집합 이론(set theory)에서, 집합(set) A의 여집합은 A 안에 있지 않은 원소(elements)를 참조합니다.
고려-사항 아래에서 모든 집합은 주어진 집합 U의 부분-집합(subset)으로 여겨질 수 있을 때, A의 절대적인 여집합(absolute complement)은 U 안에 있지만 A 안에 있지 않는 원소의 집합입니다.
집합 B에 관한 A의 상대적인 여집합(relative complement)은 B 안에 있지만 A 안에 있지 않는 원소의 집합이며, B \ A로 쓰이고 B와 A의 집합 차이(set difference)로 역시 이름-짓습니다.
Absolute complement
Definition
만약 A가 집합이면, A의 절대 여집합 (또는 간단히 A의 여집합)은 암시적으로 정의된 더 큰 집합 이내에서 A에 있지 않은 원소의 집합입니다. 다시 말해서, U를 연구 아래에서 모든 원소를 포함하는 집합이라고 놓습니다. 만약 그것이 이전에 지정되었거나 명확하고 고유하기 때문에 U를 언급할 필요가 없으면, A의 절대 여집합은 U에서 A의 상대 여집합입니다:
\(\quad A^c = U \setminus A\).
공식적으로:
\(\quad A^c = \{ x\in U \mid x \notin A \}.\)
A의 절대 여집합은 보통 \(A^c\)로 표시됩니다. 다른 표기법은 \(\overline A\), \(A'\), \(\complement_U A\), 및 \(\complement A\)을 포함합니다.
Examples
- 전체 집합이 정수(integer)의 집합이라고 가정합니다. 만약 A가 홀수의 집합이면, A의 여집합은 짝수의 집합입니다. 만약 B가 3의 배수(multiples0의 집합이면, B의 여집합은 1 또는 2 모듈로 3에 일치(congruent)하는 숫자의 집합 (또는, 더 간단한 용어에서, 3의 배수가 아닌 정수)입니다.
- 전체 집합이 표준 52-카드 덱(standard 52-card deck)이라고 가정합니다. 만약 집합 A가 스페이드의 한벌이면 A의 여집합은 클럽, 다이아몬드 및 하트의 한벌의 합집합(union)입니다. 만약 집합 B가 클럽과 다이아몬드의 한벌의 합집합이라면, B의 여집합은 하트와 스페이드의 한벌의 합집합입니다.
Properties
A와 B를 전체 집합 U에서 두 집합으로 놓습니다. 다음 항등식은 절대 여집합의 중요한 속성을 획득합니다:
- 드 모르간의 법칙(De Morgan's laws):
- \(\left(A \cup B \right)^c=A^c \cap B^c.\)
- \(\left(A \cap B \right)^c=A^c\cup B^c.\)
- 여집합 법칙:
- \(A \cup A^c = U .\)
- \(A \cap A^c =\varnothing .\)
- \(\varnothing^c =U.\)
- \( U^c =\varnothing.\)
- \(\text{If }A\subseteq B\text{, then }B^c\subseteq A^c.\)
- (이것은 그것의 대우(contrapositive)를 갖는 조건부와 동등합니다.)
- 인볼루션(Involution) 또는 이중 여집합 법칙:
- \((A^c)^c=A.\)
- 상대적인 및 절대적인 여집합 사이의 관계:
- \(A \setminus B = A \cap B^c.\)
- \((A \setminus B)^c = A^c \cup B.\)
- 집합 차이를 갖는 관계:
- \( A^c \setminus B^c = B \setminus A. \)
위의 처음 두 여집합 법칙은 만약 A가 비-빈, U의 적절한 부분-집합(proper subset)이면, \(\{A, A^c\}\)은 U의 분할(partition)임을 보여줍니다.
Relative complement
Definition
만약 A와 B가 집합이면, B에서 A의 상대적인 여집합은, B 안에 있지만 A 안에 있지 않는 원소의 집합이며, B와 A의 집합 차이라고 역시 이름-짓습니다.
B에서 A의 상대적인 여집합은 ISO 31-11 표준에 따라 B ∖ A로 표시됩니다. 그것은 때때로 B − A로 쓰이지만, 이 표기법은 모호한 것인데, 왜냐하면 일부 문맥에서 그것은 모든 원소 b − a의 집합으로 해석될 수 있기 때문이며, 여기서 b는 B에서 가져지고 a는 A에서 가져옵니다.
공식적으로:
\(\quad B \setminus A = \{ x\in B \mid x \notin A \}.\)
Examples
- \(\{ 1, 2, 3\} \setminus \{ 2,3,4\} = \{ 1 \}\).
