(고등학교) 점과 직선 사이의 거리

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https://dawoum.tistory.com/435

 

점과 직선 사이의 거리는 직선 위에 있지 않는 점에서 직선에 이르는 최단거리를 말합니다. 즉, 좌표평면 위의 한 점 $\mathrm{P}$에서 점 $\mathrm{P}$를 지나지 않는 직선 $l$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 할 때, 수선 $\mathrm{PH}$를 점 $\mathrm{P}$와 직선 $l$ 사이의 거리라고 합니다.

점 $\mathrm{P}(x_1,y_1)$과 직선 $ax+by+c=0$ 사이의 거리 $d$는 다음과 같이 구해집니다.

$$${\displaystyle d=\frac{|a{x}_1+b{y}_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}$

이 과정을 통해 배운 것은 3차원 공간에서는 평면과 평면 위에 있지 않은 한 점 사이의 거리로 확장이 됩니다. 이후 과정에서는 벡터를 통해 증명을 하지만, 결과는 단지 변수만 한 개 더 추가됨을 볼 수 있습니다. 이런 것이 직교좌표계의 최대 장점이라고 볼 수 있습니다.

증명

점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $(x_1,y_1)$, 수선의 발 $\mathrm{H}$의 좌표를 $(x_2,y_2)$, 직선 $l$의 방정식을

$$$ax+by+c=0\cdots (1)$

이라 할 때, 점 $\mathrm{P}$와 직선 $l$ 사이의 거리를 다음과 같이 구해집니다.

먼저 $a\ne 0,b\ne 0$일 때, 직선 $\mathrm{PH}$는 직선 $l$에 수직이므로, 직선 $\mathrm{PH}$의 기울기는 ${\displaystyle \frac{b}{a}}$이고, 점 $P(x_1,y_1)$을 지나므로 직선 $\mathrm{PH}$의 방정식은 다음과 같이 구해집니다.

$$${\displaystyle y-y_1=\frac{b}{a}(x-x_1)}$

이것을 분모가 없도록 정리한 식은 다음과 같습니다.

$$$b(x-x_1)-a(y-y_1)=0\cdots (2)$

만약 $a=0$인 경우의 수직인 직선의 방정식은 어떻게 될까요? 이때에는 원래의 ${\displaystyle y=-\frac{c}{b}}$로 $x$축에 평행한 직선입니다. 그러므로 수직인 직선의 방정식은 $y$축에 평행한 방정식으로 $x=x_1$으로 표시됩니다.

또한, 같은 방법을 이용하면 $b=0$인 경우에 수직인 직선의 방정식은 $y=y_1$으로 나타낼 수 있습니다.

그러므로 (2)식은 점 $\mathrm{P}$를 지나면서 직선 (1)에 수직인 직선의 방정식의 모든 경우를 나타낼 수 있습니다. 또한, 이 직선은 점 $\mathrm{H}(x_2,y_2)$를 지나므로 다음 식을 만족합니다.

$$$a(y_2-y_1)=b(x_2-x_1)\cdots (3)$

한편, 직선 (1)도 $\mathrm{H}(x_2,y_2)$를 지나므로 다음 식을 만족합니다.

$$$a{x}_2+b{y}_2+c=0$

이 식은 연립방정식을 해를 쉽게 구하기 위해서 다음과 같이 변형합니다.

$$$a(x_2-x_1)+b(y_2-y_1)=-(a{x}_1+b{y}_1+c)\cdots (4)$

(2),(4)식에서 $x_2-x_1,y_2-y_1$에 대해서 연립방정식을 풀면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

$$${\displaystyle x_2-x_1=\frac{-a(a{x}_1+b{y}_1+c)}{a^2+b^2}}$

$$${\displaystyle y_2-y_1=\frac{-b(a{x}_1+b{y}_1+c)}{a^2+b^2}}$

$$$\begin{array}{rl}\therefore \mathrm{PH}& =\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}\\ & ={\displaystyle \sqrt{\frac{(a^2+b^2)(a{x}_1+b{y}_1+c{)}^2}{(a^2+b^2{)}^2}}}\\ & ={\displaystyle \frac{|a{x}_1+b{y}_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}\end{array}$

응용예제

응용예제1

이차함수 $y=x^2$ 위의 임의의 점 $\mathrm{P}$에서 직선 $y=2x-3$까지 거리의 최솟값을 구하시오.

