원(circle)은 단순한 닫힌 모양입니다. 주어진 점, 중심(center)으로부터 주어진 거리에 있는 평면 위의 모든 점들의 집합입니다. 등가적으로 주어진 점으로부터의 거리가 일정하도록 움직이는 점의 자취입니다. 원주 위의 임의의 점과 중심 사이의 거리를 반지름(radius)이라고 합니다.
원은 평면을 두 개의 영역, 즉 내부(interior)와 외부(exterior)로 나누는 단순한 닫힌 곡선입니다. 일상 언어에서, 용어 "원"은 그림의 경계와 그의 내부 모두를 가리키는 것으로 사용될 수 있습니다; 엄격한 언어에서는, 원은 오직 경계일 뿐이며 내부를 포함항 때의 그림은 디스크(disc)라고 부릅니다.
표준형
좌표평면 위에 점 \(\mathrm C(a,b)\)를 중심으로 하고, 반지름의 길이가 \(r\)인 원 위의 임의의 점을 \(\mathrm P(x,y)\)라 하면, \(\mathrm{PC}=r\)이므로 다음의 식을 만족합니다.
\(\quad\)\(\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r\)
위 식의 양변을 제곱한 식을 원의 방정식의 표준형이라고 합니다.
\(\quad\)\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
일반형
원의 방정식의 표준형을 전개해서 정리하면 다음과 같습니다.
\(\quad\)\(x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0\)
위 식을 좀 더 일반적으로 형태로 나타낸 것이 원의 방정식의 일반형입니다.
\(\quad\)\(x^2+y^2+Ax+By+C=0\)
이 식의 특징은 \(x^2\)과 \(y^2\)의 계수가 같고, \(xy\)항이 없으며, \(x,y\)에 대한 이차방정식이라는 점입니다.
일반형을 표준형으로 만들 때에는 다음과 같이 변형할 수 있습니다.
\(\quad\)\(\displaystyle\left(x^2+Ax+\frac{A^2}{4}\right)+\left(y^2+By+\frac{B^2}{4}\right)=\frac{A^2}{4}+\frac{B^2}{4}-C\)
\(\quad\)\(\displaystyle\left(x+\frac{A}{2}\right)^2+\left(y+\frac{B}{2}\right)^2=\frac{A^2+B^2-4C}{4}\)
여기서 유한한 길이의 반지름이 정의되려면 \(A^2+B^2-4C>0\)을 반드시 만족해야 합니다.
이 식을 외울 필요는 없습니다. 그러나 완전제곱식을 만드는 방법은 기억을 해두셔야 합니다. 여기서 \(A^2+B^2-4C\leq 0\)인 경우에는 (실)원이라고 정의하지 않습니다.
매개변수형
원의 방정식을 호도법에 따른 매개변수 \(t\)로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
\(\quad\)\(x = a+r\,\cos t\)
\(\quad\)\(y = b+r\,\sin t\), \((0 \leq t < 2\pi)\)
이것이 원의 방정식이 되는 과정은 다음과 같습니다. 우선은 알고 있는 것을 생각해 봅니다.
- 원의 방정식은 \(x^2, y^2\)이 있어야 합니다.
- 삼각함수가 없어야 합니다.
- \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)
이런 식으로 기존에 아는 몇 개의 지식을 이용해서 해결을 합니다.
\(\quad\)\(x-a = r\,\cos t\quad\cdots(1)\)
\(\quad\)\(y-b = r\,\sin t\quad\cdots(2)\)
양 변을 \(r\)로 나눌 필요는 없습니다. 식 (1),(2)를 제곱해서 양변을 더해줍니다.
\(\quad\)\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2(\sin^2t+\cos^2t)=r^2\)
이 부분은 교과과정에는 없지만, 시험 문제에서 한번씩 보이기도 하는데, 수업 시간에 다루지 않았다면, 출제해서는 안됩니다!!
