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(번역) 0

by 다움위키 2024. 1. 3.

0 (zero)은 숫자(number)이고, 숫자-표시(numerals)에서 해당 숫자를 표현하기 위해 사용되는 숫자 자릿수(numerical digit)입니다. 그것은 정수(integer), 실수(real number) 및 많은 다른 대수적 구조(algebraic structure)의 덧셈의 항등원(additive identity)으로 수학(mathematics)에서 중심적인 역할을 합니다. 자릿수로써, 0은 자리 값 시스템(place value systems)에서 자리-표시자로 사용됩니다. 영어에서 숫자 0을 나타내는 이름(Names for the number 0 in English)은 zero, nought (UK), naught (US) (/nɔːt/), nil, 또는—적어도 하나의 인접한 자릿수가 문자 "O"와 구별되는 문맥에서—oh or o (/oʊ/)을 포함합니다. 영에 대해 비공식 또는 속어 용어는 zilch 및 zip을 포함합니다. Ought 및 aught (/ɔːt/), 마찬가지로 cipher는 역시 역사적으로 사용되어 왔습니다.

Etymology

단어 zero는 이탈리아어(Italian) zero, ṣafira or ṣifr를 통한 이탈리아어 zefiro의 베네치아 zevero 형식의 이탈리아어 축약에서 프랑스어 zéro를 통해 영어로 들어왔습니다. 이전-이슬람 시대에서, 단어 ṣifr (Arabic صفر)는 "빈 것"이라는 의미를 가졌습니다. Sifr은, 그것이 인도(India)에서 śūnya (Sanskrit: शून्य)를 번역하기 위해 사용되었을 때, 영을 의미하는 것으로 진화했습니다. 영국에서 처음으로 zero을 사용한 것은 1598년이었습니다.
북아프리카에서 자랐고 유럽에 십진 시스템을 도입한 공로를 인정받은, 이탈리아의 수학자 피보나치(Fibonacci) (c. 1170–1250)는 용어 zephyrum을 사용했습니다. 이것은 이탈리아어로 zefiro가 되었고, 그런-다음 베네치아에서 zero으로 축약되었습니다. 이탈리아 단어 zefiro는 이미 존재했었고 (라틴어와 그리스어 zephyrus에서 "west wind"을 의미함), 아랍어 ṣifr를 번역표기할 때 철자에 영향을 미쳤을 수 있습니다.

Modern usage

문맥에 따라, 숫자 영 (또는 영의 개념)에 대해 사용된 다른 단어가 있을 수 있습니다. 부족의 단순한 개념에 대해, 단어 nothing 및 none은 자주 사용됩니다. 때때로, 단어 nought, naught 및 aught가 사용됩니다. 여러 스포츠는 영의 점수에 대해, 테니스(tennis)에서 love 및 크리킷(cricket)에서 duck와 같은, 특정 단어를 가집니다; nil은 영국 영어(British English)에서 많은 스포츠에 대해 사용됩니다. 그것은 종종 전화번호의 문맥에서 oh로 불립니다. 영에 대해 속어 단어는 zip, zilch, nada, 및 scratch를 포함합니다. Duck egg 및 goose egg은 역시 영에 대한 속어입니다.

History

Ancient Near East

고대 이집트 숫자-표시(Egyptian numerals)는 밑수 10(base 10)의 것이었습니다. 그들은 자릿수에 상형문자(hieroglyphs)를 사용했고 위치적(positional)은 아니었습니다. 기원전 1770년에, 이집트인들은 회계 텍스트에서 영에 대해 기호를 가졌습니다. 아름다운을 의미하는 기호 nfr은 역시 무덤과 피라미드의 도면에서 기초 레벨을 나타내기 위해 사용되었고, 거리는 이 선의 위 또는 아래에 있는 기준 선에 상대적으로 측정되었습니다.
기원전 2천년(2nd millennium BC) 중반에, 바빌로니아 수학(Babylonian mathematics)은 정교한 육십진(sexagesimal) 위치적 숫자-표시 시스템을 가졌습니다. 위치적 값 (또는 영)의 결핍은 육십진 숫자-표시 사이의 공백으로 표시되었습니다. (기원전 700년경으로 거슬러 올라가는) 키시(Kish) 에서 발굴된 태블릿에서, 대서인 Bêl-bân-aplu는 같은 바빌로니아 시스템(Babylonian system)에서 셋의 갈고리를 자리표시자(placeholder)로 사용했습니다. 기원전 300년에, 구두점 기호 (둘의 기울어진 쐐기)가 자리표시자로 쓰이기 위해 공동-선택되었습니다.
바빌로니아 자리표시자는 진정한 영은 아니었는데 왜냐하면 그것은 홀로 사용되지도 않았고, 그것은 숫자 끝에도 사용되지 않았기 때문입니다. 따라서 2와 120 (2x60), 3과 180 (3x60), 4와 240 (4x60)과 같은 숫자는 같게 보였는데, 왜냐하면 더 큰 숫자는 최종 육십진 자리표시자가 없기 때문입니다. 오직 문맥이 그것들을 구별할 수 있습니다.

