(번역) Bump function

Original article: w:Bump function

 
수학(mathematics)에서, 혹 함수(bump function, 역시 테스트 함수라고 불림)는 (모든 차수의 연속 도함수를 가진다는 의미에서) 매끄럽고 컴팩트하게 지원된 유클리드 공간 ${\mathbb{R}}^n$ 위의 함수 $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$입니다. 도메인(domain) ${\mathbb{R}}^n$을 갖는 모든 혹 함수의 집합(set)은 벡터 공간(vector space)을 형성하며, ${\mathrm{C}}_0^{\mathrm{\infty }}({\mathbb{R}}^n)$ 또는 ${\mathrm{C}}_{\mathrm{c}}^{\mathrm{\infty }}({\mathbb{R}}^n)$으로 표시됩니다. 적절한 토폴로지(topology)가 부여된 이 공간의 이중 공간(dual space)은 분포(distributions)의 공간입니다.

Examples

다음에 의해 주어진 함수 $\mathrm{\Psi }:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$는
${\displaystyle \mathrm{\Psi }(x)=\{\begin{array}{ll}\exp (-\frac{1}{1-x^2}),& x\in (-1,1)\\ 0,& \text{otherwise}\end{array}}$
일 차원에서 혹 함수의 예시입니다. 실수 직선의 함수가 컴팩트 지원을 가지는 것과 그것이 경계진 닫힌 지원을 가지는 것은 필요충분 조건이기 때문에, 이 함수가 컴팩트 지원을 가진다는 구성에서 분명합니다. 매끄러움의 증명은 비-해석적 매끄러운 함수(Non-analytic smooth function) 기사에서 논의된 관련 함수와 같은 선을 따릅니다. 이 함수는 단위 디스크에 맞게 스케일된 가우스 함수(Gaussian function) $\exp (-y^2)$로 해석될 수 있습니다: 치환 $y^2=1/(1-x^2)$는 $x=\pm 1$을 $y=\mathrm{\infty }$로 보내는 것에 해당합니다.
$n$ 변수에서 (제곱) 혹 함수의 간단한 예제는 하나의 변수에서 위의 혹 함수의 $n$ 복사본을 취함으로써 얻어지므로, 
${\displaystyle \mathrm{\Phi }(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\mathrm{\Psi }(x_1)\mathrm{\Psi }(x_2)\cdots \mathrm{\Psi }(x_n).}$

