(번역) 0.999...

수학(mathematics)에서, 0.999... (역시 반복하는 십진 표기법(repeating decimal notation)에서, 0.9로 쓰임)은 십진 점(decimal point) 뒤에 끝나지 않는 9의 수열로 구성된 반복하는 십진(repeating decimal)을 나타냅니다. 이 반복하는 십진은 수열 (0.9, 0.99, 0.999, ...)에서 모든 각 십진수(decimal number)보다 작지 않은 가장 작은 숫자; 즉 이 숫열의 상한(supremum)을 나타냅니다. 이 숫자는 1과 같습니다. 다시 말해서, "0.999..."는 "거의 정확하게" 또는 "매우, 매우 가깝지만 사실상 1은 아닌"이 아니라 – 오히려, "0.999..."와 "1"은 정확하게 같은 숫자를 나타냅니다.
직관적인 논증에서 수학적으로 엄격한(mathematically rigorous) 증명(proofs)까지, 이 상등을 보여주는 많은 방법이 있습니다. 사용된 기법은 대상 청중, 배경 가정, 역사적 맥락, 및 실수(real number)의 선호된 개발, 0.999...가 공통적으로 정의되는 시스템에 따라 다릅니다. 다른 시스템에서, 0.999...는 같은 의미, 다른 정의, 또는 정의되지 않은 것을 가질 수 있습니다.
보다 일반적으로, 모든 각 비-영 종결하는 십진(terminating decimal)은 둘의 같은 표현 (예를 들어, 8.32와 8.31999...)을 가지며, 이것은 밑수(base)에 관계없이 모든 위치 숫자-표시 시스템(positional numeral system)의 속성입니다. 종결하는 십진 표현에 대해 실용적인 선호는 그것이 유일한 표현이라는 오해의 원인이 됩니다. 이것과 다른 이유—비-기본 기술, 속성, 또는 분야에 의존하는 엄격한 증명과 같은—에 대해, 일부 사람들은 그것들을 질문하거나 거절하는 충분하게 반-직관적인 상등을 찾을 수 있습니다. 이것은 수학 교육(mathematics education)에서 여러 연구의 주제가 되어져 왔습니다.

Elementary proof

방정식 0.999... = 1의 기본 증명(elementary proof)이 있으며, 이 증명은 단지 급수(series), 극한(limits), 형식적 실수의 구성(construction of real numbers), 등과 같은 보다 고급 주제에 대한 참조 없이 (유한) 십진수(decimal number)의 비교와 덧셈의 수학적 도구를 사용합니다. 그 증명, Stillwell (1994, p. 42)에 의해 제시된 연습 문제는 만약 우리가 숫자 직선(number line) 위에 0.9, 0.99, 0.999 등을 그리면 1과 그것들 사이에 숫자를 배치하는 것에 대해 공간이 남겨지지 않는다는 직관적인 사실을 직접 형식화한 것입니다. 표기법 0.999...의 의미는 0.9, 0.99, 0.999, 등의 모든 숫자의 오른쪽에 있는 숫자 직선 위에 가장 작은 점입니다. 궁극적으로 1과 이들 숫자 사이에는 공간이 없기 때문에, 점 1은 이 최소 점이어야 하고, 따라서 0.999... = 1입니다.

Intuitive explanation

만약 우리가 숫자 직선(number line) 위에 0.9, 0.99, 0.999, 등을 배치하면, 모든 이들 점이 1의 왼쪽에 있고, 그것들이 1에 점점 더 가까워지는 것을 즉시 알 수 있습니다.
보다 정확하게, 0.9에서 1까지의 거리는 0.1 = 1/10, 0.99에서 1까지의 거리는 0.01 = 1/102, 이런 식으로 계속됩니다. n번째 점 (십진 점 뒤에 n 9를 갖는 점)에서 1까지의 거리는 1/10n입니다.
그러므로, 만약 1이 0.9, 0.99, 0.999, 등보다 큰 가장 작은 숫자가 아니면, 1과 모든 이들 점 사이에 놓이는 숫자 직선 위에 점이 있을 것입니다. 이 점은 모든 각 정수(integer) n에 대해 1/10n보다 작은 1에서 양의 거리에 있을 것입니다. 표준 숫자 시스템(number system) (유리수(rational number)와 실수(real number))에서, 모든 n에 대해 1/10n보다 작은 양수는 없습니다. 이것은 유리수 시스템에서 유지되기 위해 입증될 수 있는 아르키메데스 속성(Archimedean property)(의 한 버전)입니다. 그러므로, 1은 모든 0.9, 0.99, 0.999, 등보다 큰 가장 작은 숫자이고 따라서 1 = 0.999...입니다.

Discussion on completeness

이 논증이 보여주는 부분은 수열 0.9, 0.99, 0.999, 등의 최소 위쪽 경계(least upper bound)이 있다는 것입니다: 수열의 모든 항보다 큰 가장 작은 숫자입니다. 실수 시스템(real number system)의 공리(axiom) 중 하나는 완비성 공리(completeness axiom)이며, 이것은 모든 각 경계진 수열은 최소 위쪽 경계를 가진다는 것입니다. 이 최소 위쪽 경계는 무한 십진 전개를 정의하기 위한 한 가지 방법입니다: 무한 십진에 의해 표시되는 실수는 그것의 유한 잘림의 최소 위쪽 경계입니다. 여기서 논증은 유효하게 되도록 완비성을 가정할 필요가 없는데, 왜냐하면 이 특정한 유리수의 수열은 실제로 최소 위쪽 경계를 가지고, 이 최소 위쪽 경계가 1과 같다는 것을 보여주기 때문입니다.

Rigorous proof

이전 설명은 숫자와 그것의 표현 사이의 관계를 숫자 직선 위의 한 점으로 적절하게 정의할 수 없기 때문에 증명이 아닙니다. 증명의 정확성을 위해, 십진 점 뒤에 n 9를 갖는 숫자 0.999...9는 0.(9)n로 표시됩니다. 따라서 0.(9)1 = 0.9, 0.(9)2 = 0.99, 0.(9)3 = 0.999, 이런 식으로 계속됩니다. 십진 점 뒤에 n 자릿수를 갖는 1/10n = 0.0...01이므로, 십진수에 대해 덧셈 규칙은 모든 각 양의 정수(positive interger) n에 대해 다음임을 의미합니다:
0. ( 9 ) n + 1 / 10 n = 1 ,
및
0. ( 9 ) n < 1
.
우리는 1이 모든 0.(9)n보다 작지 않은 가장 작은 숫자라는 것을 보여주어야 합니다. 이를 위해, 만약 숫자 x가 1보다 크지 않고 모든 0.(9)n보다 작지 않으면, x = 1임을 증명하는 것으로 충분합니다. 따라서 모든 각 양의 정수(positive interger) n에 대해 다음임을 만족하는 x를 놓습니다:
0. ( 9 ) n ≤ x ≤ 1
.
그러므로,
1 − 1 ≤ 1 − x ≤ 1 − 0. ( 9 ) n .
이것은, 기본 산술과 위에 수립된 첫 번째 상등을 사용하여, 다음으로 단순화됩니다:
0 ≤ 1 − x ≤ 1 / 10 n .
이것은 1과 x 사이의 차이가 임의의 양의 정수의 역수보다 작다는 것을 의미합니다. 따라서 이 차이는 0이어야 하고, 따라서 x = 1입니다; 즉
0.999 … = 1.
이 증명은 영이 정수의 모든 역수보다 작은 유일한 비-음의 숫자(nonnegative number)이거나, 동등하게 모든 각 정수보다 더 큰 숫자가 없다는 사실에 의존합니다. 이것은 유리수(rational number)와 실수(real number)에 대해 검증되는 아르키메데스 속성(Archimedean property)입니다. 실수는 무한하게 작은 숫자 (무한소(infinitesimal))와 무한하게 큰 숫자 (무한 숫자(infinite number))를 갖는 초실수(hyperreal number)와 같은 숫자 시스템(number systems)으로 확대될 수 있습니다. 그러한 시스템을 사용할 때, 표기법 0.999...는 일반적으로 사용되지 않습니다. 모든 0.(9)n보다 작지 않은 가장 작은 숫자가 없기 때문입니다. (이것은 0.(9)n ≤ x < 1가 0.(9)n–1 ≤ 2x – 1 < x < 1를 의미한다는 사실에 의해 암시됩니다).

