지수방정식과 마찬가지 형태에서, 방정식을 부등식으로 바꿈으로써, 로그부등식의 문제를 만들 수 있습니다.
항이 2개인 경우
지수부등식의 해법은 지수방정식의 해법과 기본적으로 같지만, 밑의 크기에 따라 부등호의 부호가 바뀌게 됨에 주의해야 합니다.
- \(a > 1\)이면 \(a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) > g(x)\)
- \(0 < a < 1\)이면 \(a^{f(x)} > a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x) < g(x)\)
밑이 같지 않을 때에는, 양쪽 변에 로그를 취하는데, 로그의 밑을 1보다 작은 것을 취하면, 부등호의 방향이 바뀝니다.
예를 들어, \(\frac{1}{2} > \frac{1}{4}\)이지만, \(\log_\frac{1}{2} \frac{1}{2} < \log_\frac{1}{2} \frac{1}{4}\)와 같은 경우입니다.
항이 3개 이상인 경우
지수부등식에서 항이 3개 이상이면, 방정식과는 아주 조금 다르게 생각해야 합니다.
예를 들어, 다음 방정식을 생각해 보십시오.
\(\quad\)\(4^x - 2^x -3 > 0\)
아마도, \(2^x=t (>0)\)로 치환하면,
\(\quad\)\(t^2-2t-3 > 0\)
\(\quad\)\((t-4)(t+2) > 0\)
여기서, \(t\)는 양수이므로, \(t+2>2\), 즉 양수이므로, \(t+2\)로 나누더라도, 부등호의 방향은 바뀌지 않습니다.
따라서, \(t > 4\)이므로, 원래 방정식으로 바꾸면, \(2^x > 4\)이므로, \(x>2\).
지수의 밑에 상관없이, 1이 아닌 양수에 대해, \(a^x=t (>0)\)임을 잊지 말아야 합니다!!
