로그방정식은 로그의 진수에 미지수를 포함하는 방정식을 말합니다. 예를 들어, \(\log_2 x =3\)과 같은 방정식이 로그 방정식의 가장 쉬운 문제이며, 그의 해는 로그의 정의로부터, \(x=2^3\)입니다.
로그는 밑의 조건이 맞으면, 지수의 역과정이므로, 지수방정식을 분류할 때와 마찬가지로 분류할 수 있습니다.
로그방정식은, 지수방정식과 다르게, 진수조건이 있습니다. 즉, 로그가 정의되기 위해서, 그의 진수는 반드시 양수여야 합니다.
따라서, 진수에 미지수가 포함되면, 진수가 양수라는 조건을 만족하지 않는 해는 해에 포함해서는 안되고, 보통, 진수 조건식을 먼저 적어두는 습관이 필요합니다.
또한, 로그의 밑에 미지수가 포함되어 있을 때, 밑수 조건을 별도로 표시해 두는 습관이 필요합니다.
항이 2개인 로그방정식
로그방정식에서, 항이 2개이면, 하나는 왼쪽 변에 두고, 다른 하나는 오른쪽 변에 두어서 생각할 수 있습니다.
첫 번째, 밑이 하나의 항에 존재하는 경우에 대해,
\(\quad\)\(\log_{a}x=b \Leftrightarrow x=a^b\)
\(\quad\)로그의 정의로부터 해를 구할 수 있습니다.
두 번째, 양쪽 변의 밑이 같은 경우에 대해,
\(\quad\)\(\log_{a}f(x)=\log_{a}g(x) \Leftrightarrow f(x)=g(x)\)
\(\quad\)밑이 같으면, 진수가 같아야 서로 같습니다.
세 번째, 밑이 다른 경우에 대해,
\(\quad\)밑이 서로 지수배가 되어서,
\(\quad\)실수배가 1보다 큰 쪽으로 밑수를 맞추는 것이 계산 과정이 조금 간단합니다.
\(\quad\)예를 들어,
\(\quad\)\(\log_2 x = \log_4 x\)와 같은 경우에서, 밑수를 4로 맞추는 것이 더 편합니다.
\(\quad\)\(\log_{2^2} x^2 = \log_4 x\)
항이 3개 이상인 로그방정식
로그의 성질에 의해, 대체로 합해질 수 있는 경우들이 있습니다. 예를 들어,
\(\quad\)\(\log_2 x = \log_{\frac{1}{2}} (x-2) + \log_4 9\)와 같이
\(\quad\)밑을 2 또는 4로 밑을 하나로 만들 수 있을 때,
\(\quad\)\(\log_2 x = -\log_2 (x-2) + \log_{2^2} 3^2\)로 바꾸어서, 계산할 수 있습니다.
로그의 전체를 제곱하는 경우에 대해, \(\log_{a}x=t\)로 치환해서 해를 구합니다. 지수와 다르게, 로그의 치역은 모든 실수이므로, \(t\)는 양수, 영, 음수가 될 수 있습니다. 예를 들어,
\(\quad\)\(\left(\log_2 x\right)^2 - \log_2 x^3 = 10\)
주의사항
다시 한번 강조하지만, 로그의 성질을 이용해서, 계산할 때, 진수 조건(정의역)을 항상 먼저 고려해야 합니다.
예를 들어, \(\log{x^4}-\log{x^2}-2=0\)의 해는 \(x=10\)이 아니라 \(x=\pm 10\)입니다.
실수를 줄일려면, \(x^2=t\)로 바꾸어서 식을 다루는 습관이 필요할 수도 있습니다. 이런 식의 접근은 \(t\)를 구한 후에, 역치환하는 과정이 필요하므로, 실수할 가능성이 거의 없습니다.
응용예제
응용예제1
지수함수 \(y=a^x\;(a>1)\)의 그래프와 직선 \(y=\sqrt{3}\)이 만나는 점을 \(\rm A\)라 하자. 점 \(\rm B(4,0)\)에 대하여 직선 \(\rm{OA}\)와 직선 \(\rm{AB}\)가 서로 수직이 되도록 하는 모든 \(a\)의 값의 곱은? (단, \(\rm O\)는 원점이다.) [4점] [2020학년도 수능 가형 15번]