수학(mathematics)에서, 다항식(polynomial)의 판별식(discriminant)은 계수에 의존하고 근(roots)의 다양한 속성을 결정하는 양입니다. 다항식의 판별식은 일반적으로 그것의 계수의 다항 함수(polynomial function)의 관점에서 정의됩니다. 판별식은 다항식의 인수화(factoring polynomials), 숫자 이론(number theory), 및 대수적 기하학(algebraic geometry)에서 널리 사용됩니다.
\(\quad\)\(ax^2+bx+c, \quad a \neq 0\)
의 판별식은 다음입니다:
\(\quad\)\(b^2-4ac\).
이것이 영인 것과 다항식이 이중 근(double root)을 가지는 것은 필요충분 조건입니다. 실수(real) 계수의 경우에서, 그것이 양수인 것과 다항식이 두 개의 실수(real) 근을 가지는 것은 필요충분 조건입니다. 비슷하게 삼차 다항식(cubic polynomial)에 대해, 판별식이 영인 것과 다항식이 중복 근(multiple root)을 가지는 것은 필요충분 조건입니다. 실수 계수의 경우에서, 판별식은 만약 근이 세 개의 구별되는 실수이면 양수이고, 만약 하나의 실수 근과 두 개의 구별되는 복소 켤레(complex conjugate) 근이 있으면 음수입니다.
보다 일반적으로, 양의 차수(degree)의 다항식의 판별식이 영인 것과 다항식이 중복 근을 가지는 것은 필요충분 조건입니다. 만약 계수가 실수이고, 중복 근이 없으면, 판별식은 만약 비-실수 근의 숫자가 (영을 포함하여) 4의 중복이면 양수이고, 그렇지 않으면 음수입니다.
(일변수) 다항식의 판별식의 여러 일반화는 역시 판별식으로 불립니다: 대수적 숫자 필드의 판별식(discriminant of an algebraic number field); 이차 형식(quadratic form)의 판별식; 보다 일반적으로, 형식(form)의 판별식, 동차 방정식(homogeneous polynomial), 또는 투영 초표면(projective hypersurface) (이들 세 개념은 본질적으로 동등합니다).
Origin
용어 "판별식(discriminant)"은 1851년에 영국 수학자 제임스 조지프 실베스터(James Joseph Sylvester)에 의해 만들어졌습니다.
Definition
다음
\(\quad\)\(A(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\)
을 계수 \(a_0, \ldots, a_n\)가 필드(field), 또는, 보다 일반적으로, 교환 링(commutative ring)에 속하는 것을 만족하는 차수(degree) n (이것은 \(a_n\ne 0\)을 의미합니다)의 다항식으로 놓습니다.
A의 결과식(resultant)과 그의 도함수(derivative) \(A'(x) = na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1\)는, A와 A′의 실베스터 행렬(Sylvester matrix)의 행렬식(determinant)인, 정수 계수를 가진 \(a_0, \ldots, a_n\)에서 다항식입니다. 실베스터 행력의 첫 번째 열의 비-영 엔트리는 \(a_n\)이고 \(na_n\), 및 결과식(resultant)은 따라서 \(a_n\)의 배수(multiple)입니다. 그래서, 판별식은, 그의 부호까지, \(a_n\)에 의한 \(A\)와 \(A^\prime\)의 결과식의 몫으로 정의됩니다:
\(\quad\)\(\displaystyle \operatorname{Disc}_x(A) = \frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n} \operatorname{Res}_x(A,A')\)
역사적으로, 이 부호는, 실수에 걸쳐, 판별식이 다항식의 모든 근이 실수일 때 양수일 것임을 만족하도록 선택되어 왔습니다. \(a_n\)에 의한 나눗셈은 만약 계수의 링(ring)이 영제수(zero divisor)를 포함하면 잘 정의되지 않을 수 있습니다. 그러한 문제는 판별식을 계산하기 전에 실베스터 행렬의 첫 번째 열에서 \(a_n\)을 1로 대체함으로써 피해질 수 있습니다. 임의의 경우에서, 판별식은 정수 계수를 가진 \(a_0, \ldots, a_n\)에서 다항식입니다.
Expression in terms of the roots
다항식이 필드(field)에 걸쳐 정의될 때, 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)는, 필드의 대수적으로 닫힌 확장(algebraically closed extension)에서, 모두 반드시 구별될 필요는 없는, n 개의 근, \(r_1,r_2,\cdots,r_n\)을 가짐을 의미합니다 (실수 계수를 가진 다항식에 대해, 이 대수적으로 닫힌 확장은 일반적으로 복소수(complex number)의 필드로 선택됩니다).