Algebraic arguments

상등의 지나치게 단순화된 삽화의 문제는 교육학적 토론과 비판의 주제입니다. Byers (2007, p. 39)는 초등학교에서, 1⁄3=0.333...이라고 배웠으므로, 모든 본질적인 미묘함을 무시하고, 이 동일성에 3을 "곱하면" 1=0.999...를 제공한다는 논증을 논의합니다. 그는 더 나아가 등호의 의미에 걸쳐 해결되지 않은 모호성 때문에 이 논증이 설득력이 없다고 말합니다; 학생은 "숫자 1이 표기법 0.999....에 의해 의미되는 것과 동일하다는 것을 반드시 의미하지는 않습니다"라고 생각할 수 있습니다. Byers와 접했던 대부분의 학부 수학 전공자는 0.999...가 이 논증의 강조에 따라 1과 "매우 가까운" 것으로, 일부에서는 심지어 그것이 "무한하게 가깝다"라고 말하지만, 그들은 그것이 1과 같다고 말할 준비가 되어 있지 않다고 느꼈습니다. Richman (1999)는 "이 논증이 대부분의 사람들은 생각 없이 첫 번째 방정식을 받아들이도록 세뇌되어 왔다는 사실에서 힘을 얻습니다"라고 논의하지만, 역시 이 논증은 회의론자에게 이 가정에 의문을 제기하도록 할 수 있음을 시사합니다.
Byers는 역시 다음 논증을 제시합니다. 다음이라고 놓습니다:

x = 0.999 … 10 x = 9.999 … by “multiplying” by 10 10 x = 9 + 0.999 … by “splitting” off integer part 10 x = 9 + x by definition of x 9 x = 9 by subtracting x x = 1 by dividing by 9

첫 번째 논증을 받아들이지 않은 학생들은 때때로 두 번째 논증을 받아들이지만, Byers의 의견으로는, 여전히 모호성을 해결하지 못했고, 따라서 무한 십진에 대해 표현을 이해하지 못합니다. 같은 논증을 제시하는 Peressini & Peressini (2007)는 역시 상등을 설명하지 않는다고 말하면서, 그러한 설명에는 무한대와 완비성(completeness)의 개념이 포함될 가능성이 있음을 나타냅니다. Baldwin & Norton (2012)는, Katz & Katz (2010a)를 인용하여, 형식적인 극한의 개념 없이 이들과 같은 논증에 기반한 항등식의 취급은 시기상조라고 결론지었습니다.
같은 논증은 역시 Richman (1999)에 의해 제공되며, 그는 회의론자들은 x가 취소-가능(cancellable)인지 여부, 즉 양쪽 변에서 x를 빼는 것이 합리적인지 여부에 의문을 제기할 수 있다고 지적합니다.

Analytic proofs

0.999...의 문제는 수학의 형식적 발전에 영향을 미치지 않기 때문에, 실수 해석학(real analysis)의 표준 정리를 증명할 때까지 연기될 수 있습니다. 한 가지 요구사항은 선택적 부호, 정수 부분을 형성하는 하나 이상의 자릿수의 유한 수열, 십진 분리기호, 및 분수 부분을 형성하는 자릿수의 수열로 구성된 십진 표기법에서 쓰일 수 있는 실수를 특성화하는 것입니다. 0.999...를 논의할 목적으로, 정수 부분은 b0로 요약될 수 있고 음수를 무시할 수 있으므로, 십진 전개는 다음 형식을 가집니다:

b 0 . b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 … .

분수 부분은 정수 부분과 달리 유한하게 많은 자릿수로 제한되지 않습니다. 이것이 위치적 표기법(positional notation)이므로, 예를 들어 500에서 자릿수 5는 50에서 5의 10배를 기여하고, 0.05에서 5는 0.5에서 5의 1/10만큼 기여합니다.

Infinite series and sequences

십진 전개의 공통적인 발전은 그것들을 무한 급수(infinite series)의 합으로 정의하는 것입니다. 일반적으로:

b 0 . b 1 b 2 b 3 b 4 … = b 0 + b 1 ( 1 10 ) + b 2 ( 1 10 ) 2 + b 3 ( 1 10 ) 3 + b 4 ( 1 10 ) 4 + ⋯ .

0.999...에 대해, 우리는 기하 급수(geometric series)에 관한 수렴(convergence) 정리를 적용할 수 있습니다:

If | r | < 1 then a r + a r 2 + a r 3 + ⋯ = a r 1 − r .

0.999...는 a = 9이고 공통 비율 r = 1⁄10을 갖는 그러한 합이므로, 그 정리는 다음과 같은 문제를 간단히 해결할 수 있습니다:

0.999 … = 9 ( 1 10 ) + 9 ( 1 10 ) 2 + 9 ( 1 10 ) 3 + ⋯ = 9 ( 1 10 ) 1 − 1 10 = 1.

이 증명은 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)의 Elements of Algebra에 1770년만큼 일찍 나타납니다.
기하 급수의 합은 그 자체가 심지어 오일러보다 오래된 결과입니다. 전형적인 18세기 유도는 위에 주어진 대수적 증명(algebraic proof)과 유사한 항별로 조작을 사용했었고, 1811년까지, 보니캐슬(Bonnycastle)의 교과서 An Introduction to Algebra는 0.999...에서 같은 조작을 정당화하기 위해 기하 급수에 대해 그러한 논증을 사용합니다. 그러한 자유 합계 방법에 대항한 19세기 반응은 오늘날에도 여전히 지배적인 정의를 낳았습니다: 급수의 합은 그것의 부분 합의 수열의 극한으로 정의됩니다. 정리의 해당하는 증명은 그 수열을 명시적으로 계산합니다; 그것은 미적분학 또는 해석학에 대한 증명-기반 소개에서 찾을 수 있습니다.
수열(sequence) (x0, x1, x2, ...)는 만약 거리 |x − xn|가 n이 증가함에 따라 임의적으로 작아지게 되면 극한(limit) x를 가집니다. 0.999... = 1이라는 명제는 자체가 극한으로 해석되고 입증될 수 있습니다:

0.999 … = d e f lim n → ∞ 0. 99 … 9 ⏟ n = d e f lim n → ∞ ∑ k = 1 n 9 10 k = lim n → ∞ ( 1 − 1 10 n ) = 1 − lim n → ∞ 1 10 n = 1 − 0 = 1.

처음 둘의 상등은 기호 속기 정의로 해석될 수 있습니다. 남아있는 상등은 입증될 수 있습니다. 마지막 단계, n → ∞일 때 1⁄10n → 0는 종종 실수의 아르키메데스 속성(Archimedean property)에 의해 정당화됩니다. 0.999...를 향한 이러한 극한-기반 태도는 종종 더 연상시키지만 덜 정확한 용어로 사용됩니다. 예를 들어, 1846년 교과서 The University Arithmetic에서는 ".999 +는 무한대로 계속해서 = 1인데, 왜냐하면 9를 붙일 때마다 값이 1에 가까워지기 때문"이라고 설명합니다; 1895년 Arithmetic for Schools에서는 "9의 많은 숫자가 취해질 때, 1과 .99999... 사이의 차이가 상상할 수 없을 정도로 작아집니다"라고 말합니다. 그러한 휴리스틱(heuristic)은 종종 학생들에 의해 0.999... 자체가 1보다 작다는 의미로 잘못 해석됩니다.

