속도와 위치 및 속도와 거리에 대한 이론적 관계는 미적분1에서와 동일합니다. 즉, 속도를 정적분한 결과는 위치의 변화량을 나타내고, 속도의 절댓값을 정적분한 결과는 움직인 거리를 나타냅니다.
한편, 평면 운동에서, 위치는 시각 \(t\)에 대해, 함수로 주어지기 때문에, 위치의 변화량은 시각을 각각 대입해서 위치의 값을 구한 후, 차이로부터 변화량을 직접 알 수 있습니다.
또한, 속도의 성분을 제공할 때에는 속도의 각 성분에 대한 정적분을 통해서 위치의 함수를 알아낼 수 있습니다.
반면에, 거리는 크게 2가지 형태로 식을 알아둘 필요가 있습니다.
첫 번째, 좌표평면 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}(x,y)\)의 시각 \(t\)에서의 위치가, 각 성분에 대해 알려져 있을 때, 즉, \(x=f(t),y=g(t)\)일 때, 시간 \([a,b]\)에서 점 \(\mathrm{P}\)가 움직인 거리는 속도와 가속도에서 구한 속력으로부터,
\(\quad\)\(\begin{align}
l & = \int_a^b|v(t)|dt \\
& = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt \\
& = \int_a^b \sqrt{\{f'(t)\}^2 + \{g'(t)\}^2}dt \\
\end{align}\)
두 번째, 곡선 \(y=f(x)\)위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}(x,y)\)으로 주어지는 경우는 첫 번째 경우의 식을 이용하기 위해서, 시각 \(t\)를 매개변수로 갖는 식으로 성분을 나눌 필요가 있습니다.
그 중 가장 쉬운 방법은, 다음과 같이 바꾸는 것입니다.
\(\quad\)\(x=t,\;y=f(t)\)
따라서, 첫번째 경우에서 주어진 식은 다음과 같이 다시 쓰여질 수 있습니다.
\(\quad\)\(\begin{align}
l & = \int_a^b|v(t)|dt \\
& = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt \\
& = \int_a^b \sqrt{1 + \{f'(t)\}^2}dt \\
& = \int_a^b \sqrt{1 + \{f'(x)\}^2}dx \\
\end{align}\)
