두 원의 중심이 같은 축 위에 있을 때, 공통외접선을 구하는 기하학적인 방법은 아래 응용예제1이고 풀이는 다음 글에 있습니다
공통 내접선과 관련된 문제로써, 아래 응용예제6의 풀이입니다.
두 원으로 교점을 만들 수 있는 경우는 교점이 1개, 교점이 2개, 교점이 무수히 많은 경우의 3가지 경우가 있습니다.
먼저 교점이 무수히 많은 경우는 두 원이 겹치는 경우이므로 이 교점으로 만들어지는 도형은, 서로 같은, 두 원 자기 자신 뿐입니다.
교점이 1개인 경우는, 두 원이 외접 또는 내접하는 경우입니다.
교점이 2개인 경우는, 공통현의 방정식 (또는 공통현의 길이) 또는 교점을 지나는 새로운 원의 방정식을 구하는 문제로 귀결됩니다.
공통 접선
공통 외접선
두 원의 공통 외접선은 두 원이 내접하거나, 한 원이 다른 원에 포함되지 않을 때, 항상 2개 만들어집니다.
공통 내접선
두 원이 서로 분리되어 있을 때, 2개의 공통 내접선이 만들어집니다.
접선 구하기
공통 내접선 또는 공통 외접선은 두 원의 방정식이 주어졌을 때, 직선의 방정식을 \(y=ax+b\)로 두고, 각각의 원과 연립방정식을 풀었을 때, 중근을 갖는 조건으로 구할 수 있습니다.
하지만, 이 방법은 생각보다 계산이 필요할 수 있기 때문에 추천하지는 않습니다.
다른 방법은 각각의 원의 중심으로부터 직선까지의 거리를 구해서 각각의 반지름과 같은 식 2개를 만들어서 연립해서 구할 수 있습니다. 대체적으로 이 방법이 계산의 편의가 있습니다.
그 외, 주어진 상황에 따라, 닮음, 즉 비례를 이용해서 해결할 수 있습니다.
공통현
공통현의 방정식
두 원 \(\mathrm{O, O'}\)이 서로 다른 두 점 \(\mathrm{A, B}\)에서 만날 때, 선분 \(\mathrm{AB}\)를 두 원의 공통현이라고 합니다.
공통현의 성질은 현의 성질로부터 확장이 됩니다. 원 \(\mathrm{O}\)의 중심으로부터 현에 수선의 발 \(\mathrm{M}\)을 내리면, 두 직각삼각형 \(\triangle{\mathrm{OMA, OBM}}\)이 생깁니다. 여기서 선분 \(\mathrm{OM}\)이 공통이고, 빗변은 반지름의 길이로 같기 때문에 두 직각삼각형의 RHS(직각삼각형에서 빗변과 다른 한 변의 길이가 같을 때) 합동이 됩니다. 그러므로 \(\mathrm{M}\)은 선분 \(\mathrm{AB}\)를 2등분합니다.
마찬가지로 원 \(\mathrm{O'}\)도 같은 경우입니다. 수선의 발 \(\mathrm{M}\)이 같은 위치이며, 현의 길이도 2등분합니다.
그러므로 \(\angle\mathrm{OMO'}\)은 평각이므로 같은 직선 위에 있습니다. 이를 중심선(선분 \(\mathrm{OO'}\))이라고 합니다. 중심선은 공통현을 수직으로 이등분합니다.
그럼, 공통현의 방정식은 어떻게 구할까요? 이것 역시 두 도형의 교점에 해당하기 때문에, 두 도형의 교점을 지나는 방정식에 따라 다음과 같이 구할 수 있습니다.
먼저, 두 원 \(\mathrm{O, O'}\)의 방정식을 다음과 같이 정합니다.
\(\quad\)\(\mathrm O: x^2+y^2+a_1x+b_1y+c_1=0\)
\(\quad\)\(\mathrm O': x^2+y^2+a_2x+b_2y+c_2=0\)
교점의 지나는 방정식을 다음과 같이 정할 수 있습니다.
\(\quad\)\(x^2+y^2+a_1x+b_1y+c_1+k(x^2+y^2+a_2x+b_2y+c_2)=0\)
여기서 구하려는 공통현의 방정식은 직선이므로 모든 이차항이 사라져야 하기 때문에, \(k=-1\)을 대입해야 합니다. 다음이 공통현의 방정식입니다.
\(\quad\)∴ \((a_1-a_2)x+(b_1-b_2)y+(c_1-c_2)=0\)
공통현의 길이
공통현의 길이는 어떻게 구할까요?
