수학에서, 정식의 기저(canonical basis)는 다음과 같은 정확한 문맥에 따라 달라지는 의미에서 정식인 대수적 구조의 기저입니다:
- 좌표 공간, 보다 일반적으로 자유 모듈에서, 그것은 크로네커 델타(Kronecker delta)에 의해 정의된 표준 기저(standard basis)를 참조합니다.
- 다항식 링에서, 그것은 단항식(monomials), \((X^i)_i\)에 의해 주어진 표준 기저를 참조합니다.
- 유한 확장 필드에 대해, 그것은 다항식 기저(polynomial basis)를 의미합니다.
- 선형 대수(linear algebra)에서, 그것은 만약 집합이 전적으로 조르당 체인(Jordan chain)으로 구성되면 n×n 행렬 A의 선형적으로 독립 일반화된 고유-벡터(generalized eigenvectors)의 집합을 참조합니다.
- 표시 이론(representation theory)에서, 그것은 루스티그(Lusztig)에 의해 도입된 양자 그룹(quantum groups)의 기저를 참조합니다.
Representation theory
유형 \(ADE\)의 양자화된 감싸는 대수의 기약 표시와 역시 해당 대수의 더하기 부분에 대한 정식의 기저는 루스티그(Lusztig)에 의해 두 가지 방법에 의해 소개되었습니다: 대수적인 것 (땋은 그룹 동작과 PBW 기저를 사용) 및 토폴로지적인 것 (교차 코호몰로지를 사용). 매개변수 \(q\)를 \(q=1\)로 특수화하는 것은 이전에 알려져 있지 않은 해당하는 단순 리 대수의 기약 표시에 대한 정식의 기저를 생성합니다. 매개변수 \(q\)를 \(q=0\)으로 특수화하는 것은 기저의 그림자와 같은 어떤 것을 생성합니다. 기약 표시의 경우에 대한 이 그림자 (그러나 기초 자체는 아님)는 카시와하라(Kashiwara)에 의해 독립적으로 고려되었습니다; 그것은 때때로 크리스탈 기저(crystal basis)이라고 불립니다. 정식의 기저의 정의는 (대수적 방법에 의한) 카시와하라와 (토폴로지적 방법에 의한) 루스티그에 의해 Kac-Moody 설정으로 확장되었습니다.
이들 기저의 놓여있는 개념은 다음과 같습니다:
두 개의 부분링 \(\mathcal{Z}^{\pm}:=\mathbb{Z}\left[v^{\pm 1}\right]\)과 \(\overline{v}:=v^{-1}\)에 의해 정의된 자기동형 \(\overline{\cdot}\)을 갖는 정수 로랑 다항식(Laurent polynomials) \(\mathcal{Z}:=\mathbb{Z}\left[v,v^{-1}\right]\)의 링을 생각해 보십시오.
자유 \(\mathcal{Z}\)-모듈 \(F\) 위에 전-정식의 구조(precanonical structure)는 다음으로 구성됩니다:
- \(F\)의 표준(standard) 기저 \((t_i)_{i\in I}\) ,
- \(I\) 위에 구간 유한 부분 순서(partial order), 즉, \((-\infty,i] := \{j\in I \mid j\leq i\}\)는 모든 \(i\in I\)에 대해 유한합니다,
- 이중화 연산, 즉, \(\overline{\cdot}\)-반선형(semilinear)이고 마찬가지로 \(\overline{\cdot}\)에 의해 표시되는 차수 2의 전단사 \(F\to F\).
만약 전-정식의 구조가 주어지면, 우리는 \(F\)의 \(\mathcal{Z}^{\pm}\) 부분모듈 \( F^{\pm} := \sum \mathcal{Z}^{\pm} t_j\)을 정의할 수 있습니다.
전-정식의 구조의 정식의 기저는 그런-다음 모든 \(i\in I\)에 대해 다음임을 만족시키는 \(F\)의 \(\mathcal{Z}\)-기저 \((c_i)_{i\in I}\)입니다:
- \(\overline{c_i}=c_i\) 및
- \(c_i \in \sum_{j\leq i} \mathcal{Z}^+ t_j \text{ and } c_i \equiv t_i \mod vF^+\)
각각의 전-정식의 구조에 대해 많아야 하나의 정식의 기저가 존재한다는 것을 보여줄 수 있습니다. 존재에 대한 충분조건은 \(\overline{t_j}=\sum_i r_{ij} t_i\)에 의해 정의되는 다항식 \(r_{ij}\in\mathcal{Z}\)가 \(r_{ii}=1\)와 \(r_{ij}\neq 0 \implies i\leq j\)를 만족시킨다는 것입니다.
정식의 기저는 \(\textstyle F^+\cap \overline{F^+} = \sum_i \mathbb{Z}c_i\)에서 \(F^+/vF^+\)로의 동형-사상을 유도합니다.
