원의_방정식(수학1)에서, 원은 직교 좌표 시스템에서 두 점 사이의 거리로 정의를 했습니다.
원의 방정식은 직선의 방정식과 마찬가지로 벡터로 정의가 가능한데, 정의 그 자체는 변화가 없고, 단지 표현이 벡터로 바뀝니다.
중심이 \(\mathrm{C}\)이고 반지름의 길이가 \(r\)인 원에 대해, 원(원주) 위의 임의의 점을 \(\mathrm{P}\)라고 하면,
\(\quad\)\(|\vec{\mathrm{CP}}|=r\cdots(1)\)
식 (1) 자체는 원의 방정식을 나타내지만, 스칼라(성분) 사이의 관계식을 얻기 위해서 약간의 대수적 조작이 필요합니다.
먼저 식 (1)의 양쪽 변을 제곱하면,
\(\quad\)\(|\vec{\mathrm{CP}}|^2=r^2\)
점 곱의 성질에 의해,
\(\quad\)\(\vec{\mathrm{CP}} \cdot \vec{\mathrm{CP}} = r^2\)
여기서, 두 점 \(\mathrm{C,P}\)의 위치벡터를, 각각, \(\vec{c}\), \(\vec{p}\)라고 하면,
\(\quad\)\(\vec{\mathrm{CP}} = \vec{p}-\vec{c}\)
이므로, 대입해서,
\(\quad\)\((\vec{p}-\vec{c}) \cdot (\vec{p}-\vec{c}) = r^2\cdots(2)\)
역으로, 식 (2)를 만족하는 벡터 \(\vec{p}\)를 위치벡터로 하는 점 \(\mathrm{P}\)는 중심이 \(\mathrm{C}\)이고, 반지름의 길이가 \(r\)인 원 위에 존재합니다.
식 (2)의 벡터 식이 평면에서 원을 나타내지만, 벡터 식 자체를 조작하는 수학적 기법은 많지 않습니다. 벡터 식 자체를 조작하는 방법이 있으면 알려주세요!!
그래서, 기존에 사용하던 스칼라 형태로 식을 바꾸어서, 이미 존재하는 스칼라의 여러 가지 기법을 사용합니다.
다음으로, 각 벡터의 성분을 표시해서, 스칼라 관계식을 유도할 수 있습니다.
원의 중심 \(\mathrm{C}\)의 위치벡터를 \(\vec{c}=(x_1,y_1)\)로 놓고, 원 위의 임의의 한 점 \(\mathrm{P}\)의 위치벡터를 \(\vec{p}=(x,y)\)로 놓습니다.
이것을 식 (2)에 대입해서, 연산하면,
\(\quad\)\((x-x_1,y-y_1) \cdot (x-x_1,y-y_1) = r^2\)
\(\quad\)\((x-x_1)^2+(y-y_1)^2 = r^2\)
지금의 양 끝점이 주어진 원의 방정식
지름의 양 끝점이 주어진 경우에서, 주어진 두 점의 중점이 원의 중심이고, 두 점 사이의 거리가 반지름이므로, 이것으로부터 원의 방정식을 얻을 수 있습니다.
어쨌든, 이런 대수적 조작 과정 없이 지름의 양 끝점으로부터 직접 원의 방정식을 유도할 수 있습니다
원 위의 두 점 \(\mathrm{A, B}\)가 지름의 양쪽 끝점으로 놓고, 원 위의, 점 \(\mathrm{A, B}\)가 아닌, 임의의 한 점을 \(\mathrm{P}\)라고 놓습니다.
두 점이 지름의 양쪽 끝점이므로, 기하학적으로 두 선분, \(\overline{\mathrm{AP}}\)와 \(\overline{\mathrm{BP}}\)는 수직으로 만나고, 이를 표현하는 벡터 역시 직교합니다.
따라서, 두 벡터가 수직으로 만나므로, 그들 사이의 점 곱은 영입니다.
\(\quad\)\(\vec{\mathrm{AP}} \cdot \vec{\mathrm{BP}} = 0\cdots(3)\)
또한, 세 점 \(\mathrm{A,B,P}\)의 위치벡터를 각각 \(\vec{a},\vec{b},\vec{p}\)라고 놓으면, 다음을 만족합니다.
