기하학(geometry)에서, 입방체(cube)는 각 꼭짓점(vertex)에서 만나는 세 개의 변을 갖는 6개의 정사각형(square) 면, 패싯(facets) 또는 측면에 의해 둘러싸인 삼-차원 고체 대상입니다. 모서리에서 보면, 그것은 육각형(hexagon)이고 그것의 네트(net)는 보통 십자형(cross)으로 묘사됩니다.
입방체는 유일한 정규 육면체(hexahedron)이고 5개의 플라톤 고체(Platonic solids) 중 하나입니다. 그것은 6개의 면, 12개의 가장자리, 및 8개의 꼭짓점을 가지고 있습니다.
입방체는 역시 정사각형 평행-육면체, 등변 직육면체(cuboid) 및 직각 마름모면체(rhombohedron) 3-조노히드론(zonohedron)입니다. 그것은 세 방향에서 정규 정사각형 각기둥(prism)과 네 방향에서 삼각 트레프조히드론(trigonal trapezohedron)입니다.
입방체는 팔면체(octahedron)에 대해 이중(dual)입니다. 그것은 입방체적 또는 팔면체적 대칭(octahedral symmetry)을 가지고 있습니다.
입방체는 그 면이 모두 정사각형(squares)인 유일한 볼록 다면체입니다.
Orthogonal projections
입방체(cube)는 꼭짓점, 가장자리, 면에 중심을 두고 꼭짓점 도형(vertex figure)에 수직인 4개의 특수 직각 투영(orthogonal projections)을 가집니다. 첫 번째와 세 번째는 \(A_2\)와 \(B_2\) 콕서터 평면(Coxeter planes)에 해당합니다.
Spherical tiling
입방체는 구형 타일링(spherical tiling)으로 표현될 수도 있고, 입체 투영(stereographic projection)을 통해 평면 위로 투영될 수도 있습니다. 이 투영은 각도를 보존하지만 넓이 또는 길이는 보존하지 않는 등각(conformal) 투영입니다. 구 위에 직선은 평면 위에 원형 호로 투영됩니다.
Cartesian coordinates
원점에 중심을 둔, 축에 평행한 가장자리와 2의 가장자리 길이를 갖는 입방체에 대해, 꼭짓점의 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)는 다음과 같습니다:
\(\quad\)(±1, ±1, ±1)
반면에 내부는 모든 i에 대해 \(-1 < x_i < 1\)를 갖는 모든 점 \((x_0,x_1,x_2)\)으로 구성됩니다.
Equation in three dimensional space
해석적 기하학(analytic geometry)에서, 중심 \((x_0,y_0,z_0)\)와 2a의 가장자리 길이를 갖는 입방체의 표면은 다음을 만족하는 모든 점 (x, y, z)의 궤적(locus)입니다:
\(\quad \max\{ |x-x_0|,|y-y_0|,|z-z_0| \} = a.\)
입방체는 세 지수 모두 무한대에 접근할 때 3D 초-타원면체(superellipsoid)의 극한하는 사례로 고려될 수도 있습니다.
Formulas
가장자리 길이 \(a\)를 갖는 정육면체에 대해:
| 표면 넓이 | \(6a^2\) | 부피 | \(a^3\) |
| 표면 대각선 | \(\sqrt{2}a\) | 공간 대각선 | \(\sqrt{3}a\) |
| 둘레접된 구의 반지름 | \(\frac{\sqrt{3}}{2}a\) | 가장자리에 접하는 구의 반지름 | \(\frac{a}{\sqrt{2}}\) |
| 내접된 구의 반지름 | \(\frac{a}{2}\) | 면 사이의 각도 (라디안 단위) | \(\frac{\pi}{2}\) |
정육면체의 부피는 변의 세 번째 거듭제곱 \(a\times a\times a\)이므로, 두 번째 거듭제곱과 squares과 유사하게 세 번째 거듭제곱은 cubes라고 불립니다.
정육면체는 주어진 표면 넓이(surface area)를 갖는 직육면체(cuboids, 직사각형 상자) 중에서 가장 큰 부피를 가집니다. 역시, 정육면체는 같은 전체 선형 크기 (길이+너비+높이)를 갖는 직육면체 중에서 가장 큰 부피를 가집니다.