Pre-Columbian Americas

멕시코 중남부와 중앙 아메리카에서 개발된 메소아메리카 긴 셈 달력(Mesoamerican Long Count calendar)은 이십진법(vigesimal) (밑수-20) 위치적 숫자-표시 시스템 내에서 자리표시자로 영의 사용을 요구합니다. 많은 다른 그리프는, 부분 쿼트러포일(quatrefoil)을 포함하여, 이들 긴 셈 날짜에 대해 영 기호로 사용되었으며, 그것의 가장 이른 것은 (치아파데코르소(Chiapa de Corzo)에서 스텔라(Stela) 2에서, 치아파스(Chiapas)) 기원전 36년의 날짜를 가집니다.
팔의 가장 이른 긴 셈 날짜가 마야 고향 외부에 나타나기 때문에, 일반적으로 아메리카에서 영의 사용은 마야보다 먼저 사용되었고 올멕(Olmecs)의 발명품일 수 있습니다. 비록 올멕 문명은 기원전 4세기, 가장 이른 알려진 긴 셈 날짜의 몇 세기 전에 끝났을지라도, 가장 이른 긴 셈 날짜의 대부분은 올멕 심장부에서 발견되었습니다.
비록 영이 다른, 빈 거북이(tortoise)-같은 "껍질 모양(shell shape)"이 "영" 숫자-표시의 많은 묘사에 대해 사용과 함께, 마야 숫자-표시(Maya numerals)의 완전한 부분이 되었지만, 구 세계(Old World) 숫자-표시 시스템에는 영향을 미치지 않은 것으로 가정됩니다.
키푸(Quipu), 잉카 제국(Inca Empire)과 안데스(Andean) 지역에서 이전 사회에서 회계 및 기타 자릿수의 데이터를 기록하기 위해 사용되는 매듭 코드 장치는 밑수 십(base ten) 위치적 시스템에서 인코딩됩니다. 영은 적절한 위치에 매듭의 부재에 의해 표시됩니다.

Classical antiquity

고대 그리스인들(ancient Greeks)은 영 (μηδέν)에 대해 기호를 가지지 않았고, 그것에 대해 자릿수 자리표시자를 사용하지 않았습니다. 그들은 숫자로서 영의 상태에 대한 확신이 없는 것처럼 보였습니다. 그들은 스스로에게 "어떻게 아무것도 아닌 것이 어떤 것이 될 수 있습니까?"라고 물었으며, 철학적(philosophical)이고, 중세(medieval) 시대까지, 영의 본질과 존재와 진공(vacuum)에 대한 종교적 논쟁으로 이어집니다. 엘레아의 제논(Zeno of Elea)의 역설(paradoxes)은 대부분 영의 불확실한 해석에 달려 있습니다.
기원후 150년까지, 히파르코스(Hipparchus)와 바빌로니아(Babylonia)인들의 영향을 받은 프톨레마이오스(Ptolemy)는 Syntaxis Mathematica라고 불리고, 역시 Almagest로 알려져 있는, 수학적 천문학에 대한 그의 연구에서 영 (—°)에 대해 기호를 사용했습니다. 이 헬레니즘적 영(Hellenistic zero)은 아마도 구 세계에서 영을 나타내는 숫자-표시의 가장 이른 문서화된 사용일 것입니다. 프톨레마이오스는 그것을 일식(solar)과 월식(lunar eclipse)의 크기에 대해 그의 Almagest (VI.8)에서 여러 번 사용했습니다. 그것은 첫 번째와 마지막 접촉에서 자릿수(digit)와 몰입의 분(minutes) 둘 다의 값을 나타냅니다. 달이 태양 (삼각형 펄스)을 지나갈 때 자릿수는 0에서 12로 다시 0으로 연속적으로(continuously) 변했으며, 여기서 열-두 자릿수는 태양의 각의 지름(angular diameter)입니다. 몰입의 분은 0′0″에서 31′20″으로 다시 0′0″으로 테이블화 되었으며, 여기서 0′0″은 육십진(sexagesimal) 위치적 숫자-표시 시스템의 두 위치에서 자리표시자로 기호를 사용했지만, 조합은 영 각도를 의미했습니다. 몰입의 분은 역시 연속 함수 1/12 31′20″ √d(24−d) (볼록(convex) 변을 갖는 삼각형 펄스였으며, 여기서 d는 자릿수 함수이고 31′20″는 태양의 디스크와 달의 디스크의 반지름의 합이었습니다. 프톨레마이오스의 기호는 자리표시자 두 개의 연속적인 수학 함수에 의해 사용되는 숫자였으며, 하나 안에 다른 하나가 있으므로, 그것은 영을 의미하는 것이지 없음을 의미하지 않습니다.
줄리안 부활절(Julian Easter)의 계산에서 가장 영의 가장 이른 사용은 기원후 311년 이전에, (그리스 숫자-표시에 기반을 둔) 그으즈 숫자-표시와 나란히 "없음" (영어 번역은 다른 곳에서 "0"임)에 대한 그으즈(Ge'ez) 단어를 사용하여, 년도 기원후 331에서 369에 대해 에티오피아(Ethiopic) 문서에서 보존될 때 이팩트(epact)의 테이블에서 첫 번째 엔트리에서 발생했으며, 이것은 중세 그리스(Medieval Greek)에서 알렉산드리아의 교회(Church of Alexandria)에서 출판된 동등한 테이블에서 번역되었습니다. 이 사용은 기원후 525년에, 동등한 테이블에서, 로마 숫자-표시(Roman numerals)와 나란히 디오니시우스 엑시구스(Dionysius Exiguus)에 의해 라틴어 nulla 또는 "none"을 통해 번역되는 것을 반복했습니다. 나눗셈이 나머지로 영을 생성할 때, "아무것도"을 의미하는 nihil이 사용되었습니다. 이들 중세 영들은 미래의 모든 중세 부활절의 계산기(calculators of Easter)에서 사용되었습니다. 첫 글자 "N"은 베다(Bede) 또는 기원후 725년경 그의 동료들에 의해 로마 숫자-표시의 테이블에서 영 기호로 사용되었습니다.