근의 관점에서, 판별식은 다음과 같습니다:
\(\quad\)\(\displaystyle \operatorname{Disc}_x(A) = {a_n}^{2n-2}\prod_{i<j} (r_i-r_j)^2 = (-1)^{n(n-1)/2}{a_n}^{2n-2} \prod_{i \neq j} (r_i-r_j) \)
그것은 따라서 방데르몽드 다항식(Vandermonde polynomial)의 제곱 곱하기 \(a_n^{2n-2}\)입니다.
판별식의 이 표현은 정의로 종종 취해집니다. 그것은 만약 다항식이 중복 근(multiple root)을 가지면, 그의 판별식은 영이고, 만약 모든 근이 실수이면, 판별식은 양수인 것을 분명하게 만듭니다.
Low degrees
선형 다항식(linear polynomial) (차수 1)의 판별식은 거의 고려되지 않습니다. 만약 필요하다면, 그것은 공통적으로 1과 같은 것으로 정의됩니다 (빈 곱(empty product)에 대해 보통 관례를 사용하고 실베스트 행렬(Sylvester matrix)의 두 블럭 중 하나가 빈(empty) 것으로 고려합니다). 상수 다항식 (차수 0)의 판별식에 대해 공통적인 관례는 없습니다.
작은 차수에 대해, 판별식은 꽤 단순하지만 (아래를 보십시오), 더 높은 차수에 대해 그것은 다루기 힘들 정도가 됩니다. 일반적인(general) 사차(quartic)의 판별식은 16항을 가지고, 오차(quintic)의 그것은 59항을 가지고, 육차(sextic)의 그것은 246항을 가집니다. 이것은 OEIS 수열 A007878입니다.
Degree 2
이차 다항식(quadratic polynomial) \( ax^2+bx+c \, \)은 다음 판별식을 가집니다:
\(\quad\)\(b^2-4ac\,.\)
판별식의 제곱근은 이차 다항식의 근에 대해 이차 공식(quadratic formula)에 나타납니다:
\(\quad\)\(\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}.\)
판별식이 영인 것과 두 근이 같은 것은 필요충분 조건입니다. 만약 a, b, c가 실수(real number)이면, 다항식은 만약 판별식이 양수이면 두 개의 구별되는 실수 근을 가지고, 만약 그것이 음수이면 두 개의 복소수 결레(complex conjugate) 근을 가집니다.
만약 a, b, c가 유리수(rational number)이면, 판별식이 유리수의 제곱인 것과 두 근이 유리수인 것은 필요충분 조건입니다.
Degree 3
삼차 다항식(cubic polynomial) \( ax^3+bx^2+cx+d \, \)은 다음 판별식을 가집니다:
\(\quad\)\(b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\,.\)
특히, 다항식 \(x^3+px+q\)은 다음 판별식을 가집니다:
\(\quad\)\( -4p^3-27q^2\,.\)
판별식이 영인 것과 적어도 두 근이 같은 것은 필요충분 조건입니다. 만약 계수가 실수(real number)이고, 판별식이 영이 아니면, 판별식은, 만약 근이 세 개의 구별되는 실수이면, 양수이고, 만약 하나의 실근과 두 개의 복소 켤레(complex conjugate) 근이 있으면, 음수입니다.
−3에 의한 (및 아마도 역시 유리수(rational number)의 제곱에 의한) 판별식의 곱의 제곱근(square root)은 삼차 다항식의 근에 대해 공식에서 나타납니다.
만약 다항식이 기약이고 그의 계수가 유리수(rational number)이면 (또는 숫자 필드(number field)에 속하면), 판별식은 유리수 (또는 숫자 필드로부터 숫자)의 제곱인 것과 삼차 방정식의 갈루아 그룹(Galois group)이 차수 삼의 순환 그룹(cyclic group)인 것은 필요충분 조건입니다.
Degree 4
사차 다항식(quartic polynomial) \( ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\,\)은 다음 판별식을 가집니다:
\(\quad\)\(\begin{align}
{} & 256a^3e^3-192a^2bde^2-128a^2c^2e^2+144a^2cd^2e \\[4pt]
& {} -27a^2d^4+144ab^2ce^2-6ab^2d^2e-80abc^2de \\[4pt]
& {} +18abcd^3+16ac^4e-4ac^3d^2-27b^4e^2+18b^3cde \\[4pt]
& {} -4b^3d^3-4b^2c^3e+b^2c^2d^2\,.