응용예제2

점 $B(-3,2)$에서 점 $A(1,4)$를 지나는 직선으로 빛을 쐈을 때, 이 빛은 점 $A$에서 반사되어 점 $C(4,-2)$에 도달했습니다. 이때, 빛을 반사한 직선의 방정식은 무엇일까요? (단, 직선으로 보낸 빛의 입사각과 반사각은 서로 같습니다.)

응용예제3

다음 그림과 같이 한 변의 길이가 2인 두 정사각형 $\mathrm{ABCD}$, $\mathrm{PQRS}$가 있습니다.

꼭짓점 $\mathrm{A}$는 직선 $3x-2y+12=0$ 위를 움직이고, 꼭짓점 $\mathrm{R}$은 직선 $3x-2y-13=0$ 위를 움직일 때, 두 점 $\mathrm{C}$와 $\mathrm{P}$ 사이의 거리의 최솟값은 얼마일까요? (단, $\overline{\mathrm{AB}}$와 $\overline{\mathrm{SR}}$은 항상 $y$-축과 평행하게 움직입니다.)

응용문제4

직선 $4x-3y+8=0$이 $x$-축과 만나는 점을 $A$라 하고, 직선 $kx-y+2-3k=0$이 $x$-축 및 직선 $4x-3y+8=0$과 만나는 점을 각각 $B,C$라고 놓습니다. 선분 $\overline{AB}=\overline{AC}$일 때, $k$의 값과 삼각형 $ABC$의 넓이를 구하시오. (단, $k<0$)

응용예제5

점 $\mathrm{O}$와 두 점 $\mathrm{A}(2,4)$, $\mathrm{B}(6,0)$에 대하여 그림과 같이 삼각형 $\mathrm{OBA}$와 넓이가 같은 삼각형 $\mathrm{ABC}$를 만들려고 합니다. 삼각형 $\mathrm{ABC}$는 $\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$인 이등변삼각형이라고 할 때, 제1사분면에 있는 점 $\mathrm{C}$의 좌표는 $(a,b)$입니다. 이때, $ab$의 값은? (단, $\mathrm{O}$는 원점입니다.)

응용예제6

그림과 같이 한 변의 길이가 4인 정사각형 $\mathrm{ABCD}$에서 선분 $\mathrm{BC}$ 위의 점 $\mathrm{E}$가 있다. 선분 $\mathrm{AB}$의 중점 $\mathrm{M}$에서 선분 $\mathrm{DE}$까지의 거리가 2이다. 선분 $\mathrm{DE}$의 길이를 구하되 풀이 과정을 서술하시오.

응용예제7

그림과 같이 좌표평면 위에 서로 변을 공유하며 놓여있는 크기가 같은 6개의 정사각형에 대하여 점 $\mathrm{E}$의 $x$-좌표가 15일 때, 원점 $\mathrm{O}$와 직선 $\mathrm{EF}$ 사이의 거리는?

응용예제8

두 점 $\mathrm{A}(-1,10)$, $\mathrm{B}(2,4)$와 $x$-축 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $|\overline{\mathrm{AP}}-\overline{\mathrm{BP}}|$의 값이 최대가 되도록 하는 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $(\alpha ,0)$이라 하자. 이때 점 $\mathrm{P}$와 직선 $(k-1)x+(k-5)y=4k$ 사이의 거리가 최대가 되도록 하는 실수 $k$의 값을 $\beta$라 할 때, ${\alpha }^2+{\beta }^2$의 값을 구하시오.

응용예제9

직선 $l$이 $x$축과 양의 방향으로 이루는 각의 크기가 ${75}^{\mathrm{o}}$이고, 두 직선 $x-y-2=0$, $x-y-4=0$과 각각 두 점 $\mathrm{P},\mathrm{Q}$에서 만난다. 이때, 선분 $\mathrm{PQ}$의 길이를 구하시오.