China

손자 산경(Sūnzĭ Suànjīng)은, 날짜가 알려져 있지 않지만, 기원후 1세기에서 5세까지 거슬러 올라갈 것으로 추정되고, 18세기로 거슬러 올라가는 일본 기록에서, 기원전 c. 4세기 중국 세는 막대(counting rods) 시스템이 십진 계산을 수행하는 것을 활성화하는 방법을 묘사합니다. 양 샤후의 산경(Xiahou Yang’s Suanjing) (기원후 425–468년)에서 언급했듯이 숫자를 10, 100, 1000 또는 10000으로 곱하거나 나누려면, 세는 판 위의 막대와 함께, 숫자를 앞으로 또는 뒤로, 1, 2, 3, 또는 4 위치로 이동하는 것뿐이라고 말합니다. A History of Mathematics에 따르면, 막대는 "영을 나타내는 빈 공간과 함께, 숫자의 십진 표현을 제공합니다." 세는 막대 시스템은 위치적 표기법(positional notation) 시스템으로 여겨집니다.
기원후 690년에서, 황후 우(Empress Wǔ)는 제티언 문자(Zetian characters)를 공포했으며, 그것 중 하나는 "〇"였습니다. 영을 나타내는 기호 0은 이 문자의 변형입니다.
영은 그 시대에 숫자가 아니라, "빈 자리"로 취급되었습니다. 진규소(Qín Jiǔsháo)의 1247 Mathematical Treatise in Nine Sections는 영에 대해 둥근 기호를 사용하는 가장 오래된 현존하는 중국 수학 텍스트입니다. 중국 저자들은 The Nine Chapters on the Mathematical Art에서 볼 수 있듯이 한 왕조(Han Dynasty) (기원후 2세기)에 의해 음수의 아이디어에 익숙했습니다.

