기초 대수학(elementary algebra)에서 제곱식을 완성(completing the square)은 다음 형식
\(\quad ax^2 + bx + c\)
의 이차 다항식(quadratic polynomial)을, 어떤 값 h와 k에 대해, 다음 형식으로 변환하는 것에 대해 기법입니다:
\(\quad a(x - h)^2 + k\)
제곱식을 완성은 다음에서 사용됩니다:
- 이차 방정식(quadratic equation)을 푸는 것,
- 이차 공식(quadratic formula)을 유도하는 것,
- 이차 함수(quadratic function)의 그래프를 그리는 것,
- 지수에서 선형 항을 갖는 가우스 적분(Gaussian integral)과 같은, 미적분에서 적분(integral)을 평가하는 것,
- 라플라스 변환(Laplace transforms) 찾는 것.
수학에서, 제곱식을 완성은 이차 다항식을 포함하는 임의의 계산에 자주 적용됩니다.
Overview
Background
이항(binomial)의 제곱(square)을 계산하는 것에 대해 기초 대수학(elementary algebra)에서 공식은 다음입니다:
\(\quad (x + p)^2 \,=\, x^2 + 2px + p^2.\)
예를 들어:
\(\quad \begin{alignat}{2}
(x+3)^2 \,&=\, x^2 + 6x + 9 && (p=3)\\[3pt]
(x-5)^2 \,&=\, x^2 - 10x + 25\qquad && (p=-5).
\end{alignat}
\)
임의의 완전 제곱에서, x의 계수(coefficient)는 숫자 p의 두 배이고, 상수 항(constant term)은 \(p^2\)과 같습니다.
Basic example
다음 이차 다항식(polynomial)을 생각해 보십시오:
\(\quad\displaystyle x^2 + 10x + 28.\)
이 이차식은 완전 제곱식이 아닌데, 왜냐하면 28은 5의 제곱이 아니기 때문입니다:
\(\quad\displaystyle (x+5)^2 \,=\, x^2 + 10x + 25.\)
어쨌든, 원래 이차를 이 제곱과 상수의 합으로 쓸 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle x^2 + 10x + 28 \,=\, (x+5)^2 + 3.\)
이것은 제곱식을 완성으로 불립니다.
General description
임의의 일계수(monic) 이차식이 주어지면:
\(\quad\displaystyle x^2 + bx + c,\)
같은 처음 두 항을 가지는 제곱식을 형성하는 것이 가능합니다:
\(\quad\displaystyle \left(x+\tfrac{1}{2} b\right)^2 \,=\, x^2 + bx + \tfrac{1}{4}b^2.\)
이 제곱식은 원래 이차식과 오직 상수 항의 값에서 다릅니다. 그러므로, 우리는 다음을 쓸 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle x^2 + bx + c \,=\, \left(x + \tfrac{1}{2}b\right)^2 + k,\)
여기서 \(k \,=\, c - \frac{b^2}{4}\)입니다. 이 연산은 제곱식을 완성으로 알려져 있습니다. 예를 들어:
\(\quad \begin{alignat}{1}
x^2 + 6x + 11 \,&=\, (x+3)^2 + 2 \\[3pt]
x^2 + 14x + 30 \,&=\, (x+7)^2 - 19 \\[3pt]
x^2 - 2x + 7 \,&=\, (x-1)^2 + 6.
\end{alignat}
\)
Non-monic case
다음 형식의 이차 다항식이 주어지면:
\(\quad\displaystyle ax^2 + bx + c\)
계수 a를 인수로 묶어내고, 그런-다음 결과 일계수 다항식(monic polynomial)에 대해 제곱식을 완성하는 것이 가능합니다.