Nested intervals and least upper bounds

위의 급수 정의는 십진 전개로 이름지어진 실수를 정의하는 간단한 방법입니다. 보완적인 접근 방식은 반대 과정에 맞게 조정됩니다: 주어진 실수에 대해, 십진 전개를 그것을 이름짓기 위해 정의합니다.

만약 실수 x가 닫힌 구간(closed interval) [0, 10]에 놓이는 것으로 알려져 있으면 (즉, 그것이 0보다 크거나 같고 10보다 작거나 같으면), 우리는 해당 구간을 그것들의 끝점에서 겹치는 부분만 10개로 나누는 것을 상상할 수 있습니다: [0, 1], [1, 2], [2, 3], 계속해서 [9, 10]까지 나눕니다. 숫자 x는 이들 중 하나에 속해야 합니다; 만약 그것이 [2, 3]에 속하면, 우리는 자릿수 "2"를 기록하고 해당 구간을 [2, 2.1], [2.1, 2.2], ..., [2.8, 2.9], [2.9, 3]으로 세분합니다. 이 과정을 계속하면 자릿수 b0, b1, b2, b3, ...의 무한 수열에 의해 이름-붙여진 중첩된 구간(nested intervals)의 무한 수열을 산출하고, 다음과 같이 씁니다:

x = b 0 . b 1 b 2 b 3 …

이 형식주의에서, 항등식 1 = 0.999... 및 1 = 1.000...은 각각 1이 [0, 1] 및 [1, 2] 둘 다에 놓인다는 사실을 반영하므로, 우리는 그것의 자릿수를 찾을 때 부분구간 중 하나를 선택할 수 있습니다. 이 표기법이 "=" 기호를 남용하지 않도록 보장하기 위해, 우리는 각 십진수에 대해 고유한 실수를 재구성하는 방법이 필요합니다. 이것은 극한으로 수행될 수 있지만, 다른 구성은 순서화 주제로 계속됩니다.
한 가지 간단한 선택은 중첩된 구간 정리(nested intervals theorem)이며, 이것은 그것의 길이가 임의적으로 작아지게 되는 중첩된, 닫힌 구간의 수열이 주어지면, 구간은 그것들의 교집합(intersection)에서 정확하게 하나의 실수가 포함함을 보장합니다. 따라서 b0.b1b2b3...은 모든 구간 [b0, b0 + 1], [b0.b1, b0.b1 + 0.1], 등 내에 포함된 고유한 숫자로 정의됩니다. 0.999...는 그런-다음 모든 각 9의 유한 문자열에 대해 모든 구간 [0, 1], [0.9, 1], [0.99, 1], 및 [0.99...9, 1]에 놓이는 고유한 실수입니다. 1은 이들 각 구간의 원소이므로, 0.999... = 1입니다.
중첩된 구간 정리는 보통 실수의 보다 기본적인 특성: 최소 위쪽 경계(least upper bound) 또는 상한(suprema)의 존재에 기초됩니다. 이들 객체를 직접 활용하기 위해, 우리는 b0.b1b2b3...을 근사의 집합 {b0, b0.b1, b0.b1b2, ...}의 최소 위쪽 경계로 정의할 수 있습니다. 그런 다음 이 정의 (또는 중첩된 구간 정의)가 세분화 절차와 일치함을 보여줄 수 있으며, 다시 0.999... = 1임을 의미합니다. Tom Apostol은 다음과 같이 결론을 내립니다:

실수가 둘의 다른 십진 표현을 가질 수 있다는 사실은 둘의 다른 실수의 집합이 같은 상한을 가질 수 있다는 사실을 반영한 것일 뿐입니다.

Proofs from the construction of the real numbers

일부 접근 방식은 공리적 집합 이론(axiomatic set theory)을 사용하여 유리수를 구축하는 특정 구조로 실수를 명시적으로 정의합니다. 자연수(natural number) – 0, 1, 2, 3, 등 – 는 0에서 시작하고 모든 각 숫자가 다음수를 가지도록 위쪽으로 계속 진행합니다. 우리는 자연수를 모든 정수(integer)를 제공하기 위해 그것들의 음수와 함께 확장하고, 더 나아가 비율과 함께, (rational number)]]유리수를 제공할 수 있습니다. 이들 숫자 시스템은 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 및 나눗셈의 산술을 수반합니다. 더 미묘하게, 그것들은 순서화(ordering)를 포함하므로, 한 숫자는 또 다른 숫자와 비교되고 또 다른 숫자보다 작거나, 크거나, 같은 것으로 찾아질 수 있습니다.
유리수에서 실수로의 단계는 주요 확장입니다. 1872년에 둘 다 출판된: 데데킨트 자름(Dedekind cut)과 코시 수열(Cauchy sequence)에서, 이 단계를 달성하는 데 널리 사용되는 적어도 두 가지 방법이 있습니다. 이들 구성을 직접 사용하는 0.999... = 1이라는 증명은 지난 수십 년 동안 공리적 해석학을 사용하는 것이 현대적인 경향이었던 실수 해석학에 대한 교과서에서 찾아질 수 없습니다. 심지어 구성이 제공될 때, 그것은 보통 실수의 공리를 입증하는 데 적용되며, 이것은 그런-다음 위의 증명을 지원합니다. 어쨌든, 몇몇 저자들은 구성으로 시작하는 것이 논리적으로 더 적절하고, 결과적인 증명이 더 자체-완비된 것이라는 아이디어를 표현합니다.

Dedekind cuts

데데킨트 자름(Dedekind cut) 접근 방법에서, 각 실수 x는 x보다 작은 모든 유리수의 무한 집합으로 정의됩니다. 특히 실수 1은 1보다 작은 모든 유리수의 집합입니다. 모든 각 양의 십진 전개는 데데킨트 자름을 쉽게 결정합니다: 전개의 일부 단계보다 작은 유리수의 집합입니다. 따라서 실수 0.999...는 r < 0, 또는 r < 0.9, 또는 r < 0.99, 또는 r이 다음 형식의 일부 다른 숫자보다 작음을 만족하는 유리수 r의 집합입니다:

1 − 1 10 n = 0. ( 9 ) n = 0. 99 … 9 ⏟ n nines .

0.999...의 모든 각 원소는 1보다 작으므로, 그것은 실수 1의 원소입니다. 반대로, 1의 모든 원소는 다음으로 쓰여질 수 있는 유리수입니다:

a b < 1 ,

여기서 b > 0이고 b > a입니다. 이것은 다음임을 의미합니다:

1 − a b = b − a b ≥ 1 b > 1 10 b ,

그리고 따라서 다음입니다:

a b < 1 − 1 10 b .