Point in space
둘레접하는 구의 반지름 R을 갖는 정육면체와 정육면체의 8개 꼭짓점에서 거리 \(d_i\)를 갖는 3-차원 공간에서 주어진 점에 대해, 다음을 얻습니다:
\(\quad\displaystyle \frac{\sum_{i=1}^8 d_i^4}{8} + \frac{16R^4}{9} = \left(\frac{\sum_{i=1}^8 d_i^2}{8} + \frac{2R^2}{3}\right)^2. \)
Doubling the cube
정육면체를 두 배(Doubling the cube), 또는 델리안 문제(Delian problem)는 고대 그리스 수학자들에 의해 컴퍼스와 직선자(compass and straightedge)만 사용하여 주어진 정육면체의 가장자리 길이에서 시작하여 원래 정육면체의 부피의 두 배를 갖는 정육면체의 가장자리의 길이를 구성하기 위해 제기된 문제였습니다. 그들은 이 문제를 푸는 것이 불가능했으며, 1837년 피에르 완젤(Pierre Wantzel)은 2의 세제곱 근(cube root)이 구성-가능 숫자(constructible number)가 아니기 때문에 그것이 불가능하다는 것을 입증했습니다.
Uniform colorings and symmetry
정육면체는 각 꼭짓점 주변의 정사각형 면의 고유한 색상: 111, 112, 123에 의해 이름-지정된 세 가지 균등 색상화를 가집니다.
정육면체는 4가지 대칭의 클래스를 가지며, 면을 꼭짓점-전이(vertex-transitive) 색칠함으로써 표시될 수 있습니다. 가장 높은 팔면체 대칭 (\rm{O_h}\)는 모든 면이 같은 색깔을 가집니다. 이면체 대칭(dihedral symmetry) \(\rm{O_{4h}}\)는 정육면체가 고체이고, 6면이 모두 다른 색을 띤 것에서 나옵니다. 각기둥 부분집합 \(\rm{D_{2d}}\)는 이전 것과 같은 색상화를 가지고 \(\rm{D_{2h}}\)는 반대 면과 쌍을 이루는 총 세 가지 색상에 대해 그 측면에 대해 번갈아 색상을 가집니다. 각 대칭 형식은 서로 다른 위포트 기호(Wythoff symbol)를 가집니다.
Geometric relations
정육면체는 11개의 네트(nets)를 가집니다 (위에 표시된 것 중 하나): 즉, 7개의 가장자리를 절단함으로써 속이 빈 정육면체를 평평하게 만드는 11가지 방법이 있습니다. 인접한 두 면이 같은 색을 가지지 않도록 정육면체에 색칠하기 위해, 적어도 세 가지 색깔이 필요합니다.
정육면체는 삼-차원 유클리드 공간의 유일한 규칙 타일링의 셀입니다. 그것은 역시 짝수의 변을 갖는 면을 가지고 있다는 점에서 플라톤 고체 중에서 독특하고, 결과적으로, 조노히드론(zonohedron)인 해당 그룹의 유일한 구성원입니다 (모든 각 면은 점 대칭을 가집니다).
정육면체는 6개의 동일한 정사각형 각기둥(square pyramids)으로 절단될 수 있습니다. 만약 이들 정사각형 각기둥이 그런-다음 두 번째 정육면체의 면에 부착되면, 마름모꼴 십이면체(rhombic dodecahedron)가 얻어집니다 (공통-평면에 있는 삼각형 쌍이 마름모꼴 면으로 결합됩니다).
In Theology
정육면체는 아브라함 종교(abrahamic religions)에 나타납니다. 메카에서 카바(Kaaba)는 아랍어로 "정육면체"를 의미하는 한 예제입니다. 그들은 역시 테플린(Teffilin)으로 유대교에 나타나고 신약 성서에서 새 예루살렘(New Jerusalem)도 정육면체(Cube)로 묘사됩니다.[5]
Other dimensions
사-차원 유클리드 공간(Euclidean space)에서 정육면체의 유사체는 테서랙트(tesseract) 또는 초-입방체(hypercube)라는 특별한 이름을 가지고 있습니다. 보다 적절하게, 초-입방체 (또는 n-차원 입방체 또는 간단히 n-입방체)는 n-차원 유클리드 공간에서 입방체와 유사하고 테서랙트는 차원-4 초입방체입니다. 초입방체는 측정 폴리토프(measure polytope)라고도 불립니다.
더 낮은 차원에서도 입방체의 유사체가 있습니다: 차원 0에서 점(point), 일-차원에서 선분(line segment) 및 이-차원에서 정사각형이 있습니다.
Related polyhedra
정반대(antipodal) 맵에 의한 정육면체의 몫은 투영 다면체(projective polyhedron), 헤미큐브(hemicube)를 산출합니다.
만약 원래 정육면체가 길이 1 가장자리를 가지면, 그것의 이중 다면체 (팔면체)는 길이 \(\scriptstyle \sqrt{2}/2\) 가장자리를 가집니다.
