(중학교) 특수각의 삼각비
직각 삼각형 중에서 변의 비가 알려져 있는 것들이 있습니다. 이들은 변의 길이를 명시적으로 제시하지 않더라도, 예각에 대한 삼각비를 바로 구할 수 있습니다.
먼저, 빗변이 아닌 변의 길이 \(k\)를 가진 직각 이등변 삼각형은 피타고라스의 정리에 의해 \(k\sqrt{2}\) 길이의 빗변을 가집니다. 따라서 직각 이등변 삼각형의 예각은 \(45^{\rm o}\)를 가지고, 삼각비는 다음과 같습니다:
- \(\displaystyle \sin 45^{\rm o} = \frac{k}{k\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
- \(\displaystyle \cos 45^{\rm o} = \frac{k}{k\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
- \(\displaystyle \tan 45^{\rm o} = \frac{k}{k} = 1\)
이 사실을 암기할 필요는 없고, 대신 삼각비의 정의를 암기할 필요가 있는데, 왜냐하면, 직각 이등변 삼각형에서 변 길이의 비는 \(1:1:\sqrt{2}\)임을 알고, 삼각비의 정의로부터 쉽게 값을 구할 수 있기 때문입니다.
한편, 각도가 45보다 작아지면, 대변의 길이가 작아지기 때문에, 탄젠트의 값이 1보다 작아짐을 알 수 있습니다.
또 다른 직각 삼각형 중에서 변의 길이비가 알려져 있는 것은 삼각형의 내각이 \(30^{\rm o}, 60^{\rm o}, 90^{\rm o}\)로 이루어진 것으로써, 이때의 변의 길이비는 \(1:\sqrt{3}:2\)로 알려져 있습니다.
게다가, 삼각형에서 내각의 크기가 클수록, 대응하는 대변의 길이가 길어집니다. 따라서, 앞에서 주어진 각도의 순서, \(30^{\rm o}, 60^{\rm o}, 90^{\rm o}\)의 대변의 길이비가 \(1:\sqrt{3}:2\)임을 알 수 있습니다.
다시 한번 삼각비의 정의를 사용하여,
- \(\displaystyle \sin 30^{\rm o} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}\)
- \(\displaystyle \cos 30^{\rm o} = \frac{k\sqrt{3}}{2k} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(\displaystyle \tan 30^{\rm o} = \frac{k}{k\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
다른 예각에 대해,
- \(\displaystyle \sin 60^{\rm o} = \frac{k\sqrt{3}}{2k} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(\displaystyle \cos 60^{\rm o} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}\)
- \(\displaystyle \tan 60^{\rm o} = \frac{k\sqrt{3}}{k}=\sqrt{3}\)
삼각비는 분모 유리화를 해서 사용할 필요가 없습니다. 분모 유리화는 숫자를 대체로 크게 만들기 때문에, 중간 계산에서는 유리화를 하지 않은 값을 사용하고, 최종 답을 찾을 때에 분모 유리화를 하는 것이 좋습니다.