\end{align}\)
판별식이 영인 것과 두 개 이상의 근이 같은 것은 필요충분 조건입니다. 만약 계수가 실수(real number)이고 판별식이 음수이면 두 개의 실근과 두 개의 복소 켤레(complex conjugate) 근이 있습니다. 마찬가지로 만약 판별식이 양수이면 근은 모두 실수 또는 모든 비-실수 중 하나입니다.
Properties
Zero discriminant
필드(field)에 걸쳐 다항식의 판별식이 영인 것과 다항식이 일부 필드 확장(field extension)에서 중복 근을 가지는 것은 필요충분 조건입니다.
정수 도메인에 걸쳐 다항식의 판별식이 영인 것과 다항식과 그의 도함수(derivative)가 비-상수 공통 인수를 갖는 것은 필요충분 조건입니다.
특성(characteristic) 0에서, 이것은 다항식이 제곱-없음(square-free)이 아닌 것이라고 말하는 것과 동등합니다 (즉, 다항식이 비-상수 다항식의 제곱으로 나누어집니다).
비-영 특성 p에서, 판별식이 영인 것과 다함식이 제곱-없음이 아닌 것 또는 그것이 분리될 수 없는 기약 인수(irreducible factor) (즉, 기약 인수는 \(x^p\)에서 다항식입니다)를 가지는 것은 필요충분 조건입니다.
Invariance under change of the variable
다항식의 판별식은 변수의 임의의 투영 변환(projective transformation) 아래에서, 스케일링까지(up to), 불변입니다. 투영 변환이 평행이동, 중심닮음 및 역의 곱으로 분해될 수 있으므로, 이것은 더 간단한 변환에 대해 다음 공식의 결과이며, 여기서 P(x)는 선행 계수로 \(a_n\)을 갖는, 차수 n의 변수 x의 다항식을 나타냅니다.
i) 평행이동에 의한 불변(Invariance by translation):
\(\quad\)\(\operatorname{Disc}_x(P(x+\alpha)) = \operatorname{Disc}_x(P(x))\)
이것은 근의 관점에서 판별식의 표현으로부터 결과입니다.
ii) 중심닮음에 의한 불변(Invariance by homothety):
\(\quad\)\(\operatorname{Disc}_x(P(\alpha x)) = \alpha^{n(n-1)}\operatorname{Disc}_x(P(x))\)
이것은 근의 관점에서 표현, 또는 판별식의 유사-중심닮음에 의한 결과입니다.
iii) 역에 대한 불변(Invariance by inversion):
\(\quad\)\(\operatorname{Disc}_x(P^r(x)) =\operatorname{Disc}_x(P(x))\)
여기서 \(P^r\)은 P의 상반 다항식(reciprocal polynomial:계수역순서 다항식)을 나타냅니다. 즉, \(P(x)=a_nx^n + \cdots +a_0\)이면,
\(\quad\)\(P^r(x) = x^nP(1/x) = a_0x^n +\cdots +a_n\)입니다.
Invariance under ring homomorphisms
\(\varphi\colon R\to S \)를 교환 링(commutative ring)의 준동형(homomorphism)으로 놓습니다. R[x]에서, 다음 다항식이 주어지면:
\(\quad\)\(A=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots+a_0\),
준동형 \(\varphi\)은 S[x]에서 다음 다항식을 생성하는 것에 대해 A에 작용합니다:
\(\quad\)\(A^\varphi=\varphi(a_n)x^n+\varphi(a_{n-1})x^{n-1}+ \cdots+\varphi(a_0)\).
판별식은 다음 의미에서 \(\varphi\) 아래에서 불변입니다. 만약 \(\varphi(a_n)\ne 0\)이면,
\(\quad\)\(\operatorname{Disc}_x(A^\varphi) = \varphi(\operatorname{Disc}_x(A)).\)
판별식이 행렬식의 관점에서 정의되므로, 이 속성은 행렬식의 유사한 속성에서 즉시 발생합니다.