India

핀갈라(Pingala) (기원전 c. 3세기/2세기), 산스크리트어 운율(Sanskrit prosody) 학자는 모스 코드(Morse code)와 유사한 표기법, 짧은 음절과 긴 음절의 형식에서 이진수(binary numbers)를 사용했습니다 (후자는 짧은 길이에서 둘의 짧은 음절과 같습니다). 핀갈라는 산스크리트(Sanskrit) 단어 śūnya를 명시적으로 영을 참조하기 위해 사용했습니다.
십진 위치 값 표기법에서 쓰인 자릿수로 영의 개념은 추측하건대 굽타 시대(Gupta period) (c. 5세기) 동안만큼 일찍, 인도(India)에서 개발되었으며, 가장 오래된 모호하지 않은 증거는 7세기로 거슬러 올라갑니다.
영에 대해 기호, 아직-현재 빈 기호의 전조가 될 것 같은 큰 점이 바크샬리 원고(Bakhshali manuscript), 상인을 위한 산술에 대한 실용적인 매뉴얼 전체에서 사용됩니다. 2017년에, 원고로부터 셋의 표본이 셋의 다른 세기: 기원후 224–383, 기원후 680–779, 및 기원후 885–993에 걸쳐 나온 것으로 방사성탄소 연대-측정(radiocarbon dating)에 의해 표시되었으며, 남아시아에서 가장 오래된 영 기호의 기록된 사용을 만듭니다. 원고를 형성하는 다른 세기로부터 자작-나무(birch) 껍질 조각이 어떻게 함께 포장되었는지는 알려져 있지 않습니다.
Lokavibhāga는, 내부적으로 기원전 458년 (사카 시대(Saka era) 380년)으로 거슬러 올라간 프라크리트어(Prakrit) 원본의 중세 산스크리트어 번역에서 살아남은 우주론(cosmology)에 대한 자이나교(Jain) 텍스트는 영을 포함하여 십진 자리-값 시스템(place-value system)을 사용합니다. 이 텍스트에서, śūnya ("빈, 없는")는 역시 영을 참조하기 위해 사용됩니다.
아리아바티아(Aryabhatiya)는 sthānāt sthānaṁ daśaguṇaṁ syāt "자리로부터 자리로의 각각은 이전 것의 열 배입니다"라고 말했습니다.
영의 사용을 통제하는 규칙은 브라마굽타(Brahmagupta)의 Brahmasputha Siddhanta (7세기)에 나타났으며, 이것은 영과 자체의 합은 영으로, 및 틀리게 영에 의한 나눗셈(division by zero)을 다음으로 말했습니다:

영으로 나뉠 때 양수 또는 음수는 분모로 영을 갖는 분수입니다. 음수 또는 양수로 나눈 영은 영이거나 분자로 영과 분모로 유한 양을 갖는 분수입니다. 영에 의해 나뉜 영은 영입니다.

Epigraphy

그 안에 같은 작은 o과 함께, 수많은 구리판 비문이 있으며, 그것 중 일부는 아마도 6세기로 거슬러 올라가지만, 그 날짜 또는 진위는 의심할 여지가 있습니다.
캄보디아(Cambodia), 크라티에 주(Kratié Province), 메콩(Mekong)의 삼보르 근처 사원의 유적에서 발견된 석판은 크메르 숫자-표시(Khmer numerals) (힌두–아라비아 숫자-표시 시스템(Hindu–Arabic numeral system)에 대해 숫자-표시 글리프의 집합)에서 "605"의 비문을 포함합니다. 그 숫자는 기원후 683년의 날짜에 해당하는 사카 시대(Saka era)의 비문의 연도입니다.
자릿수 영, 작은 원에 대해 기호의 의심할 수 없는 모양을 포함하는 십진 자릿수에 대해 특수 글리프(glyph)의 첫 번째 알려진 사용은 876년으로 걸슬러 올라간, 인도에서, 챠투루푸치 사원, 괄리오르(Chaturbhuj Temple, Gwalior)에서 발견된 돌 비문에서 나타납니다. 영은 역시 바크샬리 원고(Bakhshali manuscript)에서 자리표시자로 사용되며, 그 일부는 기원후 224–383년으로 거슬러 올라갑니다.

Middle Ages

Transmission to Islamic culture

아랍-언어 과학의 상속은 대체로 그리스어(Greek)였고, 그 뒤 힌디어의 영향을 받았습니다. 773년에, 알-만수르(Al-Mansur)의 명령에서, 그리스어, 로마어, 인도어, 와 기타 언어를 포함하는 많은 고대 논문의 번역을 만들었습니다.
기원후 813년에, 천문학 테이블은 페르시아(Persian) 수학자, 무하마드 이븐 무사 알-콰리즈미(Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī)에 의해 힌두 숫자-표시를 사용하여 준비되었습니다; 그리고 약 825년에, 그는 그리스어와 힌디어 지식을 종합한 책을 출간했고 역시 영의 사용을 포함하는 수학에 대한 그 자신의 기여를 포함했습니다. 이 책은 나중에 제목 Algoritmi de numero Indorum 아래에서 12세기에 라틴어(Latin)로 번역되었습니다. 이 제목은 "인도의 숫자-표시에 관한 알-콰리즈미"를 의미합니다. 단어 "Algoritmi"은 번역가가 알-콰리즈미의 이름을 라틴어화한 것이고, 단어 "Algorithm" 또는 "Algorism"는 십진을 기반으로 한 임의의 산술의 의미를 획득하기 시작했습니다.
무하마드 이븐 아흐메드 알-콰리즈미(Muhammad ibn Ahmad al-Khwarizmi)는, 976년에, 만약 숫자가 계산에서 십 자리에 나타나지 않으면, 작은 원이 "행을 유지하기 위해" 사용되어야 한다고 말했습니다. 이 원은 ṣifr라고 불렸습니다.

