원의 방정식에서 일반형과 표준형에 대해 알아보았습니다. 어떤 조건으로부터 원의 방정식을 만들 때에는 주로 표준형을 사용하며, 일반형은 원이 지나는 세 점이 주어진 경우에 사용합니다. 여기서는 축에 접하는 경우에 원의 방정식의 표준형이 어떻게 달라지는지 알아보고자 합니다.
x축에 접하는 원
오른쪽 그림은 원이 \(x\)축의 위쪽에서 \(x\)축에 접하는 경우의 그림을 보여줍니다. 여기서 반지름의 길이는 중심의 \(y\)좌표인 \(b\)의 값과 동일합니다.
\(\quad\)\(b=r\Rightarrow r^2=b^2\)
반면 원이 x축의 아래쪽에서 \(x\)축에 접하는 경우에는 원의 중심의 \(y\)좌표가 음의 값을 갖기 때문에 부호를 반대로 바꾸어 주어야 반지름의 길이와 동일해집니다.
\(\quad\)\(-b=r\Rightarrow r^2=b^2\)
그러나, 표준형의 원의 방정식에서는 \(r^2\)을 사용할 것이기 때문에 어느 쪽에 접할지 확인할 필요는 없습니다.
그러므로, \(x\)축에 접하는 표준형의 원의 방정식은 다음과 같이 정할 수 있습니다.
\(\quad\)\((x-a)^2+(y-b)^2=b^2\)
y축에 접하는 원
오른쪽 그림처럼 \(y\)축에 접할 경우에는 \(x\)축에 접할 때와는 반대로 중심의 \(x\)좌표가 반지름과 관련이 있습니다. \(x\)축때와 같은 방법을 통해서, \(y\)축에 접할 때 표준형의 원의 방정식은 다음과 같이 정할 수 있습니다.
\(\quad\)\((x-a)^2+(y-b)^2=a^2\)
x, y축에 동시에 접하는 원
양축에 동시에 접하는 경우에는 \(|a|=|b|=r\)과 동일합니다. 그렇기 때문에 다음과 같이 어떤 것을 선택해도 상관이 없습니다.
\(\quad\)\(r^2=a^2=b^2\)
1,3 사분면
한편 중심의 좌표는 부호를 정해야 합니다. 1,3 사분면은 중심의 \(x,y\)의 좌표가 동일합니다. 그렇기 때문에 다음과 같이 표준형의 원의 방정식을 정할 수 있습니다.
\(\quad\)\((x-a)^2+(y-a)^2=a^2\quad\cdots(1)\)
이렇게 식을 세웠다면, 1사분면일 경우에는 \(a>0\), 3사분면일 경우에는 \(a<0\)가 정답이 됩니다.
반면에 식을 다음과 같이 만들 수도 있습니다.
\(\quad\)\((x+b)^2+(y+b)^2=b^2\quad\cdots(2)\)
이렇게 식을 세웠다면, 1사분면일 경우에는 \(b<0\), 3사분면일 경우에는 \(b>0\)가 정답이 됩니다.
이런 연유로 모든 사분면에 따라 식을 정할 필요는 없습니다. 즉, (1)식은 1사분면, (2)식은 3사분면과 같이 정할 필요는 없습니다.
2,4 사분면
양축에 동시에 접하면서 2, 4사분면에 위치하게 되면, 중심의 \(x,y\)는 크기는 같지만 부호를 서로 다릅니다. 그러므로 다음과 같이 표준형의 원의 방정식을 세울 수 있습니다.
\(\quad\)\((x-a)^2+(y+a)^2=a^2\quad\cdots(3)\)
이렇게 식을 세웠다면, 2사분면일 경우에는 \(a>0\), 4사분면일 경우에는 \(a<0\)가 정답이 됩니다.
반면에 식을 다음과 같이 만들 수도 있습니다.
\(\quad\)\((x+b)^2+(y-b)^2=b^2\quad\cdots(4)\)
이렇게 식을 세웠다면, 2사분면일 경우에는 \(b<0\), 4사분면일 경우에는 \(b>0\)가 정답이 됩니다.
이런 연유로 모든 사분면에 따라 식을 정할 필요는 없습니다. 즉, (3)식은 4사분면, (4)식은 2사분면과 같이 정할 필요는 없습니다.
