수학에서, 특히 기본 산술(elementary arithmetic) 및 기본 대수(elementary algebra)에서, 두 분수(fraction) 또는 유리식 표현(rational expressions) 사이의 방정식이 주어지면, dnflsms 방정식을 단순화하거나 변수의 값을 결정하기 위해 교차-곱할(cross-multiply) 수 있습니다.
그 방법은 역시 때때로 "당신의 심장을 교차시키십시오" 방법으로 알려져 있는데, 왜냐하면 하트 윤곽선을 닮은 선이 어떤 것을 함께 곱할 것인지 기억하기 위해 그려질 수 있기 때문입니다.
다음과 같은 방정식이 주어지면:
\(\quad\displaystyle \frac a b = \frac c d,\)
여기서 b와 d는 영이 아니며, 우리는 다음을 얻기 위해 교차-곱할 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle ad = bc \quad \text{or} \quad a = \frac{bc}d.\)
유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서, 같은 계산은 닮은 삼각형(similar triangle)의 비율(ratio)로 그것들을 고려함으로써 수행될 수 있습니다.
Procedure
실제로, 교차 곱하는 방법은 우리가 각 (또는 하나의) 변의 분자를 다른 변의 분모를 곱하여, 효과적으로 항을 교차하는 것을 의미합니다:
\(\quad\displaystyle \frac a b \nwarrow \frac c d, \quad \frac a b \nearrow \frac c d.\)
그 방법에 대해 수학적 정당성은 다음과 같은 더 긴 수학적 절차에서 나온 것입니다. 만약 우리가 기본 방정식으로 시작하면
\(\quad\displaystyle \frac a b = \frac c d,\)
우리는 각 변에서 항에 같은 숫자를 곱할 수 있고, 그 항은 같게 유지될 것입니다. 그러므로, 만약 우리가 양쪽 변의 분모의 곱, bd를 각 변의 분수에 곱하면 우리는 다음을 얻습니다:
\(\quad\displaystyle \frac a b \times bd = \frac c d \times bd.\)
우리는 왼쪽 변에서 b의 두 번 발생이 취소된다는 점에 주목함으로써 분수를 가장 낮은 항으로 줄일 수 있으며, 마찬가지로 오른쪽 변에 d의 두 번 발생을 행하여, 다음을 남깁니다:
그리고 우리는 방정식의 양쪽 변을 어떤 원소로 나눌 수 있으며–이 경우에서 우리는 d를 사용할 것입니다–다음을 얻습니다:
\(\quad\displaystyle a = \frac{bc}d.\)
교차 곱셈의 또 다른 정당화는 다음과 같습니다. 다음 주어진 방정식으로 시작하여
\(\quad\displaystyle \frac a b = \frac c d,\)
왼쪽 변에 \(\tfrac{d}{d}=1\)를 곱하고 오른쪽 변에 \(\tfrac{b}{b}=1\)를 곱하여, 다음을 얻습니다:
\(\quad\displaystyle \frac a b \times \frac d d = \frac c d \times \frac b b,\)
그리고 따라서
\(\quad\displaystyle \frac{ad}{bd} = \frac{cb}{db}.\)
공통 분모 bd = db를 약분하고, 다음을 남깁니다:
\(\quad\displaystyle ad = cb.\)
이 절차에서 각 단계는 방정식(equation)의 단일, 기본 속성을 기반으로 합니다. 교차-곱셈은 지름길이며, 쉽게 이해할 수 있는 절차로 학생들에게 가르칠 수 있습니다.
Use
이것은 분수를 줄이거나 분수에서 주어진 변수에 대해 값을 계산하기 위해 사용되는 수학에서 공통적인 절차입니다. 만약 우리가 다음 방정식을 가지면,
\(\quad\displaystyle \frac x b = \frac c d,\)
여기서 x는 우리가 풀려고 관심이 있는 변수이고, 우리는 다음을 결정하기 위해 교차-곱셈을 사용할 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle x = \frac{bc}d.\)
예를 들어, 만약 우리가 차동차의 속력이 일정하고 지난 3시간 동안 이미 90마일을 이동했음을 알고 있으면, 그것이 7시간 동안 얼마나 멀리 이동할지 알고 싶다고 가정해 보겠습니다. 단어 문제를 비율로 변환하면, 우리는 다음을 얻습니다:
\(\quad\displaystyle \frac x{7\ \text{hours}} = \frac{90\ \text{miles}} {3\ \text{hours}}.\)
교차-곱하는 것은 다음을 산출합니다:
\(\quad\displaystyle x = \frac{7\ \text{hours} \times 90\ \text{miles}}{3\ \text{hours}},\)
따라서
\(\quad\displaystyle x = 210\ \text{miles}.\)
다음과 같은 훨씬 더 간단한 방정식도 교차-곱셈을 사용하여 해결됨을 주목하십시오:
\(\quad\displaystyle a = \frac{x}{d}\)
왜냐하면 누락된 b 항은 암시적으로 1과 같기 때문입니다:
\(\quad\displaystyle \frac a 1 = \frac x d.\)
분수 또는 유리 표현을 포함하는 임의의 방정식은 양쪽 변에 최소 공통 분모(least common denominator)를 곱함으로써 단순화될 수 있습니다. 이 단계는 분수 제거(clearing fractions)라고 불립니다.