Transmission to Europe

힌두–아라비아 숫자-표시 시스템(Hindu–Arabic numeral system) (밑수 10)은 스페인 무슬림(Muslim), 무어(Moors)를 통해 알-안달루스(Al-Andalus)를 경유하여, 11세기에 유럽에 도달했으며, 천문학(astronomy)의 지식과 천문관측의(astrolabe)와 같은 계측기와 함께 오히야키의 제흐베흐(Gerbert of Aurillac)에 의해 처음으로 수입했습니다. 이러한 이유로, 숫자-포시는 유럽에서 "아라비아 숫자-표시"로 알려지게 되었습니다. 이탈리아의 수학자 피보나치(Fibonacci) 또는 피사의 레오나르도는 1202년에 그 시스템을 유럽 수학에 도입하는 것에 중요한 역할을 했으며, 다음을 말합니다:

부기아의 세관에서 집으로 몰려든 피산 상인을 위해 아버지가 고국의 공무원으로 임명된 후, 그는 책임을 맡았습니다; 그리고 그것의 미래의 유용성과 편리함의 관점에서, 내 어린 시절에 나를 그에게 데려오고 나 자신을 며칠 동안 계산의 연구에 전념하고 교육 받기를 원하셨습니다. 그곳에서, 나를 소개한 후, 힌두교인의 아홉 자릿수에 대한, 기술에서 놀라운 교육의 결과로, 기술에 대한 지식은 다른 모든 사람들보다 먼저 저에게 매우 감흥이 있었고, 그것에 대해 나는 모든 그것의 측면이 이집트, 시리아, 그리스, 시칠리아, 및 프로방스에서, 다양한 방법; 및 그 후 이들 장소에서, 사업하는 동안 연구되었음을 깨달았습니다. 나는 심도있는 연구를 추구했고 논쟁의 주고-받기를 배웠습니다. 그러나 모든 이것 조차, 그리고 알고리듬과 마찬가지로 피타고라스의 기술까지도, 나는 힌두교(Hindus)의 방법 (인도의 방법(Modus Indorum))과 관련하여 거의 실수로 여겨졌습니다. 그러므로, 힌두교의 방법을 보다 엄격하게 수용하고, 그것의 연구에서 더 엄격한 고통을 감수하면서, 나 자신의 이해로부터 특정 사항을 추가하고 역시 유클리드의 기하학적 기술의 아름다움에서 특정 사항도 삽입합니다. 나는 이 책을 내가 할 수 있는 한 이해할 수 있게 그것의 전체를 작성하기 위해 노력했으며, 그것을 15장으로 나누었습니다. 내가 소개해 왔던 나는 정확한 증명을 보여주었던 거의 모든 것은, 그것의 탁월한 방법과 함께, 이 지식을 더 추구하는 사람들을 위해, 교육받을 수 있도록 하고, 나아가서, 라틴 사람들이 그것 없이 있는 것이 발견될 수 없었다는 것을, 그것들이 지금까지 그렇듯이, 교육하기 위함입니다. 만일 내가 다소간 적절하거나 필요한 어떤 것을 빠뜨렸다면, 나는 은총을 간청하는데, 왜냐하면 모든 일에서 흠이 없고 완전히 섭리하는 사람은 아무도 없기 때문입니다. 아홉의 인도 숫자는 다음입니다: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. 이들 아홉의 숫자와 기호 0과 함께 ... 임의의 숫자는 쓰일 수 있습니다.

여기서 피사의 레오나르도(Leonardo of Pisa)는 구문 "기호 0"을 사용하여, 그것이 덧셈 또는 곱셈과 같은 연산을 행하기 위한 기호와 같음을 암시합니다. 13세기부터, 계산에 대한 매뉴얼 (덧셈하는 것, 곱셈하는 것, 근을 추출하는 것, 등)은 그들은 페르시아 수학자 알-콰리즈미의 이름을 따서 algorismus라고 불리는 것을 유럽에서 흔하게 되었습니다. 가장 인기있는 것은 1235년에 사크로보스코의 요한네스(Johannes de Sacrobosco)에 의해 쓰였고, 1488년에 인쇄된 최초의 과학 책 중 하나였습니다. 15세기 후반까지, 힌두–아라비아 숫자-표시는 수학자 사이에서 우세한 것으로 보였지만, 상인들은 로마 숫자-표시(Roman numerals)를 사용하는 것을 선호했습니다. 16세기에, 그것들은 유럽에서 공통적으로 사용하게 되었습니다.