그리고 위의 정의에 의해 다음이므로,

1 − 1 10 b = 0. ( 9 ) b < 0.999 …

1의 모든 각 원소는 역시 0.999...의 원소이고, 0.999...의 모든 원소는 역시 1의 원소라는 것과 위의 증명을 결합되며, 집합 0.999... 및 1은 같은 유리수를 포함하고, 따라서 같은 집합, 즉 0.999... = 1입니다.
데데킨트 자름으로 실수의 정의는 1872년 리하르트 데데킨트(Richard Dedekind)에 의해 처음 출판되었습니다. 각 십진 전개에 실수를 할당하는 위의 접근 방식은 Mathematics Magazine에서 프레드 리치먼(Fred Richman)에 의한 "0.999 ... = 1입니까?"라는 제목의 설명 문서 때문이며, 이것은 대학 수학 교사, 특히 3학년/4학년 수준에서 교사와 학생을 대상으로 합니다. 리치먼은 유리수의 임의의 조밀한 부분집합(dense subset)에서 데데킨트 자름을 취하면 같은 결과를 산출합니다라고 말합니다; 특히, 그는 그 증명이 더 즉각적인 십진 분수(decimal fraction)를 사용합니다. 그는 역시 전형적으로 그 정의는 { x : x < 1 }을 하나의 자름으로 허용하지만 { x : x ≤ 1 }을 자름으로 허용하지 않는다 (또는 반대로)고 언급했습니다. "왜 그렇게 합니까? 0.9*와 1의 구별되는 숫자의 존재를 정확히 배제하기 위함입니다. [...] 그래서 우리는 실수의 전통적인 정의에서, 방정식 0.9* = 1이 시작 부분에 구축되어 있음을 알 수 있습니다." 그 절차를 더 나아가서 수정은 다른 구조로 이어지며 여기서 둘은 같지 않습니다. 비록 그것이 일관적이더라도, 십진 산술의 공통적인 규칙 중 많은 부분이 더 이상 유지되지 않습니다. 예를 들어 분수 1⁄3은 표현을 가지지 않습니다; 아래의 "대안적인 숫자 시스템"을 참조하십시오.

Cauchy sequences

또 다른 접근 방법은 실수를 유리수의 코시 수열의 극한으로 정의하는 것입니다. 실수의 이러한 구성은 유리수의 순서화를 덜 직접적으로 사용합니다. 먼저, x와 y 사이의 거리는 절댓값 |x − y|로 정의되며, 여기서 절댓값 |z|는 z와 −z의 최댓값으로 정의되고, 따라서 결코 음수가 아닙니다. 그런-다음 실수는 이 거리를 사용하여 코시 수열(Cauchy sequence) 속성을 가지는 유리수의 수열로 정의됩니다. 즉, 수열 (x0, x1, x2, ...)에서, 자연수에서 유리수로의 매핑, 임의의 양의 유리수 δ에 대해, 모든 m, n > N에 대해 |xm − xn| ≤ δ를 만족하는 N이 있습니다. (항 사이의 거리는 임의의 양의 유리수보다 더 작아지게 됩니다.)
만약 (xn)와 (yn)가 둘의 코시 수열이면, 그것들은 만약 수열 (xn − yn)이 극한 0을 가지면 실수와 같은 것으로 정의됩니다. 십진수 b0.b1b2b3...의 절단은 코시인 유리수의 수열을 생성합니다; 이것은 숫자의 실수 값을 정의하기 위해 취해집니다. 따라서 이 형식주의에서, 그 임무는 다음 유리수의 수열이 극한 0을 가짐을 보이는 것입니다:

( 1 − 0 , 1 − 9 10 , 1 − 99 100 , … ) = ( 1 , 1 10 , 1 100 , … )

수열의 n번째 항을 고려할 때, n ∈ N
에 대해, 그것은 따라서 다음임을 표시되어야 합니다:

lim n → ∞ 1 10 n = 0.

이 극한은 만약 우리가 극한의 정의를 이해하면 명백합니다. 따라서 다시 0.999... = 1입니다.
코시 수열로서 실수의 정의는 역시 1872년에 에두아르트 하이네(Eduard Heine)와 게오르크 칸토어(Georg Cantor)에 의해 처음으로 별도로 출판되었습니다. 0.999... = 1이라는 증명을 포함하여 십진 전개에 대한 위의 접근 방식은 Griffiths & Hilton의 1970년 연구 A comprehensive textbook of classical mathematics: A contemporary interpretation을 밀접하게 따릅니다. 그 책은 현대적인 관점에서 친숙한 개념을 다시 살펴보기 위해 특별히 작성되었습니다.

Infinite decimal representation

공통적으로 중등 학교(secondary schools)의 수학 교육에서, 실수는 정수 다음에 기수 점(radix point)과 임의의 주어진 실수의 분수 부분(fractional part)을 나타내기 위해 문자열로 작성된 무한 수열을 사용하여 숫자를 정의함으로써 구성됩니다. 이 구성에서, 십진 점 (또는 미-밑수 10 시스템에서 기수 점) 뒤의 정수와 자릿수의 임의의 조합의 집합은 실수의 집합입니다. 이 구성은 1 =eq 0.999...와 마찬가지로 그것의 후행하는 9들 버전을 갖는 십진 문자열에서 오직 유한하게 많은 비-영 항을 갖는 임의의 다른 비-영 십진에 대해 정의하는 집합에 걸쳐 동치 관계(equivalence relation)를 정의한 후 모든 실수 공리(real axioms)를 만족시키기 위해 엄격하게 보여질 수 있습니다. 실수의 이 구성과 함께, 명제 "1 = 0.999..."의 모든 증명은 임의의 연산이 실수 위에 수행될 때 암시적으로 상등을 가정하는 것으로 보여질 수 있습니다.

Dense order

그 문제를 해결할 수 있는 개념 중 하나는 실수가 조밀하게 순서화된 것이라는 요구사항입니다. 학생들은  0.99999...
가  1
이전에 있다는 것을 당연하게 여겼지만 이러한 종류의 직관적인 순서화는 순전하게 사전식으로 더 잘 정의됩니다.
"... 실수의 순서화는 조밀한 순서로 인식됩니다. 어쨌든, 문맥에 따라, 학생들은 주어진 숫자 바로 앞 또는 뒤에 숫자의 존재와 이 속성을 조화시킬 수 있습니다 (0.999...는 따라서 종종 1의 이전수로 보여집니다)."
조밀한 순서는  0.99999...
와  1
사이에 엄격하게 세 번째 실수 값이 있어야 하지만, 아무 것도 없음을 요구합니다: 우리는 그러한 숫자를 얻기 위해 둘 중 하나에서 단일 자릿수를 바꿀 수 없습니다. 만약  0.99999...
와  1
은 실수를 나타내기 위한 것이지만 그것들은 같아야 합니다. 조밀한 순서화는 만약 집합의 두 원소 사이에 엄격하게 새로운 원소가 없으면, 두 원소가 같은 것으로 고려되어야 함을 의미합니다.

Generalizations

0.999... = 1인 결과는 두 가지 방법에서 쉽게 일반화됩니다. 첫째, 유한 십진 표기법을 갖는 모든 각 비-영 숫자 (동등하게, 끝없는 후행하는 0들)는 후행하는 9들을 갖는 짝을 가집니다. 예를 들어, 0.24999...는 0.25와 같으며, 고려된 특별한 경우와 같습니다. 이들 숫자는 정확하게 십진 분수이고, 그것들은 조밀한(dense) 것입니다.
둘째, 비교-가능한 정리가 각 기수 또는 밑수(base)에 적용됩니다. 예를 들어, 밑수 2 (이진 숫자-표시 시스템(binary numeral system))에서 0.111...은 1과 같고, 밑수 3 (삼진 숫자-표시 시스템(ternary numeral system))에서 0.222...는 1과 같습니다. 일반적으로, 모든 종료하는 밑수 b 표현은 반복된 후행하는 자릿수가 b − 1가 같은 짝을 가집니다. 실수 해석학의 교과서는 0.999...의 예제를 건너뛸 가능성이 있고 처음부터 이들 일반화 중 하나 또는 둘 다를 제시합니다.
1의 대안적인 표현은 역시 비-정수 밑수에서도 발생합니다. 예를 들어, 황금 비율 밑수(golden ratio base)에서, 둘의 표준 표현은 1.000...과 0.101010...이고, 인접한 1들을 포함하는 무한하게 더 많은 표현이 있습니다. 일반적으로 1과 2 사이의 거의 모든(almost all) q에 대해, 1의 셀-수-없게 많은 밑수-q 전개가 있습니다. 다른 한편으로, 자명한 1.000...이 아닌, 1의 오직 하나의 밑수-q가 있는 (1보다 큰 모든 자연수를 포함하는) 여전히 셀-수-없게 많은 q가 있습니다. 이 결과는 1990년경 폴 에르되시(Paul Erdős), 미클로스 호바스(Miklos Horváth), 및 이스트반 주(István Joó)에 의해 처음 얻어졌습니다. 1998년에 빌모스 코모르니크(Vilmos Komornik)와 파올라 로레티(Paola Loreti)는 그러한 가장 작은 밑수, 코모르니크–로레티 상수(Komornik–Loreti constant) q = 1.787231650...을 결정했습니다. 이 밑수에서 1 = 0.11010011001011010010110011010011...입니다; 그 자릿수는 반복하지 않는 투에–모스 수열(Thue–Morse sequence)에 의해 제공됩니다.
보다-광범위한 일반화는 가장 일반적인 위치적 숫자-표시 시스템을 다룹니다. 그것들 역시 여러 표현을 가지고 있고, 어떤 의미에서 어려움이 훨씬 더 심각합니다. 예를 들어:

