지수방정식은 방정식의 지수에 미지수를 포함하는 것들을 말합니다.
예를 들어, \(2^x=8\)과 같은 것이 지수방정식이며, 그의 해는 \(x=3\)입니다. 반면에 \(2^x=5\)와 같은 것은 유리수로 표현할 수 없기 때문에, 새롭게 로그를 만들어서 공통적으로 표현하며, 방정식의 해는 \(x=\log_2 5\)입니다. 따라서, 지수방정식의 해는 대부분이 로그이고, 아주 일부만이 유리수의 결과를 가집니다.
항이 2개인 지수방정식
지수방정식에서, 항이 2개이면, 하나의 항으로 왼쪽 변과 다른 하나의 항으로 오른쪽 변을 만들 수 있습니다.
첫 번째, 양수 밑에 대해, 밑이 같은 경우에서,
- \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\Leftrightarrow a=1\) 또는 \(f(x)=g(x)\) : 밑이 1이 아니라는 조건이 없으면, 밑이 1이 되는 경우를 해에 포함시켜야 합니다. 문제의 조건에 포함되는 것은 모두 살펴봐야 합니다!!
두 번째, 양수 밑에 대해, 지수가 같은 경우에서,
- \(a^{f(x)}=b^{f(x)}\Leftrightarrow a=b\) 또는 \(f(x)=0\) : 밑이 같아지는 경우를 빠뜨리지 않도록 조심해야 합니다!!
세 번째, 양수 밑에 대해, 밑이 다른 경우에서,
- \(a^{f(x)}=b^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)\log{a}=g(x)\log{b}\) : 양쪽 변에 로그를 취함으로써, 지수방정식을 대수방정식으로 바꾸어서 풀 수 있습니다.
- \(\log a f(x) = \log b g(x)\)와 같이 바꾸면 안됩니다. 왜냐하면, \(\log\)의 진수는 곱한 것들 전부에 해당하기 때문에, 이것은 \(a f(x)=b g(x)\)를 말하고, 위의 문제와 같지 않습니다. 이 문제에서 다른 올바른 표기법은 괄호를 이용하는 것으로써, \((\log a) f(x) = (\log b) g(x)\).
- 게다가, 양쪽 변에 로그를 취할 때, 로그의 밑은 1이 아닌 양수를 선택할 수 있고, 대체로 상용로그를 많이 이용합니다.
항이 3개 이상인 지수방정식
주어진 문제의 항이 3개 이상이면, 왼쪽 변과 오른쪽 변으로 나누어서 문제를 해결할 가능성이 매우 낮습니다. 그래서, 특별한 꼴에 해당하는 문제들을 제한적으로 다룹니다.
보통, 밑수가 서로 지수배의 형태인 것들이 대부분 다루어 지는데, \(a^x=t\)로 두면, \(a^{2x}=t^2\)으로 바꾸어서, \(t\)에 대한 다항방정식으로 해를 구한 후에, 그 결과를 [[#항이 2개인 지수방정식]]으로 \(x\)에 대한 해로 바꿉니다.
이때, \(a^x(=t) > 0\)이므로 \(t\)의 근 중에서 비-양수(0과 음수)는 근이 될 수 없습니다.
게다가, \(a^x=t\)로 치환할 때 문제에서 주어진 조건이 다음과 같이 바뀌는 점에 주의해야 합니다.
- \(pa^{2x}+qa^x+r=0\ \{\alpha, \beta\}\) \(\Rightarrow\) \(pt^2+qt+r=0\) \(\{a^{\alpha}, a^{\beta}\}\)
- \(pa^{2x}+qa^x+r=0\) {서로 다른 두 실근} \(\Rightarrow\) \(pt^2+qt+r=0\) {서로 다른 두 양근}
- \(pa^{2x}+qa^x+r=0\) {서로 다른 두 양근} \(\Rightarrow\)
- \(a>1\)이면 \(t>1\) 서로 다른 두 실근을 갖는다.
- \(0 < a < 1\)이면 \(0 < t < 1\) 서로 다른 두 실근을 갖는다.
응용예제
응용예제1
문제: 모든 실수 \(x\)에 대하여 부등식 \(k\cdot 2^x \le 4^x -2^x +4\)가 성립하도록 하는 실수 \(k\)값의 범위는 얼마일까요?
응용예제2
방정식 \(9^x-8\cdot 3^x+k=0\)의 해를 \(\alpha,\;\beta\)라 할 때, \(\alpha\beta<0\)이 되는 실수 \(k\)값의 범위를 구하시오.