응용예제
응용예제1
두 직선 \(l_1: x-my=0,\; l_2: mx+y-6m-8=0\)이 있습니다. 실수 \(m\)의 값에 관계없이 두 직선 \(l_1, l_2\)가 항상 지나는 점을 각각 \(A,B\)라 하고, \(l_1, l_2\)의 교점을 \(C\)라 할 때, 삼각형 \(ABC\)의 넓이의 최댓값을 구하시오.
응용예제2
원 \((x+4)^2+(y-3)^2=25\) 위의 두 점 \(A(1,3), B(-1,-1)\)이 있습니다. 삼각형 \(PAB\)의 넓이가 최대가 되도록 하는 원 위의 한 점 \(P\)와 원의 중심을 지나는 직선의 방정식을 \(y=mx+n\)이라 할 때, \(m+n\)의 값은?
응용예제3
좌표평면에서 기울기가 \(m\)이고, 점 \(A(0,2)\)를 지나는 직선이 원 \((x-3)^2+(y+1)^2=14\)과 만나는 서로 다른 두 점을 \(P, Q\)라 놓습니다. \(AP=PQ\)가 되도록 하는 모든 실수 \(m\)의 값의 합을 구하시오. (단, \(A\)에 가까운 점이 \(P\)입니다.)
응용예제4
두 점 \(A(6,0), B(0,-6)\)과 원 \(x^2+y^2=36\) 위의, \(A, B\)가 아닌 점 \(P(a,b)\)에 대하여 삼각형 \(ABP\)의 무게중심의 좌표를 \((p,q)\)라고 할 때, \(4p+3q\)의 최댓값을 구하시오.
응용예제5
두 직선 \(kx-y+4k-4=0,\; x+ky-4k-2=0\)이 \(k \le 1\)인 범위에서 변할 때, 두 직선의 교점의 자취의 길이를 \(l\)이라고 하면 \(4\times l\)의 값을 구하시오.
응용예제6
양수 \(m\)과 원 \(C: x^2+(y-6)^2=4\)에 대하여 원 \(C\)와 직선 \(y=mx\)의 서로 다른 교점의 개수를 \(f(m)\), 원 \(C\)와 직선 \(y=-2mx\)의 서로 다른 교점의 개수를 \(g(m)\)라 할 때, \(1 \le f(k)+g(k) \le 3\)을 만족시키는 모든 자연수 \(k\)의 개수를 구하시오.
응용예제7
두 점 \(A(1,-2), B(-1,0)\)와 원 \(x^2+y^2-6x-2y+k=0\) 위의 점 \(P,Q\)에 대하여 다음 조건을 만족시킬 때, 상수 \(k\)의 값은?
\(\quad\)(가) \(PA=PB,\; QA=QB\)
\(\quad\)(나) \(PQ=\sqrt{14}\)
응용예제8
원 \(\mathrm C: x^2+(y-b)^2=a^2\;\;(a>0)\) 위의 점 \(\mathrm P\)와 점 \(\mathrm A(2a,b)\)를 잇는 선분 \(\mathrm{PA}\)를 \(3:1\)로 내분하는 점 \(\mathrm Q\)가 그리는 도형을 \(\mathrm D\)라고 놓습니다. 다음 중 옳은 것을 고르시오.
\(\quad\)(가) 도형 \(\mathrm D\)는 원입니다.
\(\quad\)(나) \(a\)가 증가하면 원 \(\mathrm C\)와 도형 \(\mathrm D\)는 만납니다.
\(\quad\)(다) \(b\)가 증가하면 도형 \(\mathrm D\)의 넓이도 증가합니다.
응용예제9
좌표평면 위에 두 점 \(\mathrm{A}(3,6)\), \(\mathrm{B}(5,2)\)가 놓여 있습니다. 점 \(\mathrm{P}(x,y)\)가 원 \(x^2+y^2=1\) 위를 움직일 때, \(\mathrm{PA}^2+\mathrm{PB}^2\)의 최솟값을 구하여라.
