숫자 이론(number theory)에서, 곱을 존중하는 양의 정수의 함수가 중요하고 완전한 곱셈 함수(completely multiplicative functions) 또는 전체적으로 곱셈 함수(totally multiplicative functions)라고 불립니다. 더 약한 조건도 중요하며, 서로소(coprime) 숫자의 곱만을 고려하고, 그러한 함수는 곱셈 함수(multiplicative functions)라고 불립니다. 숫자 이론 밖에서, "곱셈 함수"라는 용어는 종종 이 기사에서 정의된 "완전한 곱셈 함수"와 동의어로 취해집니다.
Definition
완전한 곱셈 함수 (또는 전체적으로 곱셈 함수)는 f(1) = 1과 f(ab) = f(a)f(b)가 모든 양의 정수 a와 b에 대해 유지됨을 만족하는 산술 함수 (즉, 그 도메인이 자연수인 함수)입니다.
f(1) = 1이라는 요구 사항 없이, 여전히 f(1) = 0을 가질 수 있지만, 모든 양의 정수 a에 대해 f(a) = 0이므로, 이것은 매우 강력한 제한 사항이 아닙니다.
위의 정의는 대수의 언어를 사용하여 다시 표현될 수 있습니다: 완전한 곱셈 함수는 모노이드 \((\mathbb Z^+,\cdot)\) (즉, 곱셈 아래의 양의 정수)에서 어떤 다른 모노이드로의 준동형(homomorphism)입니다.
Examples
완전한 곱셈 함수의 가장 쉬운 예제는 선행 계수가 1을 갖는 단항식(monomial)입니다: 임의의 특정 양의 정수 n에 대해, \(f(a)=a^n\)을 정의합니다. 그런-다음 \(f(bc)=(bc)^n=b^nc^n=f(b)f(c)\), 및 \(f(1)=1^n=1\)입니다.
리우빌 함수(Liouville function)는 디리클레 문자(Dirichlet characters), 야코비 기호(Jacobi symbol), 및 르장드르 기호(Legendre symbol)와 같이 완전한 곱셈 함수의 비-자명한 예제입니다.
Properties
완전한 곱셈 함수는 산술의 기본 정리(fundamental theorem of arithmetic)의 결과인 소수에서 그것의 값에 의해 완전하게 결정됩니다. 따라서, 만약 n이 구별되는 소수의 거듭제곱의 곱이면 말하자면 \(n=p^aq^b ...\)라고 하면, \(f(n)=f(p)^a f(q)^b ...\)입니다.
두 곱셈 함수의 디리클레 합성곱(Dirichlet convolution)은 곱셈적이지만, 두 개의 완전히 곱셈 함수의 디리클레 합성곱은 완전하게 곱셈적일 필요는 없습니다.
완전하게 곱셈적으로 되는 것과 동등한 함수에 대한 다양한 명제가 있습니다. 예를 들어, 함수 f가 곱셈적이면 그것이 완전하게 곱셈적인 것과 그것의 디리클레 역(Dirichlet inverse)이 \mu\cdot f\)인 것은 필요충분 조건이며 여기서 \(\mu\)는 뫼비우스 함수(Möbius function)입니다.
완전한 곱셈 함수는 분배 법칙도 만족시킵니다. 만약 f가 완전 곱셈이면
\(\quad f \cdot (g*h)=(f \cdot g)*(f \cdot h)\)
여기서 \({*}\)는 디리클레 곱(Dirichlet product)을 나타내고 \(\cdot\) 는 점별 곱셈(pointwise multiplication)을 표현합니다. 이것의 한 가지 결과는 임의의 완전한 곱셈 함수 f에 대해 다음을 가진다는 것입니다:
\(\quad f*f = \tau \cdot f\)
이는 \(g = h = 1\)을 모두 넣음으로써 위에서 추론될 수 있으며, 여기서 \(1(n) = 1\)은 상수 함수(constant function)이고, \( \tau\)는 약수 함수(divisor function)입니다.
Proof of distributive property
\(\quad\begin{align}
f \cdot \left(g*h \right)(n) &= f(n) \cdot \sum_{d|n} g(d) h \left( \frac{n}{d} \right) = \\
&= \sum_{d|n} f(n) \cdot (g(d) h \left( \frac{n}{d} \right)) = \\
&= \sum_{d|n} (f(d) f \left( \frac{n}{d} \right)) \cdot (g(d) h \left( \frac{n}{d} \right)) \text{ (since } f \text{ is completely multiplicative) } = \\
&= \sum_{d|n} (f(d) g(d)) \cdot (f \left( \frac{n}{d} \right) h \left( \frac{n}{d} \right)) \\
&= (f \cdot g)*(f \cdot h).
\end{align}
\)
Dirichlet series
완전한 (또는 전체적으로) 곱셈 디리클레 급수(Dirichlet series) \(a(n)\)의 L-함수는 다음을 만족시킵니다:
\(\quad\displaystyle L(s,a)=\sum^\infty_{n=1}\frac{a(n)}{n^s}=\prod_p\biggl(1-\frac{a(p)}{p^s}\biggr)^{-1},\)
이는 모든 자연수에 걸쳐 합은 모든 소수에 걸쳐 곱과 같다는 것입니다.