만약 \(\varphi(a_n)= 0\)이면, \(\varphi(\operatorname{Disc}_x(A))\)는 영일 수도 아닐 수도 있습니다. 우리는, \(\varphi(a_n)= 0\)일 때, 다음을 가집니다:
\(\quad\)\(\varphi(\operatorname{Disc}_x(A)) = \varphi(a_{n-1})^2\operatorname{Disc}_x(A^\varphi).\)
우리는, 그것이 일반적으로 대수적 기하학(algebraic geometry)에서 경우일 때, 판별식이 영 또는 영이 아닌 것을 오직 아는 것에 관심을 가질 때, 이들 속성은 다음으로 요약될 수 있습니다:
\(\quad\)\(\varphi(\operatorname{Disc}_x(A)) = 0\) if and only either \(\operatorname{Disc}_x(A^\varphi)=0\) or \(\deg(A)-deg(A^\varphi)\ge 2.\)
이것은 \(\varphi(\operatorname{Disc}_x(A)) = 0\)인 것과 \(A^\varphi\)가 중복 근(multiple root), 아마도 무한대에서(at infinity) 가지는 것과 필요충분 조건임을 말함으로써 종종 해석됩니다.
Product of polynomials
만약 R = PQ이 x에서 다항식의 곱이면,
\(\quad\)\(\begin{align}
\operatorname{disc}_x(R) &= \operatorname{disc}_x(P)\operatorname{Res}_x(P,Q)^2\operatorname{disc}_x(Q)
\\[5pt]
{}&=(-1)^{pq}\operatorname{disc}_x(P)\operatorname{Res}_x(P,Q)\operatorname{Res}_x(Q,P)\operatorname{disc}_x(Q),
\end{align}\)
여기서 \(\operatorname{Res}_x\)는 변수 x에 관한 결과식(resultant)을 나타내고, p와 q는 P와 Q 각각의 차수입니다.
이 속성은 각각의 다항식의 근의 관점에서, 결과식과 판별식에 대해 표현을 대체함으로써 즉시 따릅니다.
Homogeneity
판별식은 계수에서 동차 다항식(homogeneous polynomial)입니다; 역시 근에서 동차 다항식이고 따라서 계수에서 준-동차(quasi-homogeneous)입니다.
차수 n의 다항식의 판별식은 계수에서 차수 2n − 2의 동차입니다. 이것은 두 가지 방법으로 보일 수 있습니다. 근-및-선행-항의 공식의 관점에서, 모든 계수에 λ를 곱하는 것은 근을 바꾸지 않지만, 선행 항에 λ를 곱합니다. (2n − 1) × (2n − 1) 행렬 (실베스터 행렬(Sylvester matrix))의 행렬식을 \(a_n\)으로 나눌 때 그것의 행렬식의 관점에서, 판별식은 엔트리에서 차수 2n − 1의 동차이고, \(a_n\)로 나누는 것은 차수 2n − 2를을 만듭니다.
차수 n의 다항식의 판별식은 근에서 차수 n(n − 1)의 동차입니다. 이것은 근의 관점에서 판별식의 표현을 따르며, 이것은 상수와 \(\displaystyle \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}\) 근의 제곱된 차이의 곱입니다.
차수 n의 다항식의 판별식은, 만약, 모든 각 i에 대해, \(x^i\)의 계수가 가중 n − i를 제공하면, 계수에서 차수 n(n − 1)에서 유사-동차입니다. 그것은, 만약, 모든 각 i에 대해, \(x^i\)의 계수가 가중 \(''i''\)를 제공하면, 같은 차수의 역시 유사-동차입니다. 이것은 근에서 동차이고 대칭(symmetric)인 모든 각 다항식은 근의 기본 대칭 함수(elementary symmetric function)에서 유사-동차 다항식으로 표현될 수 있다는 일반적인 사실의 결과입니다.
다음 다항식을 생각해 보십시오:
\(\quad\)\( P=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots +a_0.\)
그것은 모든 각 단항식(monomial) \(a_0^{i_0}, \cdots, a_n^{i^n}\)에서 다음 두 방정식을 만족시키는 판별식에서 나타나는 지수를 선행하는 것으로부터 따릅니다:
\(\quad\)\(i_0+i_1+\cdots+i_n=2n-2\)
및
\(\quad\)\(i_1+2i_2 + \cdots+n i_n=n(n-1),\)
그리고 역시 다음 방정식을 만족시킵니다:
\(\quad\)\(ni_0 +(n-1)i_1+ \cdots+ i_{n-1}=n(n-1),\)
이것은 n에 의해 곱해진 첫 번째 방정식에서 두 번째 방정식을 뺌으로써 얻어집니다.
