(고등학교) 합성함수

함수 편에서 함수의 정의를 대해서 알아보았습니다. 보통 함수라는 것이 다음과 같은 과정을 거칩니다.

1. 입력이 들어가면,
2. 무슨 과정을 거쳐(대응하여),
3. 출력이 나옵니다.

한편, 다음과 같은 경우는 함수로 만들 수 없을까요?

1. 입력이 들어가면,
2. 무슨 과정을 거쳐(대응하여),
3. 중간 출력이 나옵니다.
4. 중간 출력이 입력으로 들어가면,
5. 무슨 과정을 거쳐(대응하여),
6. 최종 출력이 나옵니다.

이와 같이 대응이 연이어서 발생하는 것을 체계적으로 정의한 것이 합성함수입니다.

예를 들어, 두 함수 $f,g$가 다음과 같이 정의되어 있다고 가정해 보겠습니다.

위 그림에서 함수 $f$의 공역과 함수 $g$의 정의역이 일치하기 때문에 다음과 같이 간단히 해서 그림으로 나타낼 수 있습니다.

한편, 이런 함수의 연결은 조건만 만족하면 계속해서 추가할 수 있습니다. 그렇기 때문에 연결이 많이 하게 되면 한눈에 보기 힘들 수 있습니다. 이때에는 입력과 출력만을 아래와 같이 간단히 축약해서 표시할 수 있습니다.

합성함수는 어떤 함수의 공역이 다른 함수의 정의역과 일치하는 경우 두 함수를 이어서 하나의 함수로 만드는 것입니다. 즉, 임의의 집합 $X$, $Y$, $Z$ 및 두 함수

$$$f:X\to Y$

$$$g:Y\to Z$

가 주어졌을 때, 두 함수의 합성 $g\circ f$는 다음과 같은 함수입니다.

$$$g\circ f:X\to Z$

$$$g\circ f:x\in X\mapsto g(f(x))$

함수의 합성 $g\circ f$가 정의되려면, $f$의 공역이 $g$의 정의역과 일치해야 합니다.

즉, 위 그림처럼 $y=f(x),z=g(y)$이므로 $z=g(f(x))$로 나타낼 수 있습니다. 이것은 시작 지점에 있는 함수의 정의역이 전체 합성함수의 정의역이 됨을 보여주고 있습니다. 그러므로 합성함수의 표시 때에는 반드시 최초의 함수가 끝에 와야 함을 의미합니다. 다시 말해서 그림과 같은 함수는 $g\circ f$로 표시해야 하며, $f\circ g$로 표시해서는 안됩니다.

합성함수의 성질

합성함수는 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않습니다.

$$$g\circ f\ne f\circ g$

왜냐하면, 임의의 집합 $X$, $Y$, $Z$ 및 두 함수

$$$f:X\to Y$

$$$g:Y\to Z$

에서 $g\circ f$는 만들 수 있지만, $f\circ g$는 만들 수 없기 때문입니다. 

정의역과 공역을 잘 조절하면 $g\circ f=f\circ g$인 함수를 인위적으로 만들 수는 있습니다.

반면에 결합법칙은 성립합니다. 

$$$h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$

만약 다음과 같이 함수가 주어졌을 때

$$$f(x)=y,g(y)=z,h(z)=w$

먼저, $h\circ (g\circ f)$의 결과는 다음과 같습니다.

$$$t=(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(y)=z$

$$$h\circ t=h(t)=h(z)=w$

한편, $(h\circ g)\circ f$에서 $u=(h\circ g)$라고 하면,

$$$u\circ f=u(f(x))=u(y)$

$$$u(y)=(h\circ g)(y)=h(g(y))=h(z)=w$

항등함수와 합성함수

어떤 집합 $X$에 대한 항등함수 ${\mathrm{id}}_X$와 함수 $f:X\to X$와의 합성함수는 다음과 같습니다.

$$${\mathrm{id}}_X\circ f=f\circ {\mathrm{id}}_X=f$

실수의 곱셈에 대한 항등원 $1$과 합성함수에서의 항등함수는 같은 역할을 합니다.

응용예제

응용예제1

정의역 $-1\le x\le 1$에서 함수 $y=f(x)$의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 방정식 $(f\circ f)(x)=f(x)$의 실근의 개수는?

응용예제2

자연수 $n$에 대하여 $f^{n+1}=f^n\circ f$라고 정의합니다. ${\displaystyle f(x)=\frac{2x-1}{3x-1}}$일 때, $f^{2020}(4)$의 값을 구하여라. (단, $f^1=f$입니다.)

응용예제3

두 함수 $f(x),g(x)$에 대하여

$$$f(x)=ax+2,(g\circ f)(x)=x^2-x-2$

일 때, 부등식 $g(x)\le 0$의 정수해가 7개 이상 존재하도록 하는 자연수 $a$의 최솟값을 구하시오.

응용예제4

이차함수 $f(x)=-x^2+2ax+3a$에 대하여

함수 $f^{(n)}(x)=(f\circ f\circ \cdots \circ f)(x)$ ($n$은 자연수)와 같이 $n$번 합성한 함수로 정의할 때, $f^{(n)}(x)$의 최댓값이 $n$의 값에 관계없이 항상 일정하도록 하는 실수 $a$의 값의 범위를 구하면?