\(\quad\)\(\vec{\mathrm{AP}}=\vec{p}-\vec{a}\)
\(\quad\)\(\vec{\mathrm{BP}}=\vec{p}-\vec{b}\)
따라서, 식 (3)은 다음과 같이 표현됩니다:
\(\quad\)\((\vec{p}-\vec{a}) \cdot (\vec{p}-\vec{b}) =0\cdots(4)\)
역으로, 식 (4)를 만족하는 벡터 \(\vec{p}\)를 위치벡터로 하는 점 \(\mathrm{P}\)는 두 벡터 \(\vec{a},\vec{b}\)를, 각각, 위치벡터로 하는 점 \(\mathrm{A,B}\)를 지름의 양쪽 끝점으로 하는 원 위에 존재합니다.
다음으로, 성분 사이의 관계식을 유도하기 위해,
두 점 \(\mathrm{A}(x_1,y_1)\), \(\mathrm{B}(x_2,y_2)\)를 지름의 양쪽 끝점으로 하는 원 위의 한 점 \(\mathrm{P}\)의 위치벡터를 \(\vec{p}=(x,y)\)라고 놓고, 두 점 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\)의 위치벡터를 각각 \(\vec{a}=(x_1,y_1),\vec{b}=(x_2,y_2)\)라고 놓습니다.
이것을 식 (4)에 적용하면,
\(\quad\)\((x-x_1,y-y_1) \cdot (x-x_2,y-y_2) =0\)
점 곱을 계산하면
\(\quad\)\((x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) =0\cdots(5)\)
일반적으로, 식 (5)를 암기한 후 원의 방정식을 구하지는 않는데, 처음 소개한 것처럼, 지름의 양쪽 끝점의 중점이 중심이고, 두 점 사이의 거리의 절반이 반지름이라는 사실로부터 원의 방정식을 구하는 것이 더 쓸모가 있기 때문입니다. 원에서는 중심과 반지름 사이의 관계로부터 생각하는 문제가 많기 때문에, 두 정보를 직접 알 수 있도록 원의 방정식을 표현하는 것이 보다 중요할 것으로 보입니다.
원 위의 점에서 접선의 방정식
원의 접선의 방정식에서, 여러 가지 상황 아래에서 원에 접선은 직선의 방정식을 구하는 것을 알아보았습니다.
한편, 바로 위에서 배운, 지름의 양쪽 끝점이 주어진 경우에, 수직 관계로부터, 점 곱이 0임을 이용해서 벡터 관계식을 만들었습니다.
마찬가지로, 원에서 접선은 원의 중심과 접점을 이은 선분에 항상 수직으로 만납니다.
그림처럼 주어진 반지름의 길이가 \(r\)인 원에 대해, 점 \(\mathrm{A}\)는 원 위의 점이므로, 원의 방정식에 대입했을 때, 식을 만족합니다.
\(\quad\)\((\vec{a}-\vec{c})\cdot (\vec{a}-\vec{c})=r^2\)
접선 위의 \(\mathrm{A}\)가 아닌 임의의 점 \(\mathrm{X}\)라 놓으면, 두 벡터 \(\vec{\mathrm{CA}}\)와 \(\vec{\mathrm{AX}}\)는 수직으로 만나므로, 두 벡터의 점 곱은 0입니다:
\(\quad\)\(\vec{\mathrm{CA}} \cdot \vec{\mathrm{AX}} = 0 \)
그림처럼 주어진 각각의 위치벡터에 대해 식을 표현할 것인데, 원의 중심의 위치벡터와 반지름이 포함되도록 대수적 조작을 합니다:
\(\quad\)\(\begin{align}
\vec{\mathrm{CA}} \cdot \vec{\mathrm{AX}} & = (\vec{a}-\vec{c})\cdot (\vec{x}-\vec{a})\\
& = (\vec{a}-\vec{c})\cdot (\vec{x}-\vec{c}+\vec{c}-\vec{a})\\
& = (\vec{a}-\vec{c})\cdot (\vec{x}-\vec{c}) -(\vec{a}-\vec{c})\cdot (\vec{a}-\vec{c}) \\
& = (\vec{a}-\vec{c})\cdot (\vec{x}-\vec{c}) - r^2 =0
\end{align}\)
따라서,
\(\quad\)\((\vec{a}-\vec{c})\cdot (\vec{x}-\vec{c}) = r^2\)
어쨌든, 원의 접선의 방정식을 벡터 식을 이용해서 풀지는 않겠지만, 벡터로 나타낼 수는 있습니다.