이것은 판별식에서 가능한 항을 제한합니다. 일반적인 이차 다항식에 대해, 판별식에서 오직 두 가능성과 두 항이 있지만, 세 변수에서 차수 2의 일반적인 동차 다항식은 6 항을 가집니다. 일반적인 삼차 다항식에 대해, 판별식에서 다섯 가능성과 다섯 항이 있지만, 5 변수에서 차수 4의 일반적인 동차 다항식은 70 항을 가집니다.
더 높은 차수에 대해, 위의 방정식을 만족시키고 판별식에서 나타나지 않는 단항식이 있을 수 있습니다. 첫 번째 예제는 이차 다항식 \(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\)에 대해 있으며, 이 경우에서 단항식 \(bc^4d\)는 판별기에서 나타나는 것 없이 방정식을 만족시킵니다.
Real roots
이 섹션에서 모든 다항식은 실수(real) 계수를 가집니다.
판별식의 부호가 차수 2와 3의 다항식에 대해 근의 본성에 대한 완전한 정보를 제공하는 것으로 § Low degrees에서 알 수 있습니다. 더 높은 차수에 대해, 판별식에 의해 제공된 정보가 덜 완전하지만, 여전히 유용합니다. 보다 정확하게, 차수 n의 다항식에 대해, 우리는 다음을 가집니다:
- 다항식이 중복 근(multiple root)을 가지는 것과 그것의 판별식이 영인 것은 필요충분 조건입니다.
- 만약 판별식이 양수이면, 비-실수 근의 숫자는 4의 배수입니다. 즉, 복소 켤레(complex conjugate) 근의 2k 쌍과 n − 4k 실수 근이 있음을 만족하는 비-음의 정수 k ≤ n/4가 있습니다.
- 만약 판별식이 음수이면, 비-실수 근의 숫자가 4의 배수입니다. 즉, 복소 켤레(complex conjugate) 근의 2k + 1 쌍과 n − 4k + 2 실수 근이 있음을 만족하는 비-음의 정수 k ≤ (n − 2)/4가 있습니다.
Homogeneous bivariate polynomial
다음
\(\quad\)\(\displaystyle A(x,y) = a_0x^n+ a_1 x^{n-1}y + \cdots + a_n y^n=\sum_{i=0}^n a_i x^{n-i}y^i\)
을 두 불확정에서 차수 n의 동차 다항식(homogeneous polynomial)으로 놓습니다.
모멘트에 대해, \(a_0\)와 \(a_n\)가 둘 다 비-영임을 가정하면, 우리는 다음을 가집니다:
\(\quad\)\(\operatorname{Disc}_x(A(x,1))=\operatorname{Disc}_y(A(1,y)).\)
이 양을 \(\operatorname{Disc}^h (A)\)로 나타내면, 우리는 다음을 가집니다:
\(\quad\)\(\operatorname{Disc}_x (A) =y^{n(n-1)} \operatorname{Disc}^h (A),\)
및
\(\quad\)\(\operatorname{Disc}_y (A) =x^{n(n-1)} \operatorname{Disc}^h (A).\)
이들 속성 때문에, 양 \(\operatorname{Disc}^h (A)\)는 A의 판별식 또는 동차 판별식으로 불립니다.
만약 \(a_0\)와 \(a_n\)이 영일 수 있으면, 다항식 A(x, 1)와 A(1, y)는 n보다 더 작은 차수를 가질 수 있습니다. 이 경우에서, 위의 공식과 정의는, 만약 판별식이 모든 다항식이 차수 n을 가질 수 있는 것처럼 계산되면 유효한 것으로 남습니다. 이것은 판별식이 \(a_0\)와 \(a_n\)을 불확정수, 이 계산 후에 행해진 그들의 실제 값의 그들에 대해 대체와 계산되어야 합니다. 합니다. 동등하게, § Invariance under ring homomorphisms의 공식은 사용되어야 합니다.
