수학에서, 지수 함수(exponential function)는 다음과 같은 형태의 함수입니다:
\(\quad\)\( f(x) = a^x \, \)
여기서 입력 변수 \(x\)는 지수로써 발생합니다.
이때, 정의역 \(x\)는 실수, 복소수, 또는 다른 수학적 대상, 예를 들어 행렬 등이 가능하지만, 고등학교 교과과정에서는 오직 실수를 다루고, 치역과 그를 포함하는 공역 역시 오직 실수를 다룹니다.
한편, 만약, \(a=1\)이면, \(1^x=1\)이며, 임의의 입력에 대해 항상 같은 결과 1을 생성하는 상수함수가 되어, 지수함수의 기본 성질에 해당하는 곡선이 아니므로, 지수함수에서 제외합니다. 또한, \(a=0\)이면, \(x\neq 0\)일 때, \(0^x=0\)이고, \(0^0\)은 정의를 결정해야 하는 문제가 있어, 지수함수에서 제외합니다.
게다가, \(a < 0\)이면, 예를 들어, \(a=-1\)이고, \(x=\frac{1}{2}\)이면, 그 결과는 허수, 즉 공역의 범위에서 포함되지 않으므로, 지수함수에서 제외합니다. 비슷한 경우로써, 로그의 정의를 참조하십시오.
따라서, 고등학교 교과과정에서는, 지수함수의 밑 \(a\)는 1이 아닌 양의 실수를 다룹니다.
이 기사에서, 밑을 지정하지 않은 경우에는 밑은 1이 아닌 양의 실수입니다.
지수함수의 특징
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지수함수는 크게 밑수가 1보다 클 때와 그렇지 않을 때로 그래프의 개형이 나눕니다. 그렇더라도, 몇 가지 특성은 같기 때문에, 다른 점이 어떤 것이 있는지 확인해 두는 것이 필요합니다.
- 정의역 : 실수 전체의 집합
- 치역 : 양의 실수 전체의 집합
- 축과의 교점 : \(\left(0, 1\right)\)을 지남.
- 점근선 : \(x\)축 (\(y=0\))
- 아래로 볼록 : \(\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)\leq\frac{f(a)+f(b)}{2}\), \(\ f''(x)\geq0\)
- \(a>1\) : 증가함수 (\(x_1 < x_2\)이면, \(\ f(x_1) < f(x_2)\), \(\ f'(x)\geq 0\))
- \(0 < a < 1\) : 감소함수 (\(x_1 < x_2\)이면, \(\ f(x_1) < f(x_2)\), \(\ f'(x)\leq 0\))
- 밑이 역수관계 : \(y\)축 대칭, 예를 들어, \(y=2^x,\;y=\left(\frac{1}{2}\right)^x\).
위의 기본 특징을 제외하고, 밑수의 크기에 따라, 대소관계가 결정되는 몇 가지 경우가 있습니다.
- \(1 < a < b\)일 때 : \(x > 0\)이면 \(b^x > a^x\), \(x < 0\)이면 \(b^x < a^x\)
- \(0 < a < b < 1\)일 때 : \(x > 0\)이면 \(b^x > a^x\), \(x < 0\)이면 \(b^x < a^x\)
- \(0 < a < 1 < b\)일 때 : \(x > 0\)이면 \(b^x > a^x\), \(x < 0\)이면 \(b^x < a^x\)
- \(m > n\)일 때 : \(\frac{a^m-1}{m} > \frac{a^n-1}{n}\)이 성립함.
마지막 특징은 점\((0, 1)\)과 점\((m, a^m)\)의 기울기와 점\((0, 1)\)과 점\((n, a^n)\)의 기울기의 크기를 비교해서 판정할 수 있습니다.
그래프를 이용한 대소 관계 판별
지수함수 그리고 로그함수 등은 증가함수 또는 감소함수이므로, 다음과 같은 것으로 대소 관계를 판단할 수 있습니다.
- 함수의 증가와 감소
- 곡선의 오목성(또는 볼록성)을 이용
- 밑이 다른 지수함수 그래프를 그려서 비교
- 두 점 사이의 직선의 기울기를 이용
- 넓이 관계를 이용
지수함수의 평행이동과 대칭이동
지수함수의 기본 그래프는 밑수가 1보다 큰지 여부에 따라 2개가 있습니다.
이 그래프를 평행이동했을 때, 나타나는 그래프는 기본 그래프의 성질을 그대로 가지고 있습니다. 이때, 점근선을 우선적으로 고려해서 그래프의 개형을 그려야 합니다.
예를 들어, \(y=2^x\)의 그래프를
- \(x\)-축 방향으로 \(a\)만큼 평행이동하면, \(y=2^{x-a}\)이고 점근선은 바뀌지 않습니다.
- \(y\)-축 방향으로 \(b\)만큼 평행이동하면, \(y-b=2^x\)이고, 점근선 \(y=b\)로 바뀝니다.