예제:
\(\quad \begin{align}
3x^2 + 12x + 27 &= 3(x^2+4x+9)\\
&{}= 3\left((x+2)^2 + 5\right)\\
&{}= 3(x+2)^2 + 15
\end{align}\)
이것은 다음 형식에서 임의의 이차 다항식을 쓸 수 있도록 허용합니다:
\(\quad\displaystyle a(x-h)^2 + k.\)
Formula
Scalar case
제곱식을 완성한 결과는 공식으로 쓰일 수 있습니다. 일반적인 경우에 대해:
\(\quad\displaystyle ax^2 + bx + c \;=\; a(x-h)^2 + k,\quad\text{where}\quad h = -\frac{b}{2a} \quad\text{and}\quad k = c - ah^2 = c - \frac{b^2}{4a}.\)
구체적으로 특별히, a = 1일 때:
\(\quad\displaystyle x^2 + bx + c \;=\; (x-h)^2 + k,\quad\text{where}\quad h = -\frac{b}{2} \quad\text{and}\quad k = c - \frac{b^2}{4}.\)
Matrix case
행렬 사례는 매우 유사합니다:
\(\quad\displaystyle x^{\mathrm{T}}Ax + x^{\mathrm{T}}b + c = (x - h)^{\mathrm{T}}A(x - h) + k \quad\text{where}\quad h = -\frac{1}{2}A^{-1}b \quad\text{and}\quad k = c - \frac{1}{4}b^{\mathrm{T}}A^{-1}b\)
여기서 \(A\)는 대칭(symmetric)이어야 합니다.
만약 \(A\)가 대칭이 아니면, \(h\)와 \(k\)에 대해 공식은 다음으로 일반화되어야 합니다:
\(\quad\displaystyle h = -(A+A^{\mathrm{T}})^{-1}b \quad\text{and}\quad k = c - h^{\mathrm{T}}A h = c - b^{\mathrm{T}} (A+A^{\mathrm{T}})^{-1} A (A+A^{\mathrm{T}})^{-1}b\).
Relation to the graph
해석 기하학(analytic geometry)에서, 임의의 이차 함수(quadratic function)의 그래프는 xy-평면에서 포물선(parabola)입니다. 다음 형식의 이차 다항식이 주어지면
\(\quad (x-h)^2 + k \quad\text{or}\quad a(x-h)^2 + k\)
숫자 h와 k는 포물선의 꼭짓점(vertex) (또는 정류점(stationary point))의 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)로 해석될 수 있습니다. 즉, h는 대칭의 축의 x-좌표이고 (즉, 대칭의 축은 방정식 x = h를 가지고) k는 이차 함수의 최솟값(minimum value)입니다 (만약 a < 0이면 최댓값입니다).
이것을 보이기 위한 한 방법은 함수 \(f(x)=x^2\)의 그래프가 꼭짓점이 원점 (0, 0)에 있는 포물선임을 주목하는 것입니다. 그러므로, 함수 \(f(x-h)=(x-h)^2\)의 그래프는, 제일-위 그림에서 보이는 것처럼, 꼭짓점이 (h, 0)에 있는 h만큼 오른쪽으로 이동된 포물선입니다. 반대로, 함수 \(f(x)+k=x^2+k\)의 그래프는, 중앙 그림에서 보인 것처럼, 꼭짓점이 (0, k)에 있는 k만큼 위쪽으로 이동된 포물선입니다. 수평 및 수직 이동 둘 다를 결합하면 \(f(x-h)+k=(x-h)^2+k\)는,아래 그림에서 보이는 것처럼, 꼭짓점이 (h, k)에 있는 k만큼 오른쪽으로 h만큼 위쪽으로 이동된 포물선을 산출합니다.
Solving quadratic equations
제곱식을 완성하는 것은 임의의 이차 방정식(quadratic equation)을 풀기 위해 사용할 수 있습니다. 예를 들면:
\(\quad x^2 + 6x + 5 = 0,\)
첫 번째 단계는 제곱식을 완성하는 것입니다:
\(\quad (x+3)^2 - 4 = 0.\)
다음으로 우리는 제곱된 형식에 대해 풉니다:
\(\quad (x+3)^2 = 4.\)
그런-다음 다음의 둘이고
\(\quad x+3 = -2 \quad\text{or}\quad x+3 = 2,\)
따라서
\(\quad x = -5 \quad\text{or}\quad x = -1.\)
이것은 임의의 이차 방정식에 적용될 수 있습니다. \(x^2\)이 1 이외의 계수를 가질 때, 첫 번째 단계는 방정식을 이 계수로 나누는 것입니다: 예를 들어 아래의 비-일계수 경우를 참조하십시오.