정육면체는 다양한 종류의 일반 다면체에서 특수한 경우입니다:
| Name | Equal edge- lengths? | Equal angles? | Right angles? |
| Cube | Yes | Yes | Yes |
| Rhombohedron | Yes | Yes | No |
| Cuboid | No | Yes | Yes |
| Parallelepiped | No | Yes | No |
| quadrilaterally faced hexahedron | No | No | No |
정육면체의 꼭짓점은 각각 정규 사면체를 형성하는 4개씩 2개의 그룹으로 그룹화될 수 있습니다; 보다 일반적으로 이것은 데미큐브(demicube)라고 불립니다. 이들 둘은 함께 정규 혼합물(compound), 팔면체 별(stella octangula)를 형성합니다. 이 둘의 교차점은 정규 팔면체를 형성합니다. 정규 사면체의 대칭은 각 사면체를 자신에게 매핑하는 정육면체의 대칭에 해당합니다; 정육면체의 다른 대칭은 둘을 서로 매핑합니다.
그러한 정규 사면체 중 하나의 부피는 정육면체의 \(\tfrac13\)입니다. 남아있는 공간은 각각 정육면체 부피의 \(\tfrac16\)의 부피를 갖는 4개의 같은 비-정규 사면체로 구성됩니다.
정류된(rectified) 정육면체는 육팔면체(cuboctahedron)입니다. 만약 더 작은 모서리가 잘리면, 6개의 팔각형(octagonal) 면과 8개의 삼각형 면을 갖는 다면체를 얻을 수 있습니다. 특히 정규 팔각형 (잘린 정육면체)을 얻을 수 있습니다. 마름모꼴육팔면체(rhombicuboctahedron)는 양쪽 모서리와 가장자리를 정확한 양으로 잘라서 얻습니다.
정육면체는 정육면체의 각 꼭짓점이 십이면체의 꼭짓점이고 각 가장자리는 십이면체의 면 중 하나의 대각선이 되도록 십이면체(dodecahedron)에 내접될 수 있습니다; 그러한 정육면체를 모두 가져오면 5개의 정육면체의 정규 혼합물을 야기합니다.
만약 정육면체의 두 개의 마주보는 모서리가 그것들에 직접 연결된 세 꼭짓점의 깊이에서 잘리면, 비-정규 팔면체가 얻어집니다. 이들 비-정규 팔면체 중 8개는 정규 팔면체의 삼각형 면에 붙여서 육팔면체를 얻을 수 있습니다.
정육면체는 토폴로지적으로 일련의 구형 다면체와 차수-3 꼭짓점 도형(vertex figures)을 갖는 타일링과 관련되어 있습니다.
육팔면체는 정육면체와 정규 팔면체와 관련된 균등 다면체의 가족 중 하나입니다.
정육면체는 정규 타일링의 순서열의 일부로 토폴로지적으로 관련되어, 쌍곡 평면(hyperbolic plane)으로 확장됩니다: {4,p}, p=3,4,5...
이면체 대칭(dihedral symmetry), Dih4와 함께, 정육면체는 쌍곡 평면으로 확장되는 일련의 균등 다면체와 타일링 4.2n.2n에서 토폴로지적으로 관련됩니다:
모든 이들 도형은 팔면체 대칭(octahedral symmetry)을 가집니다.
정육면체는 [n,3] 콕서터 그룹(Coxeter group) 대칭을 갖는 마름모꼴 다면체와 타일링의 순서열의 일부입니다. 정육면체는 마름모가 정사각형인 마름모꼴 육면체로 볼 수 있습니다.
정육면체는 정사각형 각기둥(square prism)입니다:
삼각 트레프조히드론(trigonal trapezohedron)로서, 정육면체는 육각형 이면체 대칭 가족과 관련이 있습니다.
In uniform honeycombs and polychora
그것은 28개의 볼록 균등 벌집(convex uniform honeycombs) 중 9개의 원소입니다:
그것은 역시 5개의 사-차원 균등 폴리코라(uniform polychora)의 원소입니다:
Cubical graph
정육면체의 뼈대(skeleton) (꼭짓점과 가장자리)는 정육면체 그래프(cube graph)라고 불리는 8개의 꼭짓점과 12개의 가장자리를 갖는 그래프(graph)를 형성합니다. 그것은 초입방체 그래프(hypercube graph)의 특수한 경우입니다. 그것은 5개의 플라톤 그래프(Platonic graphs) 중 하나이며, 각각은 플라톤 고체(Platonic solid)의 뼈대입니다.
확장은 삼-차원 k-ARY 해밍 그래프(Hamming graph)이며, 이는 k = 2에 대해 정육면체 그래프입니다. 이러한 종류의 그래프는 컴퓨터에서 병렬 처리(parallel processing)의 이론에서 발생합니다.
External links
- Weisstein, Eric W. "Cube". MathWorld.
- Cube: Interactive Polyhedron Model*
- Volume of a cube, with interactive animation
- Cube (Robert Webb's site)