평형 삼진(balanced ternary) 시스템에서, 1⁄2 = 0.111... = 1.111....
역 팩토리얼 숫자 시스템(factorial number system)에서 (십진 점 뒤에 위치에 대해 밑수 2!,3!,4!,...를 사용하여), 1 = 1.000... = 0.1234....

Impossibility of unique representation

모든 이들 다른 숫자 시스템은 일부 실수에 대해 다중 표현으로 인해 어려움을 겪는 것은 순서화된 집합으로서의 실수와 사전순으로(lexicographically) 순서화된 무한 기호의 문자열의 모음 사이의 근본적인 차이에 기인할 수 있습니다. 실제로, 다음 두 가지 속성이 어려움을 설명합니다:

만약 실수(real number)의 구간(interval)은 L의 모든 각 원소가 R의 모든 각 원소보다 (엄격하게) 작은 것을 만족하는 둘의 비-빈 부분 L, R로 분할(partitioned)되면, L이 가장 큰 원소를 포함되거나 R이 가장 작은 원소를 포함되지만, 둘 다가 포함되는 것은 아닙니다.
사전순으로 순서화된 임의의 유한 "알파벳"에서 가져온 기호의 무한 문자열(strings)의 모음은 L의 모든 각 원소는 R의 모든 각 원소보다 작고, 반면에 L은 가장 큰 원소를 포함하고 R은 가장 작은 원소를 포함함을 만족하는 둘의 비-빈 부분 L, R로 분할될 수 있습니다. 실제로, 그것들은 오직 마지막 기호에서 다르며, 이 기호에 대해 그것들은 연속적인 값을 가지고, L에 대해 그것의 대응하는 접두사가 많아야 p1에 있는 모음에서 모든 문자열의 집합으로 취하고, R에 대해 그것의 대응하는 접두사가 적어도 p2에 있는 모음에서 남아있는 문자열의 집합으로 취함을 만족하는 모음으로부터 원소의 둘의 유한 prefixes (초기 부분문자열) p1, p2를 취하는 것으로 충분합니다. 그런-다음 L은 p1에서 시작하고 모든 다음 위치에서 사용-가능한 가장 큰 기호를 선택하는 가장 큰 원소를 가지고, 반면에 R은 p2를 다음에 모든 위치에서 가장 작은 기호에 의해 얻어진 가장 작은 원소를 가집니다.

첫 번째 요점은 실수의 기본 속성에서 비롯됩니다: L은 상한(supremum)을 가지고 R은 하한(infimum)을 가지며, 이는 쉽게 같다고 볼 수 있습니다; 실수이므로 그것은 R에 놓이거나 L에 놓이지만, L과 R이 서로소(disjoint)로 가정되기 때문에 둘 다에 놓이지는 않습니다. 두 번째 요점은 p1 = "0", p2 = "1"에 대해 얻어진 0.999.../1.000... 쌍을 일반화합니다. 실제로, (예를 들어, 혼합 기수 시스템이 포함될 수 있도록) 모든 위치에 대해 같은 알파벳을 사용할 필요가 없거나 가능한 문자열의 전체 모음을 고려할 필요가 없습니다; 유일한 중요한 점은 각 위치에서 기호의 유한 집합(finite set) (심지어 이전 기호에 따라 달라질 수 있음)은 선택될 수 있고 (이것은 최대와 최소 선택을 보장하기 위해 필요함), 임의의 위치에 대해 유효한 선택을 하는 것이 유효한 무한 문자열을 초래한다는 것입니다 (따라서 "9"의 무한 연속을 금지하면서 각 위치에 "9"를 허용해서는 안 됩니다). 이들 가정 아래에서, 위의 논증은 문자열의 모음에서 실수의 구간으로의 순서 보존하는(order preserving) 맵이 전단사(bijection)일 수 없음을 보여줍니다: 일부 숫자는 임의의 문자열에 해당하지 않거나, 그것들의 일부는 둘 이상의 문자열에 해당합니다.
마르코 페트코브셰크(Marko Petkovšek)는 모든 실수의 이름-짓는 임의의 위치적 시스템에 대해, 다중 표현을 갖는 실수의 집합이 항상 조밀한 것임을 증명해 왔습니다. 그는 그 증명을 "기본 점-집합 토폴로지(point-set topology)에서 교육적인 연습"이라고 부릅니다; 그것은 위치적 값의 집합을 스톤 공간(Stone space)으로 보고 그것들의 실수 표현이 연속 함수(continuous functions)에 의해 제공된다는 점을 확인하는 것을 포함합니다.

Applications

0.999...를 1로 표현하는 한 가지 응용은 기본 숫자 이론(number theory)에서 발생합니다. 1802년에, H. Goodwin은 분모가 특정 소수(prime number)인 분수의 반복하는-십진 표현에서 9의 출현에 대한 관찰을 발표했습니다. 예제는 다음을 포함합니다:

1⁄7 = 0.142857 및 142 + 857 = 999.
1⁄73 = 0.01369863 및 0136 + 9863 = 9999.

E. Midy는 1836년에 현재 미디의 정리(Midy's theorem)라고 불리우는 그러한 분수에 대한 일반적인 결과를 입증했습니다. 그 출판물은 불분명했었고, 만약 그의 증명이 직접적으로 0.999...를 포함했는지는 확실하지 않았지만, W. G. Leavitt에 의한 적어도 하나의 현대 증명이 있습니다. 만약 형식 0.b1b2b3...의 십진수가 양의 정수라는 것이 입증될 수 있으면, 그것은 0.999...여야 하며, 이는 그런-다음 그 정리에서 9의 근원입니다. 이 방향의 조사는 최대 공통 약수(greatest common divisor), 모듈러 산술(modular arithmetic), 페르마 소수(Fermat prime), 그룹(group) 원소의 차수(order), 및 이차 상호관계(quadratic reciprocity)와 같은 그러한 개념에 동기를 부여할 수 있습니다.
실수 해석학으로 돌아가서, 밑수-3 아날로그 0.222... = 1은 가장 단순한 프랙탈(fractal) 중 하나, 중간-3분의-1 칸토어 집합(Cantor set)의 특성화에 중요한 역할을 합니다:

단위 구간(unit interval)에서 한 점이 칸토어 집합에 놓이는 것과 그것이 오직 자릿수 0과 2을 사용하여 삼진으로 나타낼 수 있는 것은 필요충분 조건입니다.