Irrational and complex roots
만약 근이 유리수(rational)이면 오직 신뢰할 수 있는, 방정식 인수화(factoring)와 관련된 방법과 달리, 제곱식을 완성하는 것은 심지어 근이 무리수 (irrational) 또는 복소수(complex)일 때 이차 방정식의 근을 찾을 것입니다. 예를 들어, 다음 방정식을 생각해 보십시오:
\(\quad x^2 - 10x + 18 = 0.\)
제곱식을 완성하는 것은 다음을 제공합니다:
\(\quad (x-5)^2 - 7 = 0,\)
따라서
\(\quad (x-5)^2 = 7.\)
그런-다음 다음 둘입니다:
\(\quad x-5 = -\sqrt{7} \quad\text{or}\quad x-5 = \sqrt{7},\)
간결한 언어에서:
\(\quad x-5 = \pm \sqrt{7}.\)
따라서
\(\quad x = 5 \pm \sqrt{7}.\)
복소수 근을 갖는 방정식은 같은 방식으로 처리될 수 있습니다. 예를 들어:
\(\quad \begin{array}{c}
x^2 + 4x + 5 \,=\, 0 \\[6pt]
(x+2)^2 + 1 \,=\, 0 \\[6pt]
(x+2)^2 \,=\, -1 \\[6pt]
x+2 \,=\, \pm i \\[6pt]
x \,=\, -2 \pm i.
\end{array}
\)
Non-monic case
비-일계수 이차를 포함하는 방정식에 대해, 그들을 풀기 위한 첫 번째 단계는 \(x^2\)의 계수로 나누는 것입니다. 예를 들어:
\(\quad \begin{array}{c}
2x^2 + 7x + 6 \,=\, 0 \\[6pt]
x^2 + \tfrac{7}{2}x + 3 \,=\, 0 \\[6pt]
\left(x+\tfrac{7}{4}\right)^2 - \tfrac{1}{16} \,=\, 0 \\[6pt]
\left(x+\tfrac{7}{4}\right)^2 \,=\, \tfrac{1}{16} \\[6pt]
x+\tfrac{7}{4} = \tfrac{1}{4} \quad\text{or}\quad x+\tfrac{7}{4} = -\tfrac{1}{4} \\[6pt]
x = -\tfrac{3}{2} \quad\text{or}\quad x = -2.
\end{array}
\)
이 절차를 이차 방정식의 일반적인 형식에 적용하면 이차 공식(quadratic formula)으로 이어집니다.
Other applications
Integration
제곱식을 완성하는 것은 다음 형식의 임의의 적분을 평가하기 위해 사용될 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \int\frac{dx}{ax^2+bx+c}\)
다음 기본 적분을 사용합니다:
\(\quad\displaystyle \int\frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| +C \quad\text{and}\quad
\int\frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) +C.\)
예를 들어, 다음 적분을 생각해 보십시오:
\(\quad\displaystyle \int\frac{dx}{x^2 + 6x + 13}.\)
분모에서 제곱식을 완성하는 것은 다음을 제공합니다:
\(\quad\displaystyle \int\frac{dx}{(x+3)^2 + 4} \,=\, \int\frac{dx}{(x+3)^2 + 2^2}.\)
이것은 이제 치환(substitution) u = x + 3을 사용함으로써 평가될 수 있으며, 이것은 다음을 산출합니다:
\(\quad\displaystyle \int\frac{dx}{(x+3)^2 + 4} \,=\, \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x+3}{2}\right)+C.\)
Complex numbers
다음 표현을 생각해 보십시오:
\(\quad |z|^2 - b^*z - bz^* + c,\)
여기서 z와 b는 복소수(complex number)이고, z*와 b*는, 각각, z와 b의 복소수 켤레(complex conjugate)이고, c는 실수(real number)입니다. 항등식 \(|u|^2=uu^{*}\)을 사용하여 우리는 이것을 다음으로 다시-쓸 수 있을 것입니다:
\(\quad |z-b|^2 - |b|^2 + c , \)
이것은 분명히 실수 양입니다. 이것은 다음이기 때문입니다:
\(\quad \begin{align}
|z-b|^2 &{}= (z-b)(z-b)^*\\
&{}= (z-b)(z^*-b^*)\\
&{}= zz^* - zb^* - bz^* + bb^*\\
&{}= |z|^2 - zb^* - bz^* + |b|^2 .