Mathematics

0은 1 바로 앞의 정수(integer)입니다. 영은 짝수인데 왜냐하면 그것은 나머지 없이 2로 나뉠 수 있기 때문입니다. 0은 양수도 아니고 음수도 아닙니다; 또는 양수와 음수 둘 다입니다. 많은 정의가 자연수(natural number)로 0을 포함하며, 이 경우에서 영은 양수가 아닌 유일한 자연수입니다. 영은 빈(null) 크기의 개수 또는 총양을 수량화하는 숫자입니다. 대부분의 문화권(cultures)에서, 0은 음의 것 (즉, 0보다 적은 양)의 아이디어가 채택되기 전에 식별되었습니다.
값 또는 숫자로서, 영은 위치적 표기법(positional notation)을 갖는 숫자-표시 시스템(numeral system)에서 사용된 자릿수 영과 같지 않습니다. 자릿수의 연속적인 위치는 더 높은 가중을 가지므로, 자릿수 영은 위치를 건너 띄고 이전과 다음 자릿수에 대한 적절한 가중을 제공하기 위해 숫자-표시 내부에서 사용됩니다. 영 자릿수는 위치적 숫자 시스템 (예를 들어 숫자 02)에서 항상 필요한 것은 아닙니다. 일부 예제에서, 선행하는 영들(leading zero)은 숫자를 구별하기 위해 사용될 수 있습니다.

Elementary algebra

숫자 0은 가장-작은 비-음의(non-negative) 정수입니다. 0을 따라오는 자연수(natural number)는 1이고 0 이전의 자연수는 없습니다. 숫자 0은 자연수로 고려될 수 있거나 고려되지 않을 수 있지만, 그것은 정수이고, 따라서 유리수[(rational number)이고 실수(real number)입니다 (마찬가지로 대수적 숫자(algebraic number)이고 복소수(complex number)입니다).
숫자 0은 양수도 아니고 음수도 아니고, 보통 숫자 직선(number line)에서 중심의 숫자로 표시됩니다. 그것은 소수(prime number)도 아니고 합성수(composite number)도 아닙니다. 그것은 소수가 절대 아닌데 왜냐하면 그것은 인수(factors)의 무한(infinite) 숫자를 가지기 때문이고, 합성수도 절대 아닌데 왜냐하면 그것은 소수의 곱으로 표현될 수 없기 때문입니다 (왜냐하면 0은 항상 인수 중 하나여야 하기 때문입니다). 영은, 어쨌든, 짝수입니다 (즉, 2의 배수, 마찬가지로 임의의 다른 정수, 유리수, 또는 실수의 배수입니다).
다음은 숫자 0을 다루는 일부 기본 (초등) 규칙입니다. 이들 규칙은, 달리 언급하지 않는 한, 임의의 실수 또는 복소수 x에 대해 적용됩니다.

  • 덧셈: x + 0 = 0 + x = x. 즉, 0은 덧셈에 관한 항등 원소(identity element) (또는 중립 원소)입니다.
  • 뺄셈: x − 0 = x 및 0 − x = −x.
  • 곱셈: x · 0 = 0 · x = 0.
  • 나눗셈: 비-영 x에 대해, \(\frac{0}{x}=0\). 그러나 \(\frac{x}{0}\)은 비-정의(undefined)인데, 왜냐하면 0은 곱셈의 역(multiplicative inverse)을 가지지 않기 때문이며 (0에 곱해진 실수는 1을 생성하지 못합니다), 이전 규칙의 결론입니다.
  • 지수화: \(x^0=\frac{x}{x}=1\), 경우 x = 0은 일부 문맥(contexts)에서 왼쪽 비-정의일 수 있으므로 제외됩니다. 모든 양의 실수 x에 대해, \(0^x=0\).

표현 \(\frac{0}{0}\)은, 분수의 두 피연산자에 독립적으로 lim 연산자를 적용하는 것의 결과로 형식 \(\frac{f(x)}{g(x)}\)의 표현의 극한을 결정하려는 시도에서 얻을 수 있으며, 소위 "불확정 형식(indeterminate form)"입니다. 그렇다고 해서 단순히 추구하는 극한이 반드시 비-정의임을 의미하지는 않습니다. 오히려, 만약 그것이 존재하면, \(\frac{f(x)}{g(x)}\)의 극한이 로피탈의 규칙(l'Hôpital's rule)과 같은 또 다른 방법에 의해 구해져야 함을 의미합니다.
0 개수의 합 (빈 합(empty sum))은 0이고, 0 개수의 곱 (빈 곱(empty product))은 1입니다. 팩토리얼(factorial) 0!은 빈 곱의 특별한 경우일 때 1로 평가됩니다.