표현의 n번째 자릿수는 구성의 n번째 단계에서 점의 위치를 반영합니다. 예를 들어, 점 2⁄3는 0.2 또는 0.2000...의 보통의 표현을 제공하는데, 왜냐하면 그것은 첫 번째 삭제의 오른쪽에 놓이고 그 이후의 모든 삭제의 왼쪽에 있기 때문입니다. 점 1⁄3은 0.1이 아니라 0.0222...으로 표시되는데, 왜냐하면 그것은 첫 번째 삭제의 왼쪽에 놓이고 이후의 모든 각 삭제의 오른쪽에 놓이기 때문입니다.
9를 반복하는 것은 게오르크 칸토어(Georg Cantor)의 또 다른 연구에서도 나타납니다. 그것들은 단위 구간의 셀-수-없음-속성(uncountability)의 그의 1891년 대각선 논증을 십진 전개에 적용하여 유효한 증명을 구성하기 위해 고려되어야 합니다. 그러한 증명은 그것들의 십진 전개를 기반으로 다르게 되는 실수의 특정 쌍을 선언할 수 있어야 하므로, 0.2와 0.1999...와 같은 쌍을 피해야 합니다. 간단한 방법은 모든 숫자를 비-종결하는 전개로 나타냅니다; 반대 방법은 9를 반복하는 것을 배제합니다. 칸토어의 원래 논증에 더 가까울 수 있는 변형은 실제로 밑수 2를 사용하고, 밑수-3 전개를 밑수-2 전개로 바꾸면 칸토어 집합의 셀-수-없음-속성을 입증할 수도 있습니다.

Skepticism in education

수학 학생은 종종 0.999...와 1의 상등을 거부하며, 그 이유에 대해 서로 다른 모습부터 극한(limit) 개념에 걸쳐 깊은 의심과 무한소(infinitesimal)의 본질에 걸쳐 불일치에 이르기까지 다양합니다. 혼란에 기여하는 많은 공통 요소가 있습니다:

학생들은 종종 "숫자가 십진수로 하나이고 오직 하나의 방법으로 표현될 수 있다는 개념에 정신적으로 전념"합니다. 같은 숫자를 나타내는 둘의 명백하게 다른 십진수를 보는 것은 역설)(paradox)처럼 보이며, 이것은 겉보기에 잘-이해된 숫자 1의 출현에 의해 증폭됩니다.
일부 학생들은 "0.999..." (또는 유사한 표기법)를 크지만 아마도 변수, 지정되지 않은 길이를 갖는 유한 9의 문자열로 해석합니다. 만약 그들이 9의 무한 문자열을 받아들인다면, 그들은 여전히 "무한대에서" 마지막 9를 기대할 수 있습니다.
직관과 모호한 가르침은 학생들에게 수열의 극한을 고정된 값이 아니라 일종의 무한 과정으로 생각하도록 이어지는데, 왜냐하면 수열은 그것의 극한에 도달할 필요가 없기 때문입니다. 학생들이 숫자의 수열과 그것의 극한 사이의 차이를 받아들이면, 그들은 "0.999..."를 그것의 극한이 아니라 수열을 의미하는 것으로 읽을 수 있습니다.

이들 아이디어는 표준 실수의 문맥에서 잘못된 것이지만, 일부는 일반적인 수학적 유용성을 위해 발명되었거나 0.999...를 더 잘 이해하기 위해 교육적인 반대예제(counterexample)로 다른 숫자 시스템에서 유효하게 될 수 있습니다.
이들 설명의 대부분은 데이비드 톨(David Tall)에 의해 발견되었으며, 그는 대학생들에게서 마주친 일부 오해로 이어지는 교육과 인지의 특성을 연구해 왔습니다. 대다수가 처음에 상등을 거부한 이유를 알아보기 위해 그의 학생들을 인터뷰하면서, 그는 "학생들은 계속해서 0.999...를 고정된 값이 아니라 1에 가까워지는 숫자의 수열로 생각하는데, 왜냐하면 '몇 자리가 있는지 지정할 수 없음' 또는 '그것은 1 아래에 가능한 가장 가까운 십진수'이기 때문"임을 찾았습니다.
0.333... = 1⁄3에 3을 곱하는 기본 논증은 주저하는 학생들에게 0.999... = 1임을 확신시킬 수 있습니다. 아직도, 첫 번째 방정식의 믿음과 두 번째 방정식의 불신 사이의 충돌에 직면했을 때, 일부 학생들은 첫 번째 방정식을 믿지 않기 시작하거나 단순히 좌절하게 됩니다. 더 정교한 방법도 완벽하지 않습니다: 엄격한 정의를 완전히 적용할 수 있는 학생은 0.999...를 포함한 고급 수학에서 결과에 놀랐을 때 여전히 직관적인 상상에 빠질 수 있습니다. 예를 들어, 한 실수 해석학 학생은 상한(supremum) 정의를 사용하여 0.333... = 1⁄3임을 입증할 수 있었지만, 긴 나눗셈의 이전의 이해를 기반으로 0.999... < 1이라고 주장했습니다. 다른 사람들은 여전히 1⁄3 = 0.333...을 입증할 수 있지만, 분수 증명(fractional proof)에 직면했을 때, "논리"가 수학적 계산을 대신한다고 주장합니다.
조지프 메이저(Joseph Mazur)는 "수업 시간에 내가 말한 거의 모든 것에 도전했지만 그의 계산기에 의문을 제기한 적은 한 번도 없고", 아홉 자릿수가 23의 제곱근 계산을 포함하여 수학을 하기 위해 모두 필요하다고 믿게 되었더 그의 훌륭한 미적분학 학생의 이야기를 들려줍니다. 그 학생은 9.99... = 10이라는 극한하는 논증에 불편함을 감추지 못했으며, 그것을 "엉뚱하게 상상된 무한 성장 과정"이라고 불렀습니다.
에드 듀빈스키(Ed Dubinsky)의 수학 학습의 APOS 이론(APOS theory)의 일부로, 그와 그의 공동 연구자 (2005)는 0.999...를 1에서 무한하게 작은 거리를 갖는 유한, 불확정 문자열로 상상하는 학생들은 "아직 무한 십진의 완전한 과정 개념을 구성하지 못했다"고 제안합니다. 0.999...의 완전한 과정 개념을 가지는 다른 학생들은 아직 그드리 가지는 1의 대상 개념과 같이 해당 과정을 "대상 개념"으로 "캡슐화"하지 못할 수 있고, 따라서 그들은 과정 0.999...로 보고 대상 1과 호환되지 않는 것으로 봅니다. Dubinsky et al.은 역시 캡슐화의 이러한 정신적 능력을 1⁄3을 그 자체로 숫자로 보고 자연수의 집합을 정수로 다루는 것과 연결합니다.

Cultural phenomenon

인터넷(Internet)의 부상과 함께, 0.999...에 대한 논쟁은 명목상 수학과 거의 관련이 없는 많은 것을 포함하여 뉴스그룹(newsgroup)과 게시판(message board)에서 흔한 일이 되어져 왔습니다. 뉴스그룹 sci.math에서, 0.999...에 걸쳐 논쟁하는 것은 "인기 스포츠"로 설명되고, 그것의 FAQ에 답변된 질문 중 하나입니다.[44] FAQ는 1⁄3, 10에 의한 곱셈, 및 극한을 간략하게 다루고 있고, 마찬가지로 코시 수열도 암시합니다.
일반-흥미 뉴스 칼럼 The Straight Dope의 2003년 판에서는 1⁄3와 극한을 통한 0.999...를 논의하고, 오해에 대해 이야기합니다:

우리 안의 하등 영장류는 여전히 저항하고, 말합니다: .999~는 실제로 하나의 숫자를 나타내는 것이 아니라, 하나의 과정을 나타냅니다. 숫자를 찾기 위해 우리는 과정을 중지해야 하며, 이 점에서 .999~ = 1라는 것이 무너집니다. 헛소리.