Hecke algebras
\((W,S)\)를 콕서터 그룹(Coxeter group)이라고 놓습니다. 대응하는 이와호리-헤지 대수(Iwahori-Hecke algebra) \(H\)는 표준 기저 \((T_w)_{w\in W}\)를 가지며, 그 그룹은 구간 유한인 브뤼아 순서(Bruhat order)에 의해 부분적으로 순서화되고 \(\overline{T_w}:=T_{w^{-1}}^{-1}\)에 의해 정의되는 이중화 연산을 가집니다. 이것은 위의 충분조건을 만족시키는 \(H\) 위에 전-정식의 구조이고 \(H\)의 해당하는 정식의 기저는 카즈단–루스티그 기저(Kazhdan–Lusztig basis)입니다:
\(\quad\displaystyle C_w' = \sum_{y\leq w} P_{y,w}(v^2) T_w\)
여기서 \(P_{y,w}\)는 카즈단–루스티그 다항식(Kazhdan–Lusztig polynomials)입니다.
Linear algebra
만약 우리가 n × n 행렬(matrix) \(A\)가 주어지고 \(A\)와 유사한(similar) 조르당 정규 형식(Jordan normal form)에서 행렬 \(J\)를 찾기를 원하면, 우리는 선형적으로 독립(linearly independent) 일반화된 고유-벡터 집합에만 관심이 있습니다. 조르당 정규 형식에서 행렬은 "거의 대각 행렬", 즉, 가능한 한 대각선에 가까운 것입니다. 대각 행렬(diagonal matrix) \(D\)는 조르당 정규 형식에서 행렬의 특수한 경우입니다. 보통의 고유-벡터(ordinary eigenvector)는 일반화된 고유-벡터의 특수한 경우입니다.
모든 각 n × n 행렬 \(A\)는 n개의 선형적으로 독립 일반화된 고유-벡터를 가집니다. 구별되는 고윳값(eigenvalues)에 해당하는 일반화된 고유-벡터는 선형적으로 독립입니다. 만약 \(\lambda\)가 대수적 중복도 \(\mu\)의 \(A\)의 고윳값이면, \(A\)는 \(\lambda\)에 해당하는 \(\lambda\) 선형적으로 독립 일반화된 고유-벡터를 가질 것입니다.
임의의 주어진 n × n 행렬 \(A\)에 대해, n개의 선형적으로 독립 일반화된 고유-벡터를 선택하기 위한 무한하게 많은 방법이 있습니다. 만약 그것들이 특히 신중한 방식으로 선택되면, 우리는 이들 벡터를 \(A\)가 조르당 정규 형식에서 행렬과 유사하다는 것을 보여주기 위해 사용할 수 있습니다. 특히,
정의: n개의 선형적으로 독립 일반화된 고유-벡터의 집합은 만약 그것이 전체적으로 조르당 체인으로 구성되면 정식의 기저(canonical basis)입니다.
따라서, 한번 우리가 랭크 m의 일반화된 고유-벡터가 정식의 기저에 있다고 결정했으면, \( \mathbf x_m \)에 의해 생성된 조르당 체인에 있는 m − 1 벡터 \( \mathbf x_{m-1}, \mathbf x_{m-2}, \ldots , \mathbf x_1 \)도 정식의 기저임이 따라옵니다.
Computation
\( \lambda_i \)를 대수적 중복도 \( \mu_i \)의 \(A\)의 고윳값이라고 놓습니다. 먼저, 행렬 \( (A - \lambda_i I), (A - \lambda_i I)^2, \ldots , (A - \lambda_i I)^{m_i} \)의 랭크 (행렬 랭크)를 찾습니다. 정수 \(m_i\)는 \( (A - \lambda_i I)^{m_i} \)가 랭크 \(n - \mu_i \)를 가지는 첫 번째 정수로 결정됩니다 (n은 \(A\)의 행 또는 열의 수, 즉 \(A\)는 n × n입니다).
이제 다음을 정의합니다:
\(\quad\displaystyle \rho_k = \operatorname{rank}(A - \lambda_i I)^{k-1} - \operatorname{rank}(A - \lambda_i I)^k \qquad (k = 1, 2, \ldots , m_i).\)
변수 \( \rho_k \)는 \(A\)에 대한 정식의 기저에서 나타날 고윳값 \( \lambda_i \)에 해당하는 랭크 k의 선형적으로 독립 일반화된 고유-벡터 (일반화된 고유-벡터 랭크; 일반화된 고유-벡터 참조)의 숫자를 지정합니다. 다음임을 주목하십시오:
\(\quad\displaystyle \operatorname{rank}(A - \lambda_i I)^0 = \operatorname{rank}(I) = n .\)
한번 우리가 정식의 기저가 가지는 각 랭크의 일반화된 고유-벡터의 숫자를 결정했으면, 우리는 벡터를 명시적으로 얻을 수 있습니다 (일반화된 고유-벡터 참조).