Other branches of mathematics

Related mathematical terms

Physics

값 영은 많은 물리량에 대해 특별한 역할을 합니다. 일부 양에 대해, 영 수준은 모든 다른 수준과 자연스럽게 구별되지만, 반면에 다른 수주에 대해 다소 임의적으로 선택됩니다. 예를 들어, 절대 온도(absolute temperature)에 대해 (켈빈(kelvin)에서 측정될 때), 영(zero)은 가장 낮은 가능한 값입니다 (음의 온도(negative temperature)가 정의되지만, 음의-온도 시스템은 실제로 더 차갑지 않습니다). 이것은 예를 들어 섭씨 스케일에 대한 온도와 대조적이며, 여기서 영은 물의 어는 점(freezing point)으로 임의적으로 정의됩니다. 데시벨(decibel) 또는 폰(phon) 단위에서 소리 강도를 측정하면, 영 수준은 참조 값–예를 들어, 청력의 임계에 대해 값에서 임의적으로 설정합니다. 물리학(physics)에서, 영-점 에너지(zero-point energy)는 양자 역학적(quantum mechanical) 물리 시스템(physical system)이 보유할 수 있는 가장 낮은 가능한 에너지이고 시스템의 바닥 상태(ground state)의 에너지입니다.

Chemistry

영은 이론적 원소 중성자-4(tetraneutron)의 원자 번호(atomic number)로 제안되어져 왔습니다. 넷의 중성자(neutron)의 클러스터는 그 자체로 원자(atom)로 여겨질만큼 충분히 안정적일 수 있음이 밝혀졌습니다. 이것은 양성자(proton)를 가지지 않고 그것의 핵(nucleus)에 전하를 가지지 않는 원소(element)를 만들 것입니다.
1926년만큼 일찍이, 안드레이아스 폰 안트로포프(Andreas von Antropoff)는 양성자를 가지지 않는 중성자로 만들어진 물질(matter)의 추측된 형식에 대해 용어 중성자라는 용어 뉴트로니엄(neutronium)을 만들었으며, 그는 새로운 버전의 주기율표(periodic table) 맨 위에 원자 번호 영의 화학적 원소로 배치했습니다. 그것은 화학 원소를 분류하기 위한 주기적 시스템의 여러 나선형 표현의 중간에 귀족 기체로 그후에 배치되었습니다.