Slate 기사는 0.999...의 개념이 "월드 오브 워크래프트 게시판에서 아인 랜드 포럼에 이르는 웹사이트에서 뜨거운 논쟁"이라고 보고합니다. 같은 맥락에서, 0.999...의 질문은 블리자드 엔터테인먼트의 Battle.net 포럼의 첫 7년 동안 매우 인기있는 주제로 입증되어 회사가 2004년 만우절에 그것이 1이라는 "보도 자료"를 발표합니다:

우리는 이 주제에 대한 책을 한 번에 끝내게 되어 매우 기쁩니다. 우리는 .999~가 1과 같거나 같지 않은지에 대한 마음의 고통과 우려를 목격했었고, 다음 증명이 우리의 고객을 위해 문제를 최종적이고 결정적으로 해결하게 된 것을 자랑스럽게 생각합니다.

둘의 증명이 그때에 극한과 10에 의한 곱셈을 기반으로 제공됩니다.
0.999...는 역시 다음과 같은 수학적 농담(mathematical joke)에서 특색을 이룹니다:

Q: 전구에 나사를 조이려면 몇 명의 수학자가 필요합니까?

A: 0.999999....

In alternative number systems

비록 실수가 극단적으로 유용한 숫자 시스템(number system)을 형성할지라도, 표기법 "0.999..."를 실수를 이름-짓는 것으로 해석하는 결정은 궁극적으로 관례이고, 티머시 가워스(Timothy Gowers)는 Mathematics: A Very Short Introduction에서 결과 항등식 0.999... = 1이 마찬가지로 관례임을 주장합니다:

어쨌든, 그것을 채택하지 않으면 이상한 새로운 대상을 발명하거나 친숙한 산술의 규칙 중 일부를 포기하도록 강요하기 때문에 결코 임의적인 관례가 아닙니다.

우리는 다른 규칙 또는 새로운 대상을 사용하여 다른 숫자 시스템을 정의할 수 있습니다; 일부 그러한 숫자 시스템에서, 위의 증명은 재해석되어야 하고 우리는, 주어진 숫자 시스템에서, 0.999...와 1이 동일하지 않을 수 있음을 찾을 수 있습니다. 어쨌든, 많은 숫자 시스템이 (독립적인 대안이 아니라) 실수 시스템의 확장이므로, 0.999... = 1이 계속 유지됩니다. 그러나, 심지어 그러한 숫자 시스템에서도, (만약, 실제로, "0.999..."로 표현된 숫자가 의미있고 모호하지 않은 둘 다이면) 0.999...가 행위하는 방법뿐만 아니라, 관련된 현상의 행동에 대해, 대안적인 숫자 시스템을 조사하는 것은 가치가 있습니다. 만약 그러한 현상이 실수 시스템에서 현상과 다르면, 시스템에 구축된 가정 중 적어도 하나는 무너져야 합니다.

Infinitesimals

0.999... = 1이라는 일부 증명은 실수의 아르키메데스 속성(Archimedean property)에 의존합니다: 즉, 비-영 무한소(infinitesimal)는 없습니다. 구체적으로 특별히, 차이 1 − 0.999...는 임의의 양의 유리수보다 작아야 하므로, 그것은 무한소여야 합니다; 그러나 실수는 비-영 무한소를 포함하지 않기 때문에, 그 차이는 따라서 영이고, 따라서 두 값은 같습니다.
어쨌든, 비-아르키메데스인, 실수에 대한 다양한 대안을 포함하여 수학적으로 일관된 순서화된 대수적 구조(algebraic structure)가 있습니다. 비-표준 해석학(non-standard analysis)은 무한소 (및 그것들의 역)의 전체 배열을 갖는 숫자 시스템을 제공합니다. 알버트 해롤드 라이트스톤(A. H. Lightstone)은 (0, 1)∗에서 초실수(hyperreal number)에 대해 십진 전개를 개발했습니다. 라이트스톤은 각 숫자를 자릿수의 초자연수(hypernatural)에 의해 인덱스된 수열로 결합하는 방법을 보여줍니다.

0. d 1 d 2 d 3 … ; … d ∞ − 1 d ∞ d ∞ + 1 … .

그는 0.999...에 대해 직접적으로 논의하지는 않았지만, 그는 실수 1⁄3이 0.333...에 의해 표시되며 이것은 전달 원리(transfer principle)의 결과임을 보여줍니다. 결과로서, 숫자 0.999...;...999... = 1입니다. 이러한 유형의 십진 표현과 함께, 모든 각 전개가 숫자를 나타내는 것은 아닙니다. 특히, "0.333...;...000..."와 "0.999...;...000..."는 어떤 숫자에도 해당하지 않습니다.
숫자 0.999...의 표준 정의는 수열 0.9, 0.99, 0.999, ...의 극한(limit)입니다. 다른 정의는 테리 타오(Terry Tao)가 초극한, 즉, 극단-거듭제곱 구성(ultrapower construction)에서 이 수열의 동치 클래스 [(0.9, 0.99, 0.999, ...)]로 참조하는 것을 포함하며, 이것은 1에 무한소만큼 부족한 숫자입니다. 보다 일반적으로, 무한 초자연수(hypernatural) 랭크 H에서 마지막 자릿수 9를 갖는 초실수 uH=0.999...;...999000...는 엄격한 부등식 uH < 1을 만족시킵니다. 그것에 따라, "0 다음에 무한하게 많은 9들"에 대해 대안적인 해석은 다임일 수 있습니다:

0. 999 … ⏟ H = 1 − 1 10 H .

"0.999..."의 모든 그러한 해석은 1에 무한하게 가깝습니다. 이언 스튜어트(Ian Stewart)는 이 해석을 0.999...에 1에서 "조금 빠진 부분이 있습니다"라는 직관을 엄격하게 정당화하는 "완전하게 합리적인" 방법으로 특성화합니다. Katz & Katz와 함께, Robert Ely는 역시 0.999... < 1에 대한 학생들의 아이디어가 실수에 대한 잘못된 직관이라는 가정에 의문을 제기하며, 미적분학의 학습에서 가치가 있을 수 있는 비표준 직관으로 해석합니다. Jose Benardete는 그의 책 Infinity: An essay in metaphysics에서 자연스러운 이전-수학적 직관은 지나치게 제한적인 숫자 시스템으로 제한되면 표현될 수 없다고 주장합니다:

연속체의 명료성은 실수의 도메인이 무한소를 포함하도록 확대되어야 한다는 것을–여러 번–확인했습니다. 이 확장된 도메인은 연속체 숫자의 도메인으로 스타일-될 수 있습니다. 이제 .9999...가 1과 같지 않지만 그것의 무한소적으로 부족하다는 것이 분명할 것입니다. 내 생각에 .9999...는 실제로 ... 비록 실수로는 아닐지라도 ... 하나의 숫자로 인정되어야 합니다.

Hackenbush

조합론적 게임 이론(combinatorial game theory)은 하나의 특히 적절한 예로서 무한 파랑-빨강 해큰부시(Hackenbush)와 함께 대안적인 실수를 제공합니다. 1974년에, 엘윈 벌캠프(Elwyn Berlekamp)는, 데이터 압축(data compression)의 아이디어에서 영감을 받았던, 해큰부시 문자열과 실수의 이진 전개 사이의 대응 관계를 설명했습니다. 예를 들어, 해큰부시 문자열 LRRLRLRL...의 값은 0.0101012... = 1⁄3입니다. 어쨌든, LRLLL... (0.111...2에 해당)의 값은 1보다 무한소적으로 작습니다. 그 둘 사이의 차이는 초현실수(surreal number) 1⁄ω이며, 여기서 ω는 첫 번째 무한 순서-숫자(infinite ordinal)입니다; 해당 게임은 LRRRR... 또는 0.000...2입니다.
이것은 실제로 많은 유리수의 이진 전개의 참이며, 여기서 숫자의 값은 같지만 해당하는 이진 트리 경로는 다릅니다. 예를 들어, 0.10111...2 = 0.11000...2이며, 둘 다 3/4와 같지만, 첫 번째 표현은 이진 트리 경로 LRLRLLL...에 해당하고 반면에 두 번째 표현은 다른 경로 LRLLRRR...에 해당합니다.