- \(\{ 2, 3, 4 \} \setminus \{ 1,2,3 \} = \{ 4 \} \).
- 만약 \(\mathbb{R}\)가 실수(real number)의 집합이고 \(\mathbb{Q}\)는 유리수(rational number)의 집합이면, \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\)는 무리수(irrational number)의 집합입니다.
Properties
A, B, 및 C를 세 집합으로 놓습니다. 다음 항등식(identities)은 상대적인 여집합의 주목할만한 속성을 보존합니다:
- \(C \setminus (A \cap B) = (C \setminus A) \cup (C \setminus B)\).
- \(C \setminus (A \cup B) = (C \setminus A) \cap (C \setminus B)\).
- \(C \setminus (B \setminus A) = (C \cap A) \cup (C \setminus B)\),
- 중요한 특별한 경우 \(C \setminus (C \setminus A) = (C \cap A)\)와 함께 교집합은 오직 상대적인 여집합 연산을 사용하여 표현될 수 있음을 시연합니다.
- \((B \setminus A) \cap C = (B \cap C) \setminus A = B \cap (C \setminus A)\).
- \((B \setminus A) \cup C = (B \cup C) \setminus (A \setminus C)\).
- \(A \setminus A = \emptyset\).
- \(\emptyset \setminus A = \emptyset\).
- \(A \setminus \emptyset = A\).
- \(A \setminus U = \emptyset\).
Complementary relation
이항 관계(binary relation) R은 집합의 곱(product of sets) X × Y의 부분-집합으로 정의됩니다. 상보적 관계 \(\bar{R}\)는 X × Y에서 R의 집합 여입니다. 관계 R의 여는 다음으로 쓰일 수 있습니다:
\(\quad \bar{R} \ = \ (X \times Y) \backslash R .\)
종종 R은 X의 원소를 나타내는 행과 Y의 원소를 나타내는 열을 가진 논리적 행렬(logical matrix)로 보입니다. aRb의 진리값은 행 a, 열 b에서 1에 해당합니다. R에 대한 상보적 관계를 곱하면 여의 논리적 행렬에 대해 모든 1을 0으로 및 0을 1로 전환하는 것에 해당합니다.
관계의 합성(composition of relations) 및 전환 관계(converse relation)와 함께, 상보적 관계 및 집합의 대수(algebra of sets)는 관계의 미적분(calculus of relations)의 기본 연산(operation)입니다.
LaTeX notation
레이텍(LaTeX) 조판 언어에서, 명령어 \setminus는 보통 집합 차이 기호로 렌더링에 대해 사용되며, 이것은 백슬래시(backslash) 기호와 비슷합니다. 렌더링 될 때, \setminus 명령은 레이텍 문자열 \mathbin{\backslash}과 유사하게 슬래시 앞과 뒤에 약간의 여백이 있는 것을 제외하고 \backslash와 동일하게 보입니다. 변형 \smallsetminus은 amssymb 패키지에서 이용할 수 있습니다.
In programming languages
일부 프로그래밍 언어(programming language)는 그들의 내장 데이터 구조(data structure) 사이에 집합(sets)을 가집니다. 그러한 데이터 구조는 유한 집합으로 작동합니다. 즉, 그것은 데이터의 유한 숫자(finite set)로 구성되며, 구체적으로 순서화되지 않고, 따라서 집합의 원소로 여겨질 수 있습니다. 일부 경우에서, 원소가 구별되지 않아도 되고, 데이터 구조는 집합이 아니라 중복-집합(multiset)으로 코드로 변환합니다. 이들 프로그래밍 언어는 여집합 및 집합 차이를 계산하는 것에 대해 연산자 또는 함수를 가집니다.
이들 연산자는 일반적으로 순서화된 목록(ordered list) 또는 배열(arrays)과 같이 실제로 수학적인 집합이 아닌 데이터 구조에 역시 적용될 수 있습니다. 일부 프로그래밍 언어는 심지어 집합에 대해 임의의 데이터 구조를 가지지 않더라도 set_difference라고 불리는 함수를 가질 수 있음을 따릅니다.
See also
References
- Bourbaki, N. (1970). Théorie des ensembles (in français). Paris: Hermann. ISBN 978-3-540-34034-8. {{cite book}}: Invalid |ref=harv (help)
- Devlin, Keith J. (1979). Fundamentals of contemporary set theory. Universitext. Springer. ISBN 0-387-90441-7. Zbl 0407.04003. {{cite book}}: Invalid |ref=harv (help)
- Halmos, Paul R. (1960). Naive set theory. The University Series in Undergraduate Mathematics. van Nostrand Company. Zbl 0087.04403. {{cite book}}: Invalid |ref=harv (help)
External links