Use in algebraic geometry
대수 기하학(algebraic geometry)에서 판별식의 전형적인 사용은 대수적 곡선(algebraic curve), 보다 일반적으로 대수적 초표면(algebraic hypersurface)을 연구하는 데 사용됩니다. V를 그러한 곡선 또는 초표면으로 놓습니다; V는 다변수 다항식(multivariate polynomial)의 영 집합으로 정의됩니다. 이 다항식은 불확정수의 하나에서 일변수 다항식으로 여겨질 수 있으며, 다른 불확정수에서 다항식은 계수로 사용됩니다. 선택된 불확정수에 관한 판별식은 다른 불확정수의 공간에서 초표면 W를 정의합니다. W의 점은 정확히 V의 점 (무한대에서 점(points at infinity)을 포함)의 투영이며, 이것은 특이점 또는 선택된 불확정수의 축에 평행한 접 초평면(tangent hyperplane)을 가집니다.
예를 들어, f를, f = 0가 평면 대수적 곡선(algebraic curve)의 암시적 방정식임을 만족하는, 실수 계수를 갖는 X와 Y에서 이변수 다항식으로 놓습니다. f를 X에 의존하는 계수를 가진 Y에서 일변수 다항식으로 보면, 판별식은 근이 특이점의, Y-축에 평행한 접선을 갖는 점 및 Y-축에 평행한 점근선의 일부 점 X-좌표인 X에서 다항식입니다. 다시 말해, Y-판별식 및 X-판별식의 근을 계산은 변곡점(inflection point)을 제외하고 곡선의 모든 주목할만한 점을 계산하는 것을 허용합니다.
Generalizations
판별식의 개념의 두 가지 클래스가 있습니다. 첫 번째 클래스는 대수적 숫자 필드의 판별식(discriminant of an algebraic number field)이며, 이것은, 이차 필드(quadratic field)를 포함하는 일부 경우에서, 필드를 정의하는 다항식의 판별식입니다.
두 번째 클래스의 판별식은 문제의 퇴화 예제 또는 특이성이 계수에서 단일 다항식을 사라짐에 의해 특징-지워질 때, 계수에 따른 문제에 대해 발생합니다. 이것은 다항식의 판별식에 대해 경우이며, 이것은 두 개의 근이 무너지면 영입니다. 그러한 일반화된 판별자가 정의되는 대부분의 경우는 다음의 예제입니다.
A를 특성(characteristic) 0, 또는 다항식의 차수로 나누어지지 않는 소수 특성(prime characteristic)의 필드에 걸쳐 n 불확정에서 동차 다항식으로 놓습니다. 다항식 A는 투영 초표면(projective hypersurface)을 정의하며, 이것이 특이점(singular points)을 가지는 것과 A의 n 부분 도함수(partial derivative)가 비-자명한 공통 영을 가지는 것은 필요충분 조건입니다. 이것이 경우인 것과 이들 부분 도함수의 다변수 결과식(multivariate resultant)이 영인 것은 필요충분 조건이고, 이 결과식은 A의 판별식으로 여겨질 수 있습니다. 어쨌든, 유도의 결과로 정수 계수 때문에, 이 다변수 결과식은 n의 거듭제곱에 의해 나누어질 수 있고, 일반 계수로 계산된, 결과식의 원시 부분(primitive part)을, 판별식으로, 취하는 것이 더 좋습니다. 특성에 대한 제한은, 그렇지 않으면, 부분 도함수의 공통 영이 다항식의 영이 필연적으로 아닐 때, 요구됩니다 (동차 다항식에 대해 오일러의 항등식(Euler's identity for homogeneous polynomials)을 참조하십시오).
차수 d의 동차 이변수 다항식의 경우에서, 이 일반적인 판별식은 \(d^{d-2}\) 곱하기 § Homogeneous bivariate polynomial에서 정의된 판별식입니다. 판별식의 여러 다른 고전적 유형, 일반적인 정의의 예제인 그것은 다음 섹션에서 설명됩니다.
Quadratic forms
이차 형식(quadratic form)은 벡터 공간(vector space)에 걸쳐 함수이며, 이것은 차수 2의 동차 다항식(homogeneous polynomial)에 의해 어떤 기저(basis)에 걸쳐 정의됩니다:
\(\quad\)\(\displaystyle Q(x_1,\ldots,x_n) \ =\ \sum_{i=1}^n a_{ii} x_i^2+\sum_{1\le i <j\le n}a_{ij}x_i x_j,\)
또는, 행렬 형식에서,
\(\quad\)\(Q(X) =X A X^\mathrm T,\)
여기서, 세 벡터의 곱은 순서대로 \(n\times n\) 대칭 행렬(symmetric matrix) \(A=(a_{ij})\), \(1\times n\) 행 벡터 \(X=(x_1,\ldots,x_n)\), 및 \(n\times 1\) 열 벡터 \(X^{\mathrm{T}}\)입니다. 2와 다른 특성(characteristic)에서, Q의 판별식 또는 행렬식은 A의 행렬식(determinant)입니다.