Existence of bump functions

혹 함수를 "사양에 맞게" 구성할 수 있습니다. 형식적으로 말하면, 만약 $K$가 $n$ 차원에서 임의적인 컴팩트 집합이고 $U$가 $K,$를 포함하는 열린 집합이면, $K$ 위에 $1$과 $U$의 밖에서 $0$인 혹 함수 $\varphi$가 존재합니다. $U$는 $K$의 매우 작은 이웃으로 취해질 수 있기 때문에, 이것은 $K$ 위에 $1$이고 $K$ 밖에서 $0$으로 빠르게 떨어지면서 여전히 매끄럽게 되는 함수를 구성할 수 있는 것과 같습니다.
구성은 아래와 같이 진행됩니다. $U$에 포함된 $K$의 컴팩트 이웃 $V$를 고려하므로, $K\subseteq V^{\circ }\subseteq V\subseteq U$입니다. $V$의 특성 함수(characteristic function) ${\chi }_V$는 $V$ 위에 1, $V$ 밖에서 $0$과 같을 것이므로, 특히, $K$ 위에 1이고 $U$ 밖에서 $0$일 것입니다. 어쨌든, 이 함수는 매끄럽지 않습니다. 핵심 아이디어는 완화자(mollifier)를 갖는 ${\chi }_V$의 합성곱(convolution)을 취함으로써 ${\chi }_V$를 약간 매끄럽게 하는 것입니다. 후자는 매우 작은 지원을 갖는 혹 함수일 뿐이고 그 적분은 $1$입니다. 예를 들어, 이전 섹션에서 혹 함수 $\mathrm{\Phi }$를 취하고 적절한 스케일링을 수행함으로써 그러한 완화자를 얻을 수 있습니다.
합성곱을 포함하지 않는 대안적인 구성이 이제 자세히 설명됩니다. 음의 실수에서 사라지고 양의 실수에서 양수인 임의의 매끄러운 함수 $c:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$로 시작합니다 (즉, $(-\mathrm{\infty },0)$에서 $c=0$과 $(0,\mathrm{\infty })$에서 $c>0$, 여기서 왼쪽에서 연속성은 $c(0)=0$을 필요로 합니다); 그러한 함수의 예제는 $x>0$에 대해 $c(x):=e^{-1/x}$이고 그렇지 않으면 $c(x):=0$입니다. ${\mathbb{R}}^n$의 열린 부분집합 $U$를 고정하고 보통의 유클리드 노름(Euclidean norm)을 $\Vert \cdot \Vert$로 표시합니다 (따라서 ${\mathbb{R}}^n$는 보통의 유클리드 메트릭(Euclidean metric)이 부여됩니다). 다음 구성은 $U$에서 양수이고 $U$의 밖에서 사라지는 매끄러운 함수 $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$를 정의합니다. 따라서 특히, $U$가 상대적으로 컴팩트하면, 이 함수 $f$는 혹 함수가 될 것입니다.
만약 $U={\mathbb{R}}^n$이면 $f=1$라고 놓고 반면에 $U=\varnothing$이면 $f=0$라고 놓습니다; 따라서 $U$가 이들 중 어느 것도 아니라고 가정합니다. ${\left(U_k\right)}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$를 열린 공 $U_k$가 반지름 $r_k>0$을 가지고 중심 $a_k\in U$를 가지는 열린 공에 의한 $U$의 열린 덮개라고 놓습니다. 그런-다음 $f_k(x)=c(r_k^2-{\Vert x-a_k\Vert }^2)$에 의해 정의된 맵 $f_k:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$은 $U_k$에서 양수이고 $U_k$ 밖에서 사라지는 매끄러운 함수입니다. 모든 각 $k\in \mathbb{N}$에 대해, 다음이라고 놓습니다:
${\displaystyle M_k=sup\{|\frac{{\partial }^p{f}_k}{{\partial }^{p_1}{x}_1\cdots {\partial }^{p_n}{x}_n}(x)|:x\in {\mathbb{R}}^n\text{ and }{p}_1,\dots ,p_n\in \mathbb{Z}\text{ satisfy }0\le p_i\le k\text{ and }p=\sum _i{p}_i\},}$
여기서 이 상한(supremum)은 $+\mathrm{\infty }$와 같지 않은데 (따라서 $M_k$는 음이 아닌 실수), 왜냐하면 $({\mathbb{R}}^n\setminus U_k)\cup \overline{U_k}={\mathbb{R}}^n,$ 부분 도함수는 $U_k$의 밖의 임의의 $x$에서 모두 사라지고 ($0$과 같고), 반면에 컴팩트 집합 $\overline{U_k}$ 위에, 각 (유한하게 많은) 부분 도함수의 값은 일부 비-음의 실수에 의해 위에 (균등하게) 경계져 있습니다. 다음 급수는 
${\displaystyle f:=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f_k}{2^k{M}_k}}$
${\mathbb{R}}^n$ 위에 $U$에서 양수이고 $U$ 밖에서 사라지는 매끄러운 함수 $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$으로 균등하게 수렴합니다. 게다가, 임의의 비-음의 정수 $p_1,\dots ,p_n\in \mathbb{Z}$에 대해,
${\displaystyle \frac{{\partial }^{p_1+\cdots +p_n}}{{\partial }^{p_1}{x}_1\cdots {\partial }^{p_n}{x}_n}f=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^k{M}_k}\frac{{\partial }^{p_1+\cdots +p_n}{f}_k}{{\partial }^{p_1}{x}_1\cdots {\partial }^{p_n}{x}_n}}$
여기서 이 급수는 ${\mathbb{R}}^n$에서 균등하게 수렴합니다 (왜냐하면 $k\ge p_1+\cdots +p_n$일 때마다, $k$-번째 항의 절댓값은 $\le \frac{M_k}{2^k{M}_k}=\frac{1}{2^k}$이기 때문입니다).
따름 정리로서, ${\mathbb{R}}^n$의 두 개의 서로소 닫힌 부분집합 $A,B$와 임의의 $x\in {\mathbb{R}}^n$에 대해, $f_A(x)=0$인 것과 $x\in A$인 것이 필요충분 조건이고, 유사하게 $f_B(x)=0$인 것과 $x\in B$인 것이 필요충분 조건임을 만족하는 매끄러운 비-음의 함수 $f_A,f_B:{\mathbb{R}}^n\to [0,\mathrm{\infty })$가 주어지면, 함수 $f:=\frac{f_A}{f_A+f_B}:{\mathbb{R}}^n\to [0,1]$는 매끄러운 것이고, 임의의 $x\in {\mathbb{R}}^n$에 대해, $f(x)=0$인 것과 $x\in A$인 것이 필요충분 조건이고, $f(x)=1$인 것과 $x\in B$인 것이 필요충분 조건이고, $0<f(x)<1$인 것과 $x\notin A\cup B$인 것이 필요충분 조건입니다. 특히, $f(x)\ne 0$인 것과 $x\in {\mathbb{R}}^n\setminus A$인 것이 필요충분 조건이므로, 게다가 $U:={\mathbb{R}}^n\setminus A$가 ${\mathbb{R}}^n$에서 상대적으로 컴팩트이면 (여기서 $A\cap B=\varnothing$는 $B\subseteq U$를 의미함), $f$는 $\bar{U}$에서 지원을 갖는 매끄러운 혹 함수가 될 것입니다.