Computer science

인류 역사를 통틀어 가장 공통적인 관행은 하나부터 세는 것이었고, 이것은 포트란(Fortran)과 코볼(COBOL)과 같은 초기 고전적인 컴퓨터 프로그래밍(computer programming) 언어에서 관행입니다. 어쨌든, 1950년대 후반에, 리슾(LISP)은 배열에 영-기반 번호-매기기(zero-based numbering)를 도입하지만 알골 58(Algol 58)은 (배열 아래첨자에 대해 출발점으로 임의의 양, 음 또는 0 정수를 허용하는) 배열 아래첨자에 대해 완전하게 유연한 출발하는 것을 도입했고, 대부분의 후속 프로그래밍 언어는 이들 위치의 하나 또는 다른 것을 채택했습니다. 예를 들어, 배열(array)의 원소는 C에서, n 항복의 배열에 대해 배열의 수열은 0부터 n−1까지 색인을 만들도록 0에서 시작합니다. 이것은 배열 원소의 위치를 배열의 주소에 직접적으로 인덱스를 더함으로써 계산하는 것을 허용하지만, 1-기반 언어는 배열의 출발점 주소를 첫 번째 원소 이전의 한 원소 위치로 미리 계산합니다.
0-기반 인덱싱과 1-기반 인덱싱 사이에 혼동이 있을 수 있습니다. 예를 들어, 비록 자바(Java) 자체가 0-기반 인덱싱을 사용할지라도, 자바의 JDBC는 1부터 매개변수를 인덱스합니다.
데이터베이스에서, 필드에 대해 값을 가지지 않는 것이 가능합니다. 그것은 그런-다음 널 값(null value)을 가진다고 말합니다. 숫자 필드에 대해 그것은 값이 0이 아닙니다. 텍스트 필드에 대해 이것은 공백도 아니고 빈 문자열도 아닙니다. 널 값의 존재는 셋의-값 논리(three-valued logic)로 어어집니다. 더 이상 참 또는 거짓 중 하나의 조건이 아니지만, 그것은 미결정(undetermined)일 수 있습니다. 널 값을 포함하는 임의의 계산은 널 결과를 넘겨줍니다.
널 포인터(null pointer)는 임의의 객체 또는 함수에 가리키지 않는 컴퓨터 프로그램에서 포인터입니다. C에서, 정수 상수 0은 그것이 포인터 문맥에서 나타날 때 컴파일 시간(compile time)에서 널 포인터로 변환되고, 따라서 0은 코드에서 널 포인터를 참조하기 위한 표준 방법입니다. 어쨌든, 널 포인터의 내부 표현은 임의의 비트 패턴일 수 있습니다 (데이터 유형에 따라 값이 다를 수 있습니다).
수학에서 −0 = +0 = 0; −0과 +0 둘 다는 정확하게 같은 수자를 나타냅니다. 즉, 영과 구별되는 "양의 영" 또는 "음의 영"은 없습니다. 어쨌든, 일부 컴퓨터 하드웨어 부호화된 숫자 표현(signed number representations)에서, 영은 두 구별되는 표현, 양수에 기반을 둔 양의 영과 음수에 기반을 둔 음의 영을 가집니다; 이러한 종류의 이중 표현은 부호화된 영(signed zero)으로 알려져 있으며, 후자의 형식은 때때로 음의 영이라고 불립니다. 이들 표현은 부호화된 크기(signed magnitude)와 일의 보수(one's complement) 이진 정수 표현 (그러나 대부분의 최신 컴퓨터에서 사용되는 이의 보수(two's complement) 이진 형식은 아님)과 (IEEE 754와 IBM S/390 부동 점 포멧과 같은) 대부분의 부동 점(floating point) 숫자 표현을 포함합니다.
이진에서, 0은 "끄짐(off)"에 대해 값을 나타내며, 이것은 전기 흐름이 없음을 의미합니다.
영은 많은 프로그래밍 언어에서 거짓(false)의 값입니다.
유닉스 시대(Unix epoch) (영 타임스탬프와 결합된 날짜 및 시간)은 1970년 1월 1일 이전 자정에 시작합니다.
클래식 맥 오에스(Classic Mac OS) 시대(epoch)와 팜 오에스(Palm OS) 시대 (영 타임스탬프와 결합된 날짜와 시간)는 1904 년 1 월 1 일 자정 이전에 시작됩니다.
응용프로그램에 출구 상태(exit status)로 정수 값을 반환하는 것을 요구하는 많은 APIs 및 운영 시스템(operating system)는 전형적으로 성공을 나타내기 위해 영을 사용하고 특정 오류(error) 또는 경고 조건을 나타내기 위해 비-영 값을 사용합니다.

Other fields

Symbols and representations

현대 숫자 자릿수 0은 보통 원 또는 타원으로 쓰여집니다. 전통적으로, 많은 활자체는 대문자 O을 더 좁은, 타원형 자릿수 0보다 더 둥글게 만들었습니다. 타자기(typewriter)는 원래 O와 0 사이의 모양에서 구분을 만들지 않았습니다; 일부 모델은 자릿수 0에 대해 별도의 키조차 가지지 않습니다. 그 구별은 현대 문자 디스플레이(displays)에서 두드러졌습니다.
슬래시 영(slashed zero)은 문자와 숫자를 구분하기 위해 사용될 수 있습니다. 중앙에 점을 갖는 자릿수 0은 IBM 3270 디스플레이의 선택-사항으로 유래된 것으로 보이고 안달레 모노(Andalé Mono)와 같은 일부 현대 컴퓨터 서체, 및 일부 항공사 예약 시스템에서 계속되었습니다. 한 변형은 점 대신 짧은 세로 막대를 사용합니다. 컴퓨터와 함께 사용하도록 설계된 일부 글꼴은 대문자-O-자릿수-0 쌍 중 하나를 더 둥글게 만들고 다른 하나는 더 각진 (사각형에 더 가깝게) 만들었습니다. 그 이상의 구별은 독일 자동차 번호판에 사용되는 위조-방지 서체에서 오른쪽 상단의 열린 자릿수 0을 쪼갬으로써 만들어집니다. 때때로 자릿수 0은 전부 혼동을 피하기 위해, 배타적으로 사용되거나 전혀 사용되지 않습니다.

Year label

기원전(BC) 달력 시대(calendar era)에서, 기원전 1년은 기원후 1년 이전의 첫 년도입니다; 연도 영(year zero)은 없습니다. 반대로, 천문학적 연도 번호-매기기(astronomical year numbering)에서, 기원전 연도 1은 0으로 번호-매기고, 기원전 연도 2는 −1로 번호-매기고, 이런 식으로 계속됩니다.

See also

Bibliography

External links

 

 

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