삼각함수의 덧셈정리에서, \(\beta\rightarrow \alpha\)를 대입하면 아래와 같은 식을 구할 수 있습니다.
- \(\quad\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta\)
- \(\quad\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta\)
- \(\displaystyle \quad \tan2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\)
코사인에 대한 2배각 공식을 변형하면 아래와 같습니다.
- \(\displaystyle \quad\cos\theta=2\cos^2\frac{\theta}{2}-1=1-2\sin^2\frac{\theta}{2}\)
- \(\displaystyle \quad\sin^2\theta=\frac{1-\cos2\theta}{2},\ \cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}{2}\)
위의 결과들은 예를 들어 \(\displaystyle \sin^2 \heartsuit=\frac{1-\cos2\heartsuit}{2}\)와 같은 형태를 갖게 됨을 알 수 있습니다. 함수나 각도가 변하더라도 충분히 응용이 가능하며, 코사인의 경우도 마찬가지입니다.
주목할 것은 2배 각도의 삼각함수는 원래 각도에 대한 삼각함수의 제곱식이 된다는 점입니다. 게다가, 각도가 3배가 되는 것은 \(3\theta = 2\theta + \theta\)와 같이 변형하고, 그런-다음 결과식에서 2배각에 대한 삼각함수를 대입한 후, 정리해서 식을 만들 수 있습니다. 이때, 결과식은 삼각함수의 세제곱 식이 됨을 알 수 있습니다.
