(중학교) 제곱근의 덧셈과 뺄셈

유리수가 되지 않는 제곱근은 무리수이므로, 십진수로 표현했을 때, 순환하지 않는 무한소수로 표현됩니다.

따라서, 대부분의 제곱근은 서로 더해서 더 간단한 숫자로 표현할 수 없습니다. 예를 들어, \(\sqrt{3} + \sqrt{5}\)는 더 이상 간단히 할 수 없습니다.

반면에, 같은 무리수는 계산이 가능합니다. 예를 들어, \(3\sqrt{3}+2\sqrt{3}\)는 간단히 해서 \(5\sqrt{3}\)으로 쓸 수 있습니다.

뺄셈도 같은 이유로 같은 제곱근에 대해 수행이 가능합니다. 

한편, 같은 제곱근이 아닌 것처럼 보이지만, 이전에 배웠던 방법을 통해 간단히 하면 같은 제곱근이 되는 경우가 있습니다. 예를 들어,

\(\quad\)\(\begin{align}
5\sqrt{2} - \sqrt{18} & = 5\sqrt{2} - \sqrt{3^2 \times 2} \\
 & = 5\sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \\
 & = (5-3) \sqrt{2} \\
 & = 2\sqrt{2} \\
\end{align}\)

만약, 곱셈, 나눗셈, 덧셈, 및 뺄셈이 같이 있을 때는 아래의 과정을 통해 계산합니다. 예를 들어, 

\(\quad\)\(\begin{align}
\sqrt{2}\times \sqrt{6} - 2 \div \sqrt{3} & = \sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{3} - \frac{2}{\sqrt{3}} \\
 & = 2\sqrt{3} - \frac{2\sqrt{3}}{3} \\
 & = \frac{6\sqrt{3}}{3} - \frac{2\sqrt{3}}{3} \\
 & = \frac{4\sqrt{3}}{3} \\
\end{align}\)

한편, 분모가 유리수와 제곱근의 덧셈으로 표현되는 경우가 있습니다. 이 경우에는 다음 곱셈 공식을 사용하여 분모를 유리수로 만들어서 계산할 수 있습니다:

\(\quad\)\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

예를 들어, 

\(\quad\)\(\begin{align}
\frac{1}{2-\sqrt{3}} & = \frac{1\times (2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} \\
 & = \frac{2+\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt{3})^2} \\
 & = 2+\sqrt{3} \\
\end{align}\)

이것도 이전에 배웠던 분모의 유리화의 한 종류입니다.