응용예제10
점 \(\mathrm{A}(6,-2)\)를 지나는 직선이 원 \(x^2+y^2-2x+2y-2=0\)과 두 점, \(\mathrm{P}\), \(\mathrm{Q}\)에서 만납니다 (이때, \(\mathrm{PA} > \mathrm{QA}\)). \(\mathrm{AP}=2\mathrm{PQ}\)일 때, 선분 \(\mathrm{AP}\)의 길이를 구하여라.
응용예제11
좌표평면 위의 두 점 \(\mathrm{A}(-3,4)\), \(\mathrm{B}(0,10)\)과 원 \(x^2+y^2=5\) 위를 움직이는 \(\mathrm{P}\)가 있습니다. 이때, 삼각형 \(\mathrm{PAB}\)의 넓이의 최댓값과 최솟값의 차이는?
응용예제12
점 \(\mathrm{A}(4,-3)\)을 지나고 기울기가 음수인 직선 \(l\)이 원 \(\mathrm{C}: x^2+y^2=10\)과 두 점에서 만난다. 직선 \(l\)과 원 \(\mathrm{C}\)의 교점 중 점 \(\mathrm{A}\)에 가까운 점을 \(\mathrm{P}\)라 할 때, \(\overline{\mathrm{AP}}=3\)이면 직선 \(l\)의 기울기는?
응용예제13
좌표평면 위의 두 점 \(\mathrm{A}(-1,-2\sqrt{3})\), \(\mathrm{B}(3,2\sqrt{3})\)과 직선 \(y=2x-6\) 위의 서로 다른 두 점 \(\mathrm{P,Q}\)에 대하여 \(\angle\mathrm{APB}=\angle\mathrm{AQB}=90^{\mathrm{o}}\)일 때, \(\mathrm{P,Q}\)의 \(x\)-좌표의 합을 구하되 풀이 과정을 서술하시오.
응용문제14
좌표평면에서 원 \((x-5)^2+(y-5)^2=10\) 위의 두 점 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\)가
\(\quad\)\(\angle\mathrm{OAB}=90^{\mathrm{o}}, \mathrm{OA}=\mathrm{AB}\)
를 만족시킬 때, 직선 \(\mathrm{OA}\)의 방정식을 모두 구하는 풀이과정과 답을 서술하시오. (단, 점 \(\mathrm{O}\)는 원점이다.)
응용예제15
원의 일부분 모양으로 만들어진 아치형 다리를 조사하여 그림과 같이 수면을 \(x\)-축으로 하는 좌표를 설정하였다. 점 \(\mathrm{O}\)는 원점이고, 점 \(\mathrm{A}(3,2)\)는 곡선 \(\mathrm{OA}\)를 포함하는 원 위의 점 중에서 \(x\)-축으로부터 가장 멀리 있는 점이다. 곡선 \(\mathrm{OA}\)를 포함하는 원의 방정식이 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)일 때, 세 실수 \(a,b,r\)의 합 \(a+b+r\)의 값을 구하시오. (단, \(r>0\))
응용예제16
세 점 \(\mathrm{A}(4,-2)\), \(\mathrm{B}(13,1)\), \(\mathrm{C}(12,-2)\)에 대하여 \(\angle\mathrm{ABC}=\angle\mathrm{APC}\)를 만족하는 점 \(\mathrm{P}\)가 나타내는 도형의 길이는 \(y\)축에 접하면서 반지름의 길이가 자연수 \(r\)인 원에 의하여 이등분된다. 이때 \(r\)을 가장 작은 수부터 차례대로 \(r_1,r_2,r_3,\cdots\)이라 할 때, \(r_1+r_2+r_3\)의 값은? (단, 접하는 경우는 이등분한 것으로 보지 않는다.)