한편, 대칭이동은, 위에서 언급한 것처럼, 지수의 밑이 곱셈에 대한 역수 관계이면, \(y\)-축 대칭입니다. 즉, \(y=a^x\)의 \(y\)-축 대칭이동한 그래프는
\(\quad\)\(\displaystyle y=a^{-x}=\left(\frac{1}{a}\right)^x\)
반면에, \(y=a^x\)의 \(x\)-축 대칭이동한 그래프는
\(\quad\)\(-y=a^x\;\Leftrightarrow\;y=-a^x\)
지수함수의 최대·최소
지수함수는 비록 평행이동 또는 대칭이동을 하더라도, 증가함수 또는 감소함수입니다. 따라서, 정의역의 제한 없이는 최댓값과 최솟값을 가지지 않습니다.
그렇지만, 정의역을 \(\alpha \le x \le \beta\)로 제한하면, \(x=\alpha,\;\beta\)에서 최댓값 또는 최솟값을 가지므로, 그래프의 개형을 그릴 필요 없이, 주어진 식 \(y=a^x\)에 대입해서 큰 값이 최댓값이며, 작은 값이 최솟값입니다.
만약, \(a>1\)이면, 최댓값 \(a^\beta\), 최솟값 \(a^\alpha\)를 가집니다.
반면에, \(0<a<1\)이면, 최댓값 \(a^\alpha\), 최솟값 \(a^\beta\)를 가집니다.
한편 \(y=a^{f(x)}\)와 같이 지수에 해당하는 부분이 함수로 주어지는 경우에서,
i) \(a > 1\)이면, 증가함수이므로, 지수가 가장 클 때 최댓값을 가지고, 지수가 가장 작을 때 최솟값을 가집니다.
\(\quad\)\(f(x)\)의 최댓값(최솟값) \(\Leftrightarrow\) \(y\)의 최댓값(최솟값)
ii) \(0 < a < 1\)이면, 감소함수이므로, 반대의 논리로,
\(\quad\)\(f(x)\)의 최댓값(최솟값) \(\Leftrightarrow\) \(y\)의 최솟값(최댓값)
공통부분을 가지는 다항식
- \(a^x=t\)로 치환하면, \(a^{2x}=t^2,\ a^{-x}=\frac{1}{t}\)이고, \(t > 0\)이다.
- \(a^x+a^{-x}=t\)로 치환하면, 산술-기하평균에 따라 \(t\geq2\)이다.
지수함수와 산술/기하 평균사이의 관계
- 합이 일정하면 곱의 최댓값이 존재하고, 곱이 일정하면 합의 최솟값이 존재합니다.
- 지수함수에서 \(a^x, \frac{1}{a^x}\)꼴은 최댓값이나 최솟값을 산술/기하 평균을 우선적으로 생각해 봅니다.
지수함수로의 접선
지수함수, \(y=a^x\)에 접하는 직선 중에서 가장 많이 쓰이는 것은 원점을 통과하는 접선입니다.
먼저, 지수함수 위의 임의의 점 \(\left(p, a^p\right)\)와 원점 사이의 기울기는 그 점에서의 도함수와 같습니다:
\(\quad\)\(\displaystyle \frac{a^p}{p}=a^p \ln a\)
따라서, \(p=\log_a e\)이고, 접선은 \(y=\left(e \ln a\right) x\)입니다.
응용예제
응용예제1
\(x\)에 대한 방정식 \(\left|3^x-2\right|=k\)가 오직 하나의 실근을 갖기 위한 양수 \(k\)의 값의 범위는?
응용예제2
함수 \(\displaystyle f(x)=2^\frac{2x}{x+1}\;(x>0)\), \(g(x)=2^{-x}\)에 대하여 곡선 \(y=g(x)\)를 \(x\)-축의 (양의) 방향으로 \(k\)만큼, \(y\)-축의 (양의) 방향으로 \(k\)만큼 평행이동시킨 곡선을 \(y=g_k(x)\)라 놓습니다. 이때, 다음 설명 중 옳은 것을 모두 고르세요.
\(\quad\)ㄱ. 양의 실수 \(x_1,x_2\)에 대하여 \(x_1 > x_2\)이면 \(f(x_1)>f(x_2)\)입니다.
\(\quad\)ㄴ. 곡선 \(y=g_k(x)\)와 직선 \(y=x+1\)는 한 점에서 만납니다.
\(\quad\)ㄷ. 자연수 \(k\)와 \(x\)에 대하여 부등식 \(\left(f\circ g_k\right)(x) < f(x+1)\)를 만족하는 가장 작은 자연수를 \(h(k)\)라 놓으면, \(h(3)+h(4)=h(8)\)이 성립합니다.
응용예제3
두 곡선 \(y=2^{-x}+1\)과 \(y=-2x^2+3\)가 만나는 두 점을 \((x_1,y_1),\;(x_2,y_2)\)라 하자. \(x_1<x_2\)일 때, 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
\(\quad\)(ㄱ) \(\frac{\sqrt{2}}{2} < x_2 <1\)
\(\quad\)(ㄴ) \(y_2-y_1 < x_1-x_2\)
\(\quad\)(ㄷ) \(0<(y_1-1)(y_2-1)<1\)