Q의 헤세 행렬식(Hessian determinant)은 \(2^n\) 곱하기 그것의 판별식입니다. Q의 부분 도함수의 다변수 결과식(multivariate resultant)은 그것의 헤세 행렬식과 같습니다. 그래서, 이차 형식의 판별식은 판별식의 위의 일반적인 정의의 특별한 경우입니다.
이차 형식의 판별식은 다음 의미에서 변수의 선형 변화 (즉 이차 형식이 정의된 벡터 공간의 기저의 변화) 아래에서 불변입니다: 변수의 선형 변화는 비-특이 행렬(nonsingular matrix) S에 의해 정의되며, 행렬 A를 \(S^\mathrm T A\,S\)로 변환하고 따라서 S의 행렬식의 제곱에 의한 판별식의 배수입니다. 따라서 판별식은 오직 제곱에 의한 곱셈까지(up to) 잘 정의됩니다. 다시 말해서, 필드 K에 걸쳐 이차 형식의 판별식은 K/(K×)2, 비-영 제곱의 부분-그룹(subgroup)에 의한 K의 곱셈적 모노이드(monoid)의 몫(quotient)의 원소입니다 (즉, K의 두 원소가 만약 하나가 비-영 제곱에 의한 다른 것의 곱이면 같은 동등 클래스(equivalence class)에 있습니다). 그것은 복소수(complex number)에 걸쳐, 판별식이 0 또는 1과 동등한 것을 따릅니다. 실수(real number)에 걸쳐, 판별식은 −1, 0, 또는 1과 동등합니다. 유리수(rational number)에 걸쳐, 판별식은 고유한 제곱-없는 정수(square-free integer)와 동등합니다.
야코비(Jacobi)의 정리에 의해, 2와 다른 특성의 필드에 걸쳐 이차 형식은, 변수의 선형 변경 후에, 다음으로 대각 형식(diagonal form)에서 표현될 수 있습니다:
\(\quad\)\(a_1x_1^2 + \cdots + a_nx_n^2.\)
보다 정확하게, 이차 형식은 다음 합으로 표현될 수 있습니다:
\(\quad\)\(\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i L_i^2\)
여기서 \(L_i\)는 독립 선형 형식이고 n은 변수의 숫자입니다 (\(a_i\)의 일부는 영일 수 있습니다). 동등하게, 임의의 대칭 행렬 A에 대해, \(S^\mathrm T A\,S\)가 대각 행렬을 만족하는 기본 행렬(elementary matrix)이 있습니다. 그런-다음 판별식은 \(a_i\)의 곱이며, 이것은 \(K/(K^x)^2\)에서 클래스로 잘-정의됩니다.
기하학적으로, 세 변수에서 이차 형식의 판별식은 이차 투영 곡선(quadratic projective curve)의 방정식입니다. 판별식이 영인 것과 곡선이 (아마도 필드의 대수적으로 닫힌 확장(algebraically closed extension)에 걸쳐) 직선들로 분해되는 것은 필요충분 조건입니다.
네 변수에서 이차 형식은 투영 곡면(projective surface)의 방정식입니다. 그 곡면이 특이점(singular point)을 가지는 것과 그것의 판별식이 영인 것은 필요충분 조건입니다. 이 경우에서, 곡면은 평면으로 분해될 수 있거나, 그것이 고유한 특이점을 가지는 것 중 하나이고, 원뿔(cone) 또는 원기둥(cylinder)입니다. 실수에 걸쳐, 만약 판별식이 양수이면, 곡면은 실수 점을 가지지 않거나 어디에서나 음의 가우스 곡률(Gaussian curvature)을 가지는 것 중 하나입니다. 만약 판별식이 음수이면, 곡면은 실수 점을 가지고, 음의 가우스 곡률을 가집니다.
Conic sections
원뿔 단면(conic section)은 다음 형식의 암시적 방정식(implicit equation)에 의해 정의되는 평면 곡선(plane curve)입니다:
\(\quad\)\(ax^2+ 2bxy + cy^2 + 2dx + 2ey + f = 0,\)
여기서 a, b, c, d, e, f는 실수입니다.
두 이차 형식(quadratic form), 및 따라서 두 판별식은 원뿔 단면과 결합될 수 있습니다.