응용예제17
좌표평면 위에 네 점 \(\mathrm{A}(0,10)\), \(\mathrm{B}(0,0)\), \(\mathrm{C}(4,0)\), \(\mathrm{D}(15,9)\)가 있다. 점 \(\mathrm{D}\)를 지나는 직선이 두 선분 \(\mathrm{AB}\), \(\mathrm{AC}\)와 만나는 점을 각각 \(\mathrm{E}\), \(\mathrm{F}\)라 할 때, 네 점 \(\mathrm{B}\), \(\mathrm{C}\), \(\mathrm{F}\), \(\mathrm{E}\)는 한 원 위에 있다. 이 원의 넓이를 \(\frac{q}{p}\pi\)라 할 때, \(p+q\)의 값을 구하시오. (단, \(p, q\)는 서로소인 자연수이다.)
응용예제18
그림과 같이 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 3인 원과 두 직선 \(y=\frac{12}{5}x\), \(y=\frac{3}{4}x\)와의 제 1사분면에서의 교점을 각각 \(\mathrm{P,Q}\)라 하자. 이때, 점 \(\mathrm{P}\)를 중심으로 하고 반지름의 길이가 2인 원과 점 \(\mathrm{Q}\)를 중심으로 하고 반지름의 길이가 2인 원을 그렸을 때, 점 \(\mathrm{P}\)와 \(\mathrm{Q}\)를 중심으로 하는 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은?
응용예제19
직선 \(y=mx\)가 원 \((x-1)^2+(y-1)^2=1\)과 서로 다른 두 점 \(\mathrm{P,Q}\)에서 만난다. \(m\)의 값이 변할 때, 선분 \(\mathrm{PQ}\)의 중점 \(\mathrm{M}\)이 나타내는 도형의 길이를 구하시오. (단, \(m\)은 상수이다.)
응용예제20
좌표평면에서 기울기가 \(a\;(0<a<2)\)인 직선 \(l\)과 기울기가 \(b\)인 직선 \(m\)인 원 \((x-1)^2+(y-2)^2=1\)의 넓이를 4등분한다. 직선 \(l\)과 \(x\)-축, \(y\)-축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 \(S_1\), 직선 \(m\)과 \(x\)-축, \(y\)-축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 \(S_2\)라 할 때, \(S_1+S_2\)의 최솟값은?
응용예제21
중심이 원점이고 반지름의 길이가 3인 원 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}(a,b)\)에 대하여 \(\displaystyle \frac{a}{3}-\frac{b}{4}=k\)를 만족시키는 실수 \(k\)의 최댓값은?
응용예제22
원 \((x-2)^2+(y-3)^2=1\) 위의 점 \((x_1,y_1)\)과 원 \((x-4)^2+(y-a)^2=1\) 위의 점 \((x_2,y_2)\)에 대하여 \(\displaystyle \frac{y_1+y_2}{x_1+x_2}\)의 최솟값이 0일 때, 다음 물음에 답하시오.
\(\quad\)(ㄱ) 상수 \(a\)의 값을 구하시오.
\(\quad\)(ㄴ) \(\displaystyle \frac{y_1+y_2}{x_1+x_2}\)의 최댓값을 구하시오.
응용예제23
좌표평면 위의 세 점 \(\mathrm{A,B,C}\)에 대하여 두 점 \(\mathrm{A,B}\)의 좌표는 각각 \((0,a)\), \((-4,0)\)이고, 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)는 \(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{BC}}\)인 직각이등변삼각형이다. \(-6 \le a \le -2\)일 때, 선분 \(\mathrm{OC}\)의 길이의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라 하자. \(M+m\)의 값은? (단, \(O\)는 원점이다.)
응용예제24
실수 \(a\)에 대하여 직선 \(l\)을
\(\quad\)\(l: ax-y-a=0\)
이라 하자. 점 \(\rm A(0,\sqrt{3})\)을 지나고 직선 \(l\)과 이루는 예각의 크기가 \(30^{\rm o}\)인 직선이 직선 \(l\)과 만나는 점을 \(\rm P\)라 할 때, 선분 \(\rm{OP}\)의 길이의 최댓값을 구하시오. (단 \(\rm O\)는 원점이다.)