Properties and uses

혹 함수는 매끄러운 것이지만, 그것들은 동일하게 사라지지(vanish) 않는 한 해석적(analytic)일 수 없습니다 이것은 항등 정리(identity theorem)의 간단한 결과입니다. 혹 함수는 종종 완화자(mollifiers)로, 매끄러운 절단 함수(cutoff functions)로, 및 매끄러운 단위의 분할(partitions of unity)을 형성하기 위해 사용됩니다. 그것들은 해석학에 사용되는 가장 공통적인 테스트 함수(test functions)의 클래스입니다. 혹 함수의 공간은 많은 연산 아래에서 닫혀 있습니다. 예를 들어, 두 혹 함수의 합, 곱, 또는 합성곱(convolution)은 다시 혹 함수이고, 매끄러운 계수를 갖는 임의의 미분 연산자(differential operator)는, 혹 함수에 적용될 때, 또 다른 혹 함수를 생성할 것입니다.
만약 혹 함수 도메인의 경계가 $\partial x$이면, "매끄러움"의 요구 사항을 충족하기 위해 그것은 모든 도함수의 연속성을 보존해야 하며, 이는 그 도메인의 경계에서 다음 요구 사항으로 이어집니다:
${\displaystyle \underset{x\to \partial x^{\pm }}{lim}\frac{d^n}{d{x}^n}f(x)=0,\text{ for all }n\ge 0,n\in \mathbb{Z}}$
혹 함수의 푸리에 변환(Fourier transform)은 (실수) 해석적 함수이고, 전체 복소 평면으로 확장될 수 있습니다: 따라서 유일한 전체 해석적 혹 함수가 영 함수이기 때문에, 그것이 영이 아닌 한 컴팩트하게 지원된 것일 수 없습니다 (Paley–Wiener theorem와 Liouville's theorem를 참조하십시오). 혹 함수는 무한하게 미분-가능이기 때문에, 그것의 푸리에 변환은 큰 각 주파수 $|k|$에 대해 $1/k$의 임의의 유한한 거듭제곱보다 더 빨리 감쇠해야 합니다. 위로부터 다음 특정 혹 함수의 푸리에 변환은
${\displaystyle \mathrm{\Psi }(x)=e^{-1/(1-x^2)}{\mathbf{1}}_{\{|x|<1\}}}$
안장-점 방법(saddle-point method)에 의해 분석될 수 있고, 큰 $|k|$에 대해 다음과 같이 점근적으로 감쇄합니다:
${\displaystyle |k{|}^{-3/4}{e}^{-\sqrt{|k|}}}$

References

 

• Nestruev, Jet (10 September 2020). Smooth Manifolds and Observables. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 220. Cham, Switzerland: Springer Nature. ISBN 978-3-030-45649-8. OCLC 1195920718.