두 도형의 위치 관계에 따라 좌표평면 위의 두 직선 \(l_1, l_2\)의 위치 관계는 실근의 존재(교점) 유무에 따라 세 가지 경우로 나누어집니다.
- 한 점에서 만나는 경우 : 실근 1개
- 서로 겹치는 경우 : 실근이 무수히 많음 : 일치
- 서로 만나지 않는 경우 : 실근이 없음 : 평행
표준형
직선의 방정식 표준형으로 주어졌을 때, 위의 3가지를 판별하는 방법은 무엇일까요? 교점의 문제는 연립방정식을 푸는 문제와 같기 때문에 연립일차방정식에서 해법을 찾을 수 있습니다.
\(\quad\)\(\left\{\begin{align}
l_1:\;y=m_1x+n_1 & \cdots(1) \\
l_2:\;y=m_2x+n_2 & \cdots(2)
\end{align}\right.\)
식을 변변 빼서 정리하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.
\(\quad\)\((m_1-m_2)x=(n_2-n_1)\)
이제 이 식은 일차방정식으로 변했습니다. 일차방정식의 3가지 경우를 적용하면 다음과 같습니다.
\(\quad\)i) \(m_1\neq m_2\) : 기울기가 다름 : 교점 1개
\(\quad\)ii) \(m_1=m_2, n_1 = n_2\) : 기울기 같고, y절편 같음 : 일치
\(\quad\)iii) \(m_1=m_2, n_1\neq n_2\) : 기울기 같고, y절편 다름 : 평행
일반형
직선의 방정식이 일반형으로 주어진 경우에는 표준형으로 바꾸는 과정이 필요합니다. 표준형으로 바꿀 수 없는 직선은 매우 예외적인 경우이므로 별도로 사고해도 크게 무리가 없습니다.
\(\quad\)\(\left\{\begin{align}
l_1:\;a_1x+b_1y+c_1=0 & \cdots(1) \\
l_2:\;a_2x+b_2y+c_2=0 & \cdots(2)
\end{align}\right.\)
이를 표준형으로 고치면 다음과 같습니다.
\(\quad\)\(\left\{\begin{align}
l_1:\;y=-\frac{a_1}{b_1}x-\frac{c_1}{b_1} & \cdots(3) \\
l_2:\;y=-\frac{a_2}{b_2}x-\frac{c_2}{b_2} & \cdots(4)
\end{align}\right.\)
이것을 표준형의 3가지 경우에 대입하면 다음과 같이 정리됩니다.
\(\quad\)i) \(\displaystyle\frac{a_1}{b_1}\neq \frac{a_2}{b_2}\) : \(\displaystyle\frac{a_1}{a_2}\neq \frac{b_1}{b_2}\) : 교점 1개
\(\quad\)ii) \(\displaystyle\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}, \frac{c_1}{b_1}=\frac{c_2}{b_2}\) : \(\displaystyle\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) : 일치
\(\quad\)iii) \(\displaystyle \frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}, \frac{c_1}{b_1} \neq \frac{c_2}{b_2}\) : \(\displaystyle\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\) : 평행
일반식의 결과는 계수의 비로 3가지 경우가 결정됩니다. 이 과정의 결과를 반드시 암기할 필요는 없습니다. 다만 이렇게 이해를 하고 있으면 수식으로 주어지는 문제에 보다 대처하기가 쉽기 때문에 몇 번 읽어두는 것은 좋습니다.
수직 조건
두 직선의 교점이 1개인 경우에 특수한 경우가 발생합니다.
직교좌표계에서 좌표축도 직선에 해당하고, 좌표축은 원점에서 1개의 교점을 가집니다. 그러나 일반적인 경우는 아닙니다. 왜냐하면, \(x\)축은 기울기가 0이고 \(y\)축은 기울기가 존재하지 않기 때문입니다. 이 좌표축을 조금만 회전시키면 원점을 통과하면서 수직으로 만나는 2개의 직선을 얻을 수 있습니다. 또한, 평행이동을 통해서, 원점을 좌표평면의 어는점으로든지 이동시킬 수 있기 때문에, 일반적인 두 직선의 수직 관계를 알아낼 수 있습니다. 이는 좌표축이 아니면서 원점을 통과하는 두 직선의 수직 관계가 임의의 두 직선의 수직 관계와 동일함을 의미합니다.
평행이동으로는 직선의 기울기를 바꿀 수 없기 때문에 수직 관계는 유지됩니다.
오른쪽 그림과 같이 원점을 지나면서 수직으로 만나는 두 직선 \(y=m_1x,y=m_2x\)이 있습니다. 이 두 직선과 \(x=1\)의 교점을 각각 \(\mathrm{P,Q}\)라 하면, \(\triangle \mathrm{OPQ}\)는 직각삼각형입니다. 직각삼각형은 피타고라스 정리를 만족하므로 다음의 식을 얻을 수 있습니다.
\(\quad\)\(\begin{align}
&\mathrm{OP}^2+\mathrm{OQ}^2=\mathrm{PQ}^2\\
&(1+m_1)^2+(1+m_2)^2=(m_1-m_2)^2\\
&\therefore m_1\cdot m_2=-1
\end{align}\)
이는 두 직선의 기울기의 곱이 \(-1\)인 경우에 두 직선은 수직임을 알 수 있습니다.
축과 평행한 경우는 여기서 제외가 되기 때문에 반드시 별도로 생각해야 합니다.
응용예제
응용예제1
두 직선 \(mx+y+m+1=0\), \(2x+y+2=0\)의 교점의 \(x,y\)-좌표가 모두 정수가 되도록 하는 모든 정수 \(m\)의 값의 합은? (단, \(m \neq 2\))