공통현의 길이를 구하기 위해서 다음의 과정이 필요합니다.
- 공통현의 방정식을 구합니다.
- 공통현의 방정식과 원과의 교점을 구합니다.
- 교점 사이의 거리를 구합니다.
이 방법은 연립이차방정식을 풀어야 하고, 주로 무리근이 많이 나옵니다. 그러므로 교점 사이의 거리를 구하는 것도 계산이 쉽지 않습니다.
그래서 기하학적 방법을 이용해서 공통현의 길이를 구하는 것을 많이 이용합니다.
- 공통현의 방정식을 구합니다.
- 원의 중심에서 공통현까지의 거리를 구합니다.
- 직각삼각형에서 피타고라스 정리를 이용해서 공통현의 절반의 길이를 구합니다.
- 2배를 해서 공통현의 길이를 구합니다.
두 원의 교점을 지나는 원의 방정식
두 개의 교점을 갖는 두 원 \(\mathrm{O, O'}\)의 방정식을 다음과 같이 정합니다.
\(\quad\)\(\mathrm O: x^2+y^2+a_1x+b_1y+c_1=0\)
\(\quad\)\(\mathrm O': x^2+y^2+a_2x+b_2y+c_2=0\)
두 원의 교점의 지나는 새로운 원의 방정식을 다음과 같이 정할 수 있습니다.
\(\quad\)\(x^2+y^2+a_1x+b_1y+c_1+k(x^2+y^2+a_2x+b_2y+c_2)=0\)
여기서 \(k=-1\)일 때는 원이 되지 않고, 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식(공통현:점선)이 됩니다. \(k\)가 양수일 때는 빨간색 원들이고, \(k\)가 음수일 때는 파란색 원들입니다.
이렇게 식을 세우면, \(k=0\)일 때 원 \(\mathrm O\)는 그릴 수 있지만, 원 \(\mathrm O'\)은 절대 그릴 수 없습니다. 다시 말해서 두 원의 교점을 제외한 원 \(\mathrm O'\) 위의 점은 지날 수 없습니다.
응용예제
응용예제1
두 원 \(x^2+y^2=1\), \((x-2)^2+y^2=4\)에 동시에 접하는 접선의 방정식은 \(y=mx+n\)입니다. 두 상수 \(m,n\)에 대하여 \(30\left(m^2+n^2\right)\)의 값은?
응용예제2
그림과 같이 원 \(x^2+y^2=16\)과 직선 \(x+2y=2\sqrt{5}\)가 만나는 두 점을 각각 \(\mathrm{A,B}\)라고 놓습니다. 원 위의 한 점을 \(\mathrm{C}\)라 할 때, 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이의 최댓값은?
응용예제3
직선 \(y=ax+b\)이 두 원 \(x^2+y^2=9\), \((x-3)^2+y^2=4\)에 동시에 접할 때, 두 실수 \(a,b\)에 대하여 \(|a+b|\)의 값은?
응용예제4
두 원 \(x^2+y^2=4\), \((x-9)^2+y^2=1\)에 동시에 접하는 접선의 방정식 중에서, 그의 \(x\)-절편이 9보다 작은 것을 \(y=ax+b\)라고 놓습니다. 이때, \((a+b)^2=\frac{c}{d}\)라고 할 때, \(c+d\)의 값은? (단, \(c, d\)는 서로소인 자연수입니다.)
응용예제5
직선 \(y=mx+n\)이 두 원 \(x^2+y^2=4\), \((x+3)^2+y^2=1\)에 동시에 접할 때, 상수 \(m,n\)에 대하여 \(4mn\)의 값은? (단, \(m>0\))
응용예제6
그림과 같이 두 원
\(\quad\)\(x^2+(y-2)^2=4,\;(x-10)^2+(y+3)^2=9\)
에 공통내접선을 그었을 때, 그 기울기가 \(\frac{q}{p}\)이었다. 이때, \(p^2+q^2\)의 값을 구하시오. (단, \(\frac{q}{p}\)는 0이 아닌 기약분수이다.)
응용예제7
두 원
\(\quad\)\((x-a)^2+y^2=4\),
\(\quad\)\(x^2+(y-b)^2=1\)
이 서로 외접하고, 두 원의 공통내접선 \(l\)의 \(x\)-절편이 –1일 때, 직선 \(l\)과 원점 사이의 거리를 구하시오. (단, \(a \neq 0, b\neq 0\))
