(고등학교) 속도와 가속도(기하와 벡터)

미적분1에서 소개한, 속도와 가속도는 오직 직선 운동을 다루기 때문에, 벡터가 스칼라로 줄어드는 특별한 경우였습니다.

이차원 이상에서는 벡터는 두 성분 이상을 가지기 때문에, 더 이상 스칼라로 줄어들지 않고, 벡터 그 자체를 표기하고 다루어야 합니다.

한편, 직교 좌표 시스템에서, 벡터는 각 좌표축의 단위벡터에 대해, 좌표를 스칼라로 가지는 튜플, 즉 평면에서는 두 쌍, 공간에서는 세 쌍의 (구성)성분으로 나타낼 수 있습니다.

이것은, 벡터의 스칼라 성분이 축 방향에 대해, 각각, 측정 가능하다면, 예를 들어, 위치의 구성성분이 $x$-축 성분과 $y$-축 성분으로 나누어서 측정이 될 수 있으면, 다음과 같이 표현될 수 있음을 의미합니다.

$$$\overrightarrow{p}=(f(t),g(t))=f(t)\overrightarrow{e_x}+g(t)\overrightarrow{e_y}$

이로부터 속도는 위치를 미분해서 다음과 같이 쓸 수 있는데, 곱 규칙을 사용해서 미분을 수행합니다.

$$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{v}& =\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}\\ & =\frac{df(t)}{dt}\overrightarrow{e_x}+f(t)\frac{d\overrightarrow{e_x}}{dt}+\frac{dg(t)}{dt}\overrightarrow{e_y}+g(t)\frac{d\overrightarrow{e_y}}{dt}\end{array}$

이때, 좌표축이 움직이지 않는 것으로 가정하면, 좌표-축 위의 단위 벡터 또한 움직이지 않기 때문에, 상수로 취급되어 0이 됩니다.

따라서,

$$${\displaystyle \overrightarrow{v}=\frac{df(t)}{dt}\overrightarrow{e_x}+\frac{dg(t)}{dt}\overrightarrow{e_y}}$

좌표축이 움직이는 좌표 시스템도 있기 때문에, 예를 들어, 지구에 고정된 좌표축은 지구 밖에서 보면 공전과 자전을 하기 때문에, 축 자체가 움직이며, 그때에는 단위벡터를 미분해야 합니다. 벡터 미적분학을 참고하십시오.

평면 위의 운동에서의 속도

좌표 평면 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}(x,y)$의 시각 $t$에서의 위치를 위치벡터 $\overrightarrow{p}=(x,y)$로 나타내고, 두 좌표 $x,y$를 $t$의 함수

$$$x=f(t),y=g(t)$

로 나타낼 수 있을 때, 

점 $\mathrm{P}$에서 $x$-축과 $y$-축에 내린 수선의 발을 각각 ${\mathrm{P}}_x$, ${\mathrm{P}}_y$라 하면,

점 ${\mathrm{P}}_x$는 $x$-축 위에서 $x=f(t)$로 나타내어지는 직선운동을 나타내고, 점 ${\mathrm{P}}_y$는 $y$-축 위에서 $y=g(t)$로 나타내어지는 직선운동을 나타냅니다.

따라서, 시각 $t$에서의 점 ${\mathrm{P}}_x$의 속도를 $v_x$, 점 ${\mathrm{P}}_y$의 속도를 $v_y$로 놓으면

$$${\displaystyle v_x=\frac{dx}{dt}=f^{\prime }(t)}$, ${\displaystyle v_y=\frac{dy}{dt}=g^{\prime }(t)}$

이때, $v_x$와 $v_y$를 성분으로 하는 벡터는, 위치를 미분한, 시각 $t$에서의 속도입니다.

$$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{v}& =(v_x,v_y)\\ & =(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt})\\ & =(f^{\prime }(t),g^{\prime }(t))\end{array}$

또한, 점 $\mathrm{P}$의 속력, 즉 속도의 크기는, 피타고라스의 정리에 의해, 다음과 같습니다.

$$$\begin{array}{rl}|\overrightarrow{v}|& =\sqrt{v_x^2+v_y^2}\\ & =\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}\\ & =\sqrt{\{f^{\prime }(t){\}}^2+\{g^{\prime }(t){\}}^2}\end{array}$

평면 위의 운동에서의 가속도

같은 환경 아래에서, 시각 $t$에서의 점 ${\mathrm{P}}_x$의 가속도를 $a_x$, 점 ${\mathrm{P}}_y$의 가속도를 $a_y$로 놓으면

$$${\displaystyle a_x=\frac{d{v}_x}{dt}=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=f^{″}(t)}$, ${\displaystyle a_y=\frac{d{v}_y}{dt}=\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=g^{″}(t)}$

이때, $a_x$와 $a_y$를 성분으로 하는 벡터는, 속도를 미분한, 시각 $t$에서의 가속도입니다.

$$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{a}& =(a_x,a_y)\\ & =(\frac{d^{2}x}{d{t}^2},\frac{d^{2}y}{d{t}^2})\\ & =(f^{″}(t),g^{″}(t))\end{array}$

또한, 점 $\mathrm{P}$의 가속력, 즉 가속도의 크기는, 피타고라스의 정리에 의해, 다음과 같습니다.

$$$\begin{array}{rl}|\overrightarrow{a}|& =\sqrt{a_x^2+a_y^2}\\ & =\sqrt{{\left(\frac{d^{2}x}{d{t}^2}\right)}^2+{\left(\frac{d^{2}y}{d{t}^2}\right)}^2}\\ & =\sqrt{\{f^{″}(t){\}}^2+\{g^{″}(t){\}}^2}\end{array}$

응용예제

응용예제1

좌표평면 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 ${\displaystyle t(0<t<\frac{\pi }{2})}$에서의 위치 $(x,y)$가

$$$x=t+\sin t\cos t,y=\tan t$

이다. ${\displaystyle 0<t<\frac{\pi }{2}}$에서 점 $\mathrm{P}$의 속력의 최솟값은? [3점] [2020학년도 수능 가형 9번]