Example
이 예제는 두 개의 조르당 체인을 갖는 정식의 기저를 묘사합니다. 불행하게도, 낮은 차수의 흥미로운 예제를 구성하는 것은 약간 어렵습니다. 다음 행렬은
\(\quad A = \begin{pmatrix}
4 & 1 & 1 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 4 & 2 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 4 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 5 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4
\end{pmatrix}\)
대수적 중복도 \( \mu_1 = 4 \)과 \( \mu_2 = 2 \)이지만, 기하학적 중복도(geometric multiplicities) \( \gamma_1 = 1 \)과 \( \gamma_2 = 1 \)를 갖는 고윳값 \( \lambda_1 = 4 \)와 \( \lambda_2 = 5 \)를 가집니다.
\( \lambda_1 = 4\)에 대해, 우리는 \( n - \mu_1 = 6 - 4 = 2 \)을 가집니다:
\(\quad\displaystyle (A - 4I) \)는 랭크 5를 가집니다
\(\quad\displaystyle (A - 4I)^2 \)는 랭크 4를 가집니다,
\(\quad\displaystyle (A - 4I)^3 \)는 랭크 3을 가집니다,
\(\quad\displaystyle (A - 4I)^4 \)는 랭크 2를 가집니다.
그러므로 \(m_1 = 4.\)
\(\quad\displaystyle \rho_4 = \operatorname{rank}(A - 4I)^3 - \operatorname{rank}(A - 4I)^4 = 3 - 2 = 1,\)
\(\quad\displaystyle \rho_3 = \operatorname{rank}(A - 4I)^2 - \operatorname{rank}(A - 4I)^3 = 4 - 3 = 1,\)
\(\quad\displaystyle \rho_2 = \operatorname{rank}(A - 4I)^1 - \operatorname{rank}(A - 4I)^2 = 5 - 4 = 1,\)
\(\quad\displaystyle \rho_1 = \operatorname{rank}(A - 4I)^0 - \operatorname{rank}(A - 4I)^1 = 6 - 5 = 1.\)
따라서, \(A\)에 대한 정식의 기저는, \( \lambda_1 = 4\)에 해당하는, 랭크 4, 3, 2 및 1 각각에 대해 하나의 일반화된 고유-벡터를 가질 것입니다.
\( \lambda_2 = 5\)에 대해, 우리는 \( n - \mu_2 = 6 - 2 = 4 \)를 가집니다:
\(\quad\displaystyle (A - 5I) \)는 랭크 5를 가집니다,
\(\quad\displaystyle (A - 5I)^2 \)는 랭크 4를 가집니다.
그러므로 \(m_2 = 2.\)
\(\quad\displaystyle \rho_2 = \operatorname{rank}(A - 5I)^1 - \operatorname{rank}(A - 5I)^2 = 5 - 4 = 1,\)
\(\quad\displaystyle \rho_1 = \operatorname{rank}(A - 5I)^0 - \operatorname{rank}(A - 5I)^1 = 6 - 5 = 1.\)
따라서, \(A\)에 대한 정식의 기저는, \( \lambda_2 = 5\)에 해당하는, 랭크 2와 1 각각에 대해 하나의 일반화된 고유-벡터를 가질 것입니다.\(A\)에 대해 정식의 기저는 다음입니다:
\(\quad \left\{ \mathbf x_1, \mathbf x_2, \mathbf x_3, \mathbf x_4, \mathbf y_1, \mathbf y_2 \right\} =
\left\{
\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} -27 \\ -4 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 25 \\ -25 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 0 \\ 36 \\ -12 \\ -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} -8 \\ -4 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
\right\}.
\)
\( \mathbf x_1 \)은 \( \lambda_1 \)과 결합된 보통의 고유-벡터입니다. \( \mathbf x_2, \mathbf x_3 \) 및 \( \mathbf x_4 \)는 \( \lambda_1 \)과 결합된 일반화된 고유-벡터입니다. \( \mathbf y_1 \)은 \( \lambda_2 \)와 결합된 보통의 고유-벡터입니다. \( \mathbf y_2 \)는 \( \lambda_2 \)와 결합된 일반화된 고유-벡터입니다.
\(A\)와 유사한 조르당 정규 형식에서 행렬 \(J\)는 다음과 같이 구합니다:
\(\quad M =
\begin{pmatrix} \mathbf x_1 & \mathbf x_2 & \mathbf x_3 & \mathbf x_4 & \mathbf y_1 & \mathbf y_2 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
-4 & -27 & 25 & 0 & 3 & -8 \\
0 & -4 & -25 & 36 & 2 & -4 \\
0 & 0 & -2 & -12 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0
\end{pmatrix},
\)
\(\quad J = \begin{pmatrix}
4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 4 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5
\end{pmatrix},
\)
여기서 행렬 \(M\)은 \(A\)에 대해 일반화된 양식 행렬(generalized modal matrix)이고 \(AM = MJ\)입니다.