이-차원 평면에서, 모든 수학적 대상, 예를 들어, 직선, 이차함수, 원, 이차곡선 등은 하나의 평면 위에서 표시되고, 그 자체의 특성과, 서로 사이의 관계 등을 다루었습니다.
이-차원 평면에서 삼-차원 공간으로 확장은, 직교 좌표 시스템을 도입함으로써, 기존의 이-차원의 평면에 수직인 새로운 축을 하나 더 추가함으로써 공간을 정의합니다.
공간에서, 여러 개의 평면이 생김으로써, 부피를 가지는 새로운 수학적 대상, 예를 들어 평면 그 자체, 곡면, 구와 같은 것이 생기는 것은 물론이고, 평면에서의 기존의 대상과의 관계 또한 고려해야 합니다.
어쨌든, 이런 새로운 주제들은, 직교 좌표 시스템의 특성에 의해, 평면에서의 정의를 대부분 그대로 적용할 수 있고, 관계로 주어진 식들도 개념의 확장이 매우 직관적입니다.
게다가, 새로운 수학적 대상 중에서, 가장 간단한 평면 그 자체, 구의 몇 가지 주제 정도만이 교과과정에 있기 때문에, 이론 자체는 크게 어렵지 않습니다. 다만, 공간을 종이 위에 표현하는 것, 또는, 머릿속에 그리는 것이 자주 접하는 경우가 아니라서 상당한 노력이 필요한 것은 피할 수 없는 일입니다. 어쨌든, 직교 좌표 시스템의 특징에 의해, 수직 관계가 매우 중요할 뿐만 아니라, 문제의 해결에 가장 많이 이용되기 때문에, 평면이나 축에 수선의 발을 내리는 보조작도가 문제해결의 시작점이 되는 일이 많습니다.
공간에서 평면의 결정조건
이-차원에서, 평면 그 자체는 유일하게 하나만 정의되므로, 평면 그 자체가 정의되는 조건은 생각할 필요가 없었고, 단지 평면 위에 정의되는 점과 점들을 연결한 직선 또는 곡선의 결정 조건에 대해 논의했습니다.
삼-차원에서, 평면은 더 이상 유일하게 정의되지 않고, 기존의 수학적 대상들도 어떤 평면 위에 정의되는지가 중요해지므로, 따라서, 평면 자체의 결정조건을 알아볼 필요가 있습니다.
어쨌든, 평면의 결정조건을 알아보기 전에 평면에서 정의되었던 점과 직선의 결정조건에 변화가 없는지 확인할 필요가 있습니다.
공간에서 점의 결정조건은 다음과 같습니다:
- 평면에서처럼, 서로 다른 두 직선이 만날 때, 단 하나의 점을 결정합니다.
- 하나의 평면과 그 평면 위에 있지 않은 한 직선이 만날 때, 단 하나의 점을 결정합니다.
- 세 평면에 의해 발생하는 교선 3개가 서로 평행하지 않으면서 만날 때, 세 평면은 단 하나의 점을 결정합니다. 교선은 서로 다른 두 평면에 만나는 직선으로써, 정육면체의 서로 평행하지 않은 세 평면이 서로 만나는 직선은 모서리이고, 이들 세 모서리에 의해 생기는 유일한 점이 하나의 꼭짓점입니다.
공간에서 직선의 결정조건은 다음과 같습니다:
- 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 단 하나의 직선을 결정합니다.
- 서로 만나는 두 평면은 단 하나의 직선을 결정합니다.
공간에서 평면의 결정조건은 다음과 같습니다:
- 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점은 단 하나의 평면을 결정합니다.
- 한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 한 점은 단 하나의 평면을 결정합니다.
- 한 점에서 만나는 서로 다른 두 직선은 단 하나의 평면을 결정합니다.
- 평행한 두 직선은 단 하나의 평면을 결정합니다.
서로 다른 두 직선의 위치 관계
평면에서, 두 직선의 위치관계는 같은 직선이 될 수 있음을 말하고, 한 점에서 만날 때, 특별히 수직으로 만나는 경우를 별도로 다루었습니다.
어쨌든, 평면 위의 두 직선은 한 점에서 만나거나, 서로 만나지 않는데, 서로 만나지 않는 경우에 서로 다른 두 직선은 평행하다고 말합니다.
한편, 공간에서, 서로 다른 두 직선은 한 점에서 만나거나 그렇지 않은 두 경우로 나뉩니다.
평면에서 언급한 것처럼, 서로 만나지 않은 대표적인 경우는 두 직선이 평행한 경우로써, 공간 속의 같은 평면에 두 직선이 놓입니다.
다른 경우에서, 두 직선은 만나지 않는데, 평행이 아니면, 두 직선은 꼬인 위치에 (놓여)있다라고 말합니다. 즉, 서로 다른 평면 위에 각각 존재합니다.
직선과 평면의 위치 관계
직선과 평면은 3가지의 위치 관계를 가집니다.
- 평면 안에 직선이 놓이면, 무수히 많은, 즉 직선 위의 모든 점이 교점입니다.
- 평면과 직선이 한 점에서 만나는 경우가 있습니다.
- 평면과 직선이 만나지 않는 경우에 대해, 평행이라고 말하고, 두 직선에서와 다르게 꼬인 위치는 정의되지 않습니다.
서로 다른 두 평면의 위치 관계
서로 다른 두 평면은 두 가지 위치 관계가 있습니다:
- 서로 만나는 경우에 대해, 두 평면의 공통부분은 직선이 되는데, 교선이라고 말합니다.
- 두 평면이 만나지 않으면, 평행이라고 말합니다.
