두 도형의 위치 관계에 따라 원과 직선의 위치 관계도 해석할 수 있습니다. 원과 직선의 위치 관계는 세 가지 경우가 있습니다.
- 교점 2개(빨간 직선)
- 교점 1개(파란 직선)
- 교점이 없는 경우(초록색 직선)
원과 직선의 방정식을 각각 다음과 같이 놓습니다.
\(\quad\)\(x^2+y^2=r^2\quad\cdots(1)\)
\(\quad\)\(y=mx+n\quad\cdots(2)\)
위치 관계는 식 (1),(2)의 연립방정식의 실근의 개수와 같으므로 다음과 같은 식을 만듭니다.
\(\quad\)\(x^2+(mx+n)^2=r^2\)
\(\quad\)\((m^2+1)x^2+2mnx+n^2-r^2=0\;\{\alpha,\beta\}\quad\cdots(3)\)
이때, 방정식 (3)의 실근은 원과 직선의 교점의 \(x\)좌표를 나타냅니다. 그러므로, (3)의 판별식 \(D\)에 따라 위치 관계가 결정됩니다.
| 판별식 | 근의 종류 | 교점 개수 |
| \(D > 0\) | 서로 다른 두 실근 | 교점 2개 |
| \(D = 0\) | 서로 같은 두 실근 | 교점 1개 |
| \(D < 0\) | 서로 다른 두 허근 | 교점 0개 |
특별히 D = 0인 경우에 원과 직선은 접한다라고 말하고, 이 직선을 접선이라고 부릅니다. 원의 접선의 방정식을 참조하십시오.
기하학적 접근
원과 직선의 위치 관계는 두 도형의 위치 관계를 하나의 예제이므로, 두 도형의 연립방정식의 실근의 개수에 따라 위치 관계를 판단할 수 있습니다.
원은 중심으로부터 같은 거리(반지름)에 점, 즉 윈주로 구성됩니다. 그러므로 원의 중심에서 직선까지의 (최단)거리를 반지름과 비교해서 원과 직선의 위치 관계를 알 수 있습니다.
그림처럼, 위치 관계는 다음과 같이 3가지로 나뉩니다.
- \(d_1<r \Rightarrow\) 교점 2개
- \(d_2=r \Rightarrow\) 교점 1개
- \(d_3>r \Rightarrow\) 교점 0개
이 과정은 3차원으로 확장이 되었을 때, 평면과 구 사이의 위치 관계를 판명할 때 사용합니다.
기억해 둘 만한 것
원의 중심이 원점이 아닌 경우에는 평행이동을 통해서 원의 중심을 원점으로 가져올 수 있습니다. 같은 평행이동으로 직선을 가져오면 위와 같은 모양으로 만들 수 있습니다. 두 도형이 같은 양만큼 평행이동이 되면, 서로 간의 위치 관계는 바뀌지 않습니다.
평행이동을 통해서 계산량을 줄이는 방법은 치환과 함께 늘리 사용되는 방법입니다.
응용예제
응용예제1
좌표평면 위에 그려진 두 원 \((x-2)^2+y^2=1\)과 \((x-5)^2+(y-4)^2=16\)에 대하여, 직선 \(y=mx\)는 두 원과 세 점에서 만납니다. 모든 상수 \(m\)의 값의 합은 얼마일까요?
응용예제2
좌표평면에서 원 \(x^2+y^2=1\)을 \(y\)-축으로 1만큼 평행이동한 도형과 직선 \(y=mx\)를 \(x\)-축으로 1, \(y\)-축으로 1만큼 평행이동한 도형이 서로 다른 두 점 \(\mathrm{P,Q}\)에서 만난다. 선분 \(\mathrm{PQ}\)와 호 \(\mathrm{PQ}\)로 둘러싸인 도형 중 넓이가 작은 도형의 넓이를 \(S_1\), 선분 \(\mathrm{OQ}\)와 호 \(\mathrm{OQ}\)로 둘러싸인 도형 중 넓이가 작은 도형의 넓이를 \(S_2\)라 하자. \(S_1=S_2\)를 만족시키는 모든 실수 \(m\)의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. (단, \(\mathrm O\)는 원점이고, 점 \(\mathrm P\)의 \(x\)-좌표는 점 \(\mathrm Q\)의 \(x\)-좌표보다 크다.)