Revisiting subtraction

증명이 훼손될 수 있는 또 다른 방식은 1 − 0.999...가 존재하지 것인데, 왜냐하면 뺄셈이 항상 가능한 것은 아니기 때문입니다. 덧셈 연산을 갖지만 뺄셈 연산을 갖지 않는 수학적 구조는 교환(commutative) 반그룹(semigroup), 교환 모노이드(commutative monoid), 및 반링(semiring)을 포함합니다. 리치먼(Richman)은 0.999... < 1이 되도록 설계된 둘의 그러한 시스템을 고려합니다.
첫째, 리치먼은 비-음의 십진수를 문자그대로의 십진수 전개로 정의합니다. 그는 0.999... < 1이 일의 자리에서 0 < 1이기 때문이지만, 임의의 비종결하는 x에 대해, 우리는 0.999... + x = 1 + x를 가짐을 언급하여 사전식 순서와 덧셈 연산을 정의합니다. 따라서 십진수의 한 가지 특징은 덧셈이 항상 취소될 수는 없다는 것입니다; 또 다른 것은 1⁄3에 해당하는 십진수가 없다는 것입니다. 곱셈을 정의한 후, 십진수는 양의, 전체적으로 순서화된, 교환 반링을 형성합니다.
곱셈을 정의하는 과정에서, 리치먼은 "자름 D"라고 불리우는 또 다른 시스템을 정의하며, 이것은 십진 분수의 데데킨트 자름(Dedekind cut)의 집합입니다. 보통의 이 정의는 실수로 이어지지만, 십진 분수 d에 대해 그는 자름 (−∞, d)와 "주요 자름" (−∞, d] 둘 다를 허용합니다. 그 결과는 실수는 십진 분수와 "함께 불안하게 사는 것"입니다. 다시 0.999... < 1입니다. 절단 D에서 양의 무한소가 없지만, 십진 전개를 가지지 않는 "일종의 음의 무한소", 0−가 있습니다. 그는 0.999... = 1 + 0−이고, 반면에 방정식 "0.999... + x = 1"은 해를 가지지 않는다고 결론내립니다.

p-adic numbers

Main article: p-adic number

0.999...에 대해 물었을 때, 초보자는 종종 그들이 "0.000...1"로 쓰는 양수인 1 − 0.999...를 믿으며, "마지막 9"가 있어야 한다고 믿습니다. 그것이 의미가 있든 없든, 직관적인 목표는 명확합니다: 0.999...에서 마지막 9에 1을 추가하면 모든 9가 0으로 옮겨지고 일의 자리에서 1을 남깁니다. 다른 이유 중에서, 이 아이디어는 0.999...에서 "마지막 9"가 없기 때문에 실패합니다. 어쨌든, 마지막 9를 포함하여 9들의 무한 문자열을 포함하는 시스템이 있습니다.
p-진수 숫자(p-adic number)는 숫자 이론(number theory0에서 관심을 받는 대안적인 숫자 시스템입니다. 실수와 마찬가지로, p-진수 숫자는 코시 수열(Cauchy sequence)을 통해 유리수에서 구축될 수 있습니다; 그 구성은 0이 그것이 1에 가까운 것보다 p에 더 가깝고, pn에 훨씬 더 가깝다는 다른 메트릭을 사용합니다. p-진수 숫자는 십진 p에 대해 필드(field)를 형성하고 10을 포함하여 다른 p에 대해 링(ring)을 형성합니다. 따라서 산술은 p-진수들에서 수행될 수 있고, 무한소는 없습니다.
10-진수 숫자에서, 십진 전개의 아날로그는 왼쪽으로 실행됩니다. 10-진수 전개 ...999는 마지막 9를 가지고, 그것은 처음 9를 가지지 않습니다. 우리는 일의 자리에 1을 더할 수 있고, 그것은 전체를 수행한 후 오직 0들을 뒤에 남깁니다: 1 + ...999 = ...000 = 0이고, 따라서 ...999 = −1입니다. 또 다른 파생은 기하 급수를 사용합니다. "...999"에 의해 암시되는 무한 급수는 실수에서 수렴하지 않지만, 그것은 10-진수들에서 수렴하고, 따라서 우리는 익숙한 공식을 다시 사용할 수 있습니다:

… 999 = 9 + 9 ( 10 ) + 9 ( 10 ) 2 + 9 ( 10 ) 3 + ⋯ = 9 1 − 10 = − 1.

(위의 급수와 비교하십시오.) 세 번째 유도는 0.999... = 1이라는 선생님의 극한적인 논증에 회의적이었지만 반대 방향에서 위의 10-에-의한-곱셈 증명을 취하도록 영감을 받았던 7학년 학생에 의해 발명되었습니다: 만약 x = ...999이면 10x = ...990이므로, 10x = x − 9이고, 따라서 다시 x = −1입니다.
최종 전개로, (실수에서) 0.999... = 1이고 (10-진수들에서) ...999 = −1이므로, "맹목적인 믿음과 부끄러운 기호의 저글링"에 의해, 우리는 두 방정식을 더할 수 있고 ...999.999... = 0에 도달합니다. 이 방정식은 10-진수 전개 또는 보통의 십진 전개로 의미가 없지만, 그것은 10-진수 솔레노이드의 이중으로 무한(doubly infinite) 십진 전개(decimal expansion)에서 의미 있고 참인 것으로 판명되었으며, 결국 실수를 나타내기 위해 왼쪽 끝을 반복하고 결국 10-진수 숫자를 나타내기 위해 오른쪽 끝을 반복합니다.

Ultrafinitism

초유한주의(ultrafinitism)의 철학은 표기법 0.999 …
가 9의 무한 수열를 갖는 십진수를 의미할 수 있다는 것과 마찬가지로 무한하게 많은 숫자의 합 9 / 10 + 9 / 100 + ⋯
은 해당 무한 문자열에서 십진 자릿수의 위치적 값에 해당한다는 아이디어와 같은 무한 집합을 다루는 무의미한 개념으로 거부합니다. 수학에 대한 이러한 접근 방식에서, 유한 십진 자릿수의 일부 특정 (고정된) 숫자가 의미가 있습니다. "상등" 대신에, 우리는 "근사적인 상등"을 가지며, 이것은 우리가 계산하기 위해 허용되는 십진 자릿수의 개수까지 상등입니다. 비록 Katz와 Katz는 초유한주의가 0.999...가 1보다 작아야 한다는 학생의 직관을 포착할 수 있다고 주장할지라도, 초유한주의의 아이디어는 수학적 공동체에서 널리 받아들여지지 않았고, 그 철학은 일반적으로 합의된 형식적인 수학적 기초가 부족합니다.

Dawoum

(번역) 0.999...

Elementary proof

Intuitive explanation

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Rigorous proof

Algebraic arguments

Analytic proofs

Infinite series and sequences

Nested intervals and least upper bounds

Proofs from the construction of the real numbers

Dedekind cuts

Cauchy sequences

Infinite decimal representation

Dense order

Generalizations

Impossibility of unique representation

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Skepticism in education

Cultural phenomenon

In alternative number systems

Infinitesimals

Hackenbush

Revisiting subtraction

p-adic numbers

Ultrafinitism

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