다음임을 따릅니다:

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{AF}{FB}=\frac{\lambda_B}{\lambda_A},\)

여기서 왼쪽-변 분수는 같은 직선 위의 선분(line segment) AF와 FB의 길이의 부호화된 비율입니다.

같은 추론은 다음임을 보여줍니다:

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{BD}{DC}=\frac{\lambda_C}{\lambda_B}\quad \text{and}\quad \frac{CE}{EA}=\frac{\lambda_A}{\lambda_C}.\)

체바의 정리는 세 개의 마지막 방정식의 곱을 취함으로써 즉시 결과로써 생깁니다.

Generalizations

그 정리는 베리-센터 좌표(barycentric coordinates)를 사용하여 고차원 심플렉스(simplex)로 일반화될 수 있습니다. n-심플렉스의 체바선을 각 꼭짓점에서 반대쪽 (n-1)-면 (패싯(facet))의 점까지 반직선으로 정의합니다. 그런-다음 체바선이 공통점인 것과 질량 분포(mass distribution)가 각 체바선이 그것의 질량 중심(center of mass)에 반대편 패싯과 교차하는 것을 만족하는 꼭짓점에 할당될 수 있는 것은 필요충분 조건입니다. 게다가, 체바선의 교차점은 심플렉스의 질량 중심입니다.

루우쓰의 정리(Routh's theorem)는 세 개의 체바선이 공통점이 아닌 경우에서 그것들에 의해 형성된 삼각형의 넓이를 제공합니다. 체바의 정리는 넓이를 영으로 설정하고 풂으로써 그것으로부터 얻어질 수 있습니다.

평면에서 일반적인 다각형(polygon)에 대한 정리의 유사성은 19세기 초 이래로 알려져 왔습니다. 그 정리는 역시 상수 곡률(constant curvature)의 다른 표면의 삼각형으로 일반화되어 왔습니다.

그 정리는 역시, 비율에서 길이를 각각 그들의 사인과 쌍곡 사인으로 대체하여, 구형과 쌍곡선 기하학에 대한 잘-알려진 일반화를 가집니다.