수학(mathematics)에서, 취소적(cancellative)의 개념은 역-가능(invertible)의 개념을 일반화한 것입니다.
마그마 (M, ∗)의 원소 a는 만약 M에서 모든 b와 c에 대해, a ∗ b = a ∗ c가 항상 b = c를 의미하면 왼쪽 취소 속성(left cancellation property 또는 왼쪽-취소적(left-cancellative))을 가집니다.
마그마 (M, ∗)의 원소 a는 만약 M에서 모든 b와 c에 대해 b ∗ a = c ∗ a가 항상 b = c를 의미하면 오른쪽 취소 속성(right cancellation property 또는 오른쪽-취소적(right-cancellative))을 가집니다.
마그마 (M, ∗)의 원소 a는 만약 그것이 왼쪽과 오른쪽-취소적 모두이면 양-쪽 취소 속성(two-sided cancellation property 또는 취소적(cancellative))을 가집니다.
마그마 (M, ∗)는 만약 마그마에서 모든 a가 왼쪽 취소적이면 왼쪽 취소 속성 (또는 왼쪽-취소적)을 가지고, 유사한 정의가 오른쪽-취소적 또는 양-쪽 취소적 속성에 적용됩니다.
왼쪽-역가능 원소는 왼쪽-취소적이고, 오른쪽과 양-쪽에 대해서도 유사합니다.
예를 들어, 모든 각 준그룹(quasigroup), 따라서 모든 각 그룹(group)은 취소적입니다.
Interpretation
마그마 (M, ∗)에서 원소 a가 왼쪽-취소적이라고 말하는 것은 함수 g : x ↦ a ∗ x가 단사적(injective)이라고 말하는 것입니다. 함수 g가 단사적이라는 것은 a ∗ x = b 형식의 일부 상등이 주어지면, 여기서 유일하게 미지수는 x이며, 상등을 만족시키는 x의 가능한 값은 하나뿐이라는 것을 의미합니다. 보다 정확하게, 모든 x에 대해 f(g(x)) = f(a ∗ x) = x를 만족하는 g의 역함수, 어떤 함수 f를 정의할 수 있습니다. 다른 방법을 넣어, M에서 모든 x와 y에 대해, a * x = a * y이면 x = y입니다.
Examples of cancellative monoids and semigroups
양의 (동일하게 비-음의) 정수는 덧셈 아래에서 취소적 반그룹(semigroup)을 형성합니다. 비-음의 정수는 덧셈 아래에서 취소적 모노이드(monoid)를 형성합니다.
실제로, 임의의 자유 반그룹 또는 모노이드는 취소적 법칙을 따르고, 일반적으로, 그룹에 삽입된 임의의 반그룹 또는 모노이드는 (위의 예에서 분명히 그렇듯이) 취소적 법칙을 따를 것입니다.
다른 맥락에서, 영 약수가 아닌 링의 원소의 곱셈 반그룹(의 부분-반그룹) (문제에서 링이 정수와 같이 도메인이면 모든 비-영 원소의 집합일뿐임)은 취소적 속성을 가집니다. 이것은 문제에서 링이 비-교환 및/또는 단위가 아닌 경우에도 유효하게 남게 됨에 주목하십시오.
Non-cancellative algebraic structures
비록 취소 법칙이 실수와 복소수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 및 나눗셈에 대해 유지되지만 (0으로 곱하기 및 0을 또 다른 숫자로 나누는 단일 예외 제외), 취소 법칙이 유효하지 않은 대수적 구조가 많이 있습니다.
두 벡터의 교차 곱(cross product)은 취소 법칙을 따르지 않습니다. 만약 a × b = a × c이면, a ≠ 0이더라도 b = c를 따르지 않습니다.
행렬 곱셈(Matrix multiplication)도 반드시 취소 법칙을 따르는 것은 아닙니다. 만약 AB = AC이고 A ≠ 0이면, B = C라는 결론을 내리기 전에 행렬 A가 역-가능임 (즉, det(A) ≠ 0을 가짐)을 보여야 합니다. 만약 det(A) = 0이면, B는 C와 같지 않을 수 있는데, 왜냐하면 행렬 방정식 AX = B는 비-역가능 행렬 A에 대해 고유한 해를 가지지 않기 때문입니다.
역시 AB = CA이고 A ≠ 0이고 행렬 A가 역-가능 (즉, det(A) ≠ 0)이면, B = C가 반드시 참인 것은 아님에 주목하십시오. 취소는 AB = AC와 BA = CA에 대해서만 작동하고 (행렬 A가 역-가능이라는 조건), AB = CA와 BA = AC에 대해 그렇지 않습니다.