\end{align}\)
또 다른 예제로써, 다음 표현은:
\(\quad ax^2 + by^2 + c , \)
여기서 a, b, c, x, 및 y는 실수이며, a > 0 및 b > 0와 함께, 복소수의 절댓값(absolute value)의 제곱의 관점에서 표현될 수 있습니다. 다음을 정의합니다:
\(\quad z = \sqrt{a}\,x + i \sqrt{b} \,y . \)
그런-다음
\(\quad \begin{align}
|z|^2 &{}= z z^*\\
&{}= (\sqrt{a}\,x + i \sqrt{b}\,y)(\sqrt{a}\,x - i \sqrt{b}\,y) \\
&{}= ax^2 - i\sqrt{ab}\,xy + i\sqrt{ba}\,yx - i^2by^2 \\
&{}= ax^2 + by^2 ,
\end{align}\)
따라서
\(\quad ax^2 + by^2 + c = |z|^2 + c . \)
Idempotent matrix
행렬(matrix) M은 \(M^2=M\)일 때 거듭상등(idempotent)입니다. 거듭상등 행렬은 0과 1의 거듭상등 속성을 일반화합니다. 다음 방정식의 제곱식 방법의 완성은
\(\quad a^2 + b^2 = a ,\)
어떤 거듭상등 2 × 2 행렬이 (a,b)-평면에서 원(circle)에 의해 매개-변수화됨을 보여줍니다:
행렬 \(\begin{pmatrix}a & b \\ b & 1-a \end{pmatrix}\)은 \(a^2 + b^2 = a\)이라는 조건으로 거듭상등일 것이며, 이것은, 제곱식을 완성하는 것에 의존하여, 다음이 됩니다:
\(\quad (a - \tfrac{1}{2})^2 + b^2 = \tfrac{1}{4} .\)
(a,b)-평면에서, 이것은 중심 (1/2, 0)과 반지름 1/2을 갖는 원의 방정식입니다.
Geometric perspective
다음 방정식에 대해 제곱식을 완성을 생각해 보십시오:
\(\quad x^2 + bx = a.\)
\(x^2\)이 길이 x의 변을 가진 정사각형의 넓이를 나타내고, bx는 변 b와 x를 가진 직사각형의 넓이를 나타내므로, 제곱식을 완성하는 과정은 직사각형의 시각적 조작으로 보여질 수 있습니다.
\(x^2\)와 bx 직사각형을 더 큰 정사각형으로 결합하려는 간단한 시도는 누락된 구석을 초래합니다. 위의 방정식의 각 변에 더해진 항 \(b/2)^2\)는 정확하게 용어 "정사각형을 완성"을 도출할 때, 누락된 가장자리의 넓이입니다.
A variation on the technique
전통적으로 가르치듯이, 제곱식을 완성하는 것은 제곱식을 얻기 위해, 다음 식
\(\quad u^2 + 2uv\)
에 세 번째 항, ''v''<sup> 2</sup>을 더하는 것으로 구성됩니다. 역시 우리는 제곱식을 얻기 위해, 다음 식
\(\quad u^2 + v^2\)
에 중간 항, 2''uv'' 또는 −2''uv'' 중 하나를 더할 수 있는 경우가 있습니다.
Example: the sum of a positive number and its reciprocal
다음을 씀으로써
\(\quad \begin{align}
x + {1 \over x} &{} = \left(x - 2 + {1 \over x}\right) + 2\\
&{}= \left(\sqrt{x} - {1 \over \sqrt{x}}\right)^2 + 2
\end{align}\)
우리는 양수 x와 그의 역수의 합이 항상 2보다 크거나 같다는 것을 봅니다. 실수 표현의 제곱은 항상 영보다 크거나 같으며, 이것은 정해진 경계를 제공합니다; 그리고 여기서 우리는 단지 x가 1일 때 2를 달성하여, 제곱식이 사라지게 합니다.
Example: factoring a simple quartic polynomial
다음 다항식을 인수화하는 문제를 생각해 보십시오:
\(\quad x^4 + 324 . \)
즉,
\(\quad (x^2)^2 + (18)^2, \)
그래서 중간 항은 \(2(x^2)(18)=36x^2\)입니다. 따라서 우리는 다음을 얻습니다:
\(\quad \begin{align} x^4 + 324 &{}= (x^4 + 36x^2 + 324 ) - 36x^2 \\
&{}= (x^2 + 18)^2 - (6x)^2 =\text{a difference of two squares} \\
&{}= (x^2 + 18 + 6x)(x^2 + 18 - 6x) \\
&{}= (x^2 + 6x + 18)(x^2 - 6x + 18)
\end{align}\)
(마지막 줄은 단지 항의 감소하는 차수의 관례를 따르기 위해 추가된 것입니다).
References
- Algebra 1, Glencoe, ISBN 0-07-825083-8, pages 539–544
- Algebra 2, Saxon, ISBN 0-939798-62-X, pages 214–214, 241–242, 256–257, 398–401