첫 번째 이차 형식은 다음입니다:
\(\quad\)\(ax^2+ 2bxy + cy^2 + 2dxz + 2eyz + fz^2 = 0.\)
그것의 판별식은 다음 판별식(determinant)입니다:
\(\quad\)\(\begin{vmatrix} a & b & d\\b & c & e\\d & e & f \end{vmatrix}. \)
그것은 만약 원뿔 단면이 두 직선, 이중 직선 또는 단일 점으로 퇴화되면 영입니다.
많은 기본 교재에서 고려되는 유일한 하나인, 두 번째 판별식은 그 방정식의 차수 2의 동차 부분의 판별식입니다. 그것은 다음과 같습니다:
\(\quad\)\(b^2 - ac,\)
그리고 원뿔 단면의 모양(shape)을 결정합니다. 만약 이 판별식이 음수이면, 곡선은 실수 점을 가지지 않거나, 타원(ellipse) 또는 원(circle) 중 하나, 또는, 퇴화되면, 단일 점으로 줄어듭니다. 만약 판별식이 영이면, 곡선은 포물선(parabola), 또는, 만약 퇴화되면, 이중 직선 또는 두 평행한 직선입니다. 만약 판별식이 양수이면, 곡선은 쌍곡선(hyperbola), 또는, 만약 퇴화되면, 교차하는 직선의 쌍입니다.
Real quadric surfaces
차원 삼의 유클리드 공간(Euclidean space)에서 실수 이차 초곡면(quadric surface)은 세 변수에서 차수 이의 다항식의 영으로 정의될 수 있는 곡면입니다. 원뿔 단면에 대해서 처럼, 자연적으로 정의될 수 있는 두 판별식이 있습니다. 둘 다는 이차 초곡면의 본성에 대한 정보를 얻는 데 유용합니다.
\(P(x,y,z)\)를 실수 이차 초곡면을 정의하는 세 변수에서 차수 이의 다항식으로 놓습니다. 첫 번째 결합된 이차 형식, \(Q_4\)는 네 변수에 의존하고, P를 동차화(homogenizing)함으로써 얻어집니다: 즉,
\(\quad\)\(Q_4(x,y,z,t)=t^2P(x/t,y/t, z/t).\)
그것의 판별식을 \(\Delta_4\)로 나타냅시다.
두 번째 이차 형식, \(Q_3\)는 세 변수에 의존하고, P의 차수 이의 항으로 구성됩니다; 즉
\(\quad\)\(Q_3(x,y,z)=Q_4(x, y,z,0).\)
그것의 판별식을 \(\Delta_3\)로 나타냅시다.
만약 \(\Delta_4<0\)이고 곡면이 실수 점을 가지면, 그것은 쌍곡형 포물면체(Hyperbolic paraboloid) 또는 한-판 쌍곡면체(one-sheet hyperboloid) 중 하나입니다. 두 경우에서, 이것은 모든 각 점에서 음의 가우스 곡률(Gaussian curvature)을 가지는 자로-그은 표면(ruled surface)입니다.
만약 \(\Delta_4=0\)이면 곡면은 타원면체(ellipsoid) 또는 두-판 쌍곡면체(two-sheet hyperboloid) 또는 타원형 포물면체(elliptic paraboloid) 중 하나입니다. 모든 경우에서, 그것은 모든 각 점에서 양의 가우스 곡률(Gaussian curvature)을 가집니다.
만약 \(\Delta_4=0\)이면, 곡면은 특이 점(singular point)을, 아마도 무한대에서(at infinity), 가집니다. 만약 오직 하나의 특이점이 있으면, 곡면은 원기둥(cylinder) 또는 원뿔(cone)입니다. 만약 여러 특이점이 있으면, 곡면은 두 평면, 이중 평면 또는 단일 직선을 구성합니다.
\(\Delta_4\ne 0\)일 때, \(\Delta_3\)의 부호는, 만약 0이 아니면, 임의의 유용한 정보를 제공하지 않는데, 왜냐하면 P를 −P로 변경하는 것은 곡면을 변경하지 않지만, \(\Delta_3\)의 부호를 변경하기 때문입니다. 어쨌든, 만약 \(\Delta_4\ne 0\)이고 \(\Delta_3 = 0\)이면, 곡면은 포물면체(paraboloid)이며, 이것은 \(\Delta_4\)의 부호에 의존하는 쌍곡형의 타원입니다.
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