Rule of three
셋의 규칙은 암기적으로 학생들에게 가르칠 수 있는 특정 형식의 교차-곱셈에 대해 역사적 축약 버전이었습니다. 그것은 식민지(Colonial) 수학 교육의 정점으로 여겨졌었고 여전히 중등 교육을 위한 프랑스 국가 커리큘럼에 나타납니다.
다음 형식의 방정식에 대해
\(\quad\displaystyle \frac a b = \frac c x,\)
여기서 평가할 변수는 오른쪽 분모에 있으며, 셋의 규칙은 다음임을 말합니다:
\(\quad\displaystyle x = \frac{bc}a.\)
이 문맥에서, a는 비율의 극단(extreme)으로 참조되고, b와 c는 중앙(means)이라고 불립니다.
이 규칙은 기원후 2세기 이전에 중국 수학자들에게 이미 알려져 있었지만, 그것은 유럽에서 훨씬 늦게까지 사용되지 않았습니다.
셋의 법칙은 특히 설명하기 어렵다는 이유로 악명을 얻었습니다. 17세기 최고의 교과서, 코커의 수학(Cocker's Arithmetick)은 "만약 4 야드의 옷감이 12 실링이라면 6 야드의 가격은 얼마일까요?"라는 문제로 셋의 법칙에 대한 토론을 소개합니다. 셋의 법칙은 이 문제에 대한 답을 직접 제공합니다; 현대 산술에 반하여, 우리는 6 야드의 옷감 비용을 의미하는 변수 x를 도입함으로써 그것을 해결할 수 있으며, 다음 방정식을 작성하고,
\(\quad\displaystyle \frac{4\ \text{yards}}{12\ \text{shillings}} = \frac{6\ \text{yards}}{x}\)
그런-다음 x를 계산하기 위해 교차-곱셈을 사용합니다:
\(\quad\displaystyle x = \frac{12\ \text{shillings} \times 6\ \text{yards}}{4\ \text{yards}} = 18\ \text{shillings}.\)
1570일자의 익명의 원고는 다음과 같이 말했습니다: "곱셈은 짜증나는 일입니다; / 나눗셈은 나쁜 것과 같을 정도입니다; / 셋의 규칙은 나를 당혹스럽게 하고, / 연습은 나를 미치게 만듭니다."
Double rule of three
셋의 법칙에 대한 확장은 셋의 이중 법칙으로, 셋이 아닌 다섯의 다른 값이 알려진 곳에서 미지수 값을 찾는 것을 포함합니다.
그러한 문제의 예제는 만약 6명의 건축업자가 100일 동안 8채의 집을 지을 수 있다면, 10명의 건축업자가 같은 비율로 20채의 집을 지을 때 며칠이 걸릴까요?이고, 이것은 다음과 같이 설정될 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \frac{\frac{8\ \text{houses}}{100\ \text{days}}}{6\ \text{builders}} = \frac{\frac{20\ \text{houses}}{x}}{10\ \text{builders}},\)
이것은, 두 번 교차-곱셈과 함께, 다음을 제공합니다:
\(\quad\displaystyle x = \frac{20\ \text{houses} \times 100\ \text{days} \times 6\ \text{builders}}{8\ \text{houses} \times 10\ \text{builders}} = 150\ \text{days}.\)
루이스 캐럴(Lewis Carroll)의 "The Mad Gardener's Song"은 "그는 정원 문을 보았다고 생각했습니다 / 그것은 열쇠로 열렸습니다: / 그는 다시 보고, 그것이 있다는 것을 알았습니다 / 이중 셋의 규칙"을 포함합니다.
Further reading
- Brian Burell: Merriam-Webster's Guide to Everyday Math: A Home and Business Reference. Merriam-Webster, 1998, ISBN 9780877796213, pp. 85-101
- 'Dr Math', Rule of Three
- 'Dr Math', Abraham Lincoln and the Rule of Three
- Pike's System of arithmetick abridged: designed to facilitate the study of the science of numbers, comprehending the most perspicuous and accurate rules, illustrated by useful examples: to which are added appropriate questions, for the examination of scholars, and a short system of book-keeping., 1827 - facsimile of the relevant section
- The Rule of Three as applied by Michael of Rhodes in the fifteenth century
- The Rule Of Three in Mother Goose
- Rudyard Kipling: You can work it out by Fractions or by simple Rule of Three, But the way of Tweedle-dum is not the way of Tweedle-dee.
External links
- Media related to Cross-multiplication at Wikimedia Commons