(중학교) 정수와 유리수의 덧셈과 뺄셈

두 자연수의 덧셈은 더하려는 둘이 합해져서 결과를 만듭니다. 예를 들어, 사과 2개에 3개를 더하는 것은 현재 가진 사과 2에 하나씩 3번을 더 세어서 5 사과를 얻는 것으로써, 다음과 같이 표시합니다:

\(\quad\)\(2+3=5\)

숫자를 숫자 직선에 표시하는 것에서 덧셈을 생각해 보면, 현재 2의 위치에서, 더 큰 숫자는 오른쪽에 위치하므로, 오른쪽으로 3칸을 이동해서 5에 이른다는 의미입니다.

즉, 더해지는 숫자 (현재 위치)에서 오른쪽으로 더하려는 숫자만큼 이동하는 것이 덧셈을 기하학적으로 묘사하는 것입니다.

한편, 정수와 유리수에서도 더하는 것은 오른쪽으로 이동하는 것을 의미하지만, 자연수와 다르게 더하려는 숫자가 음수가 될 수 있음에 주의해야 합니다.

먼저, 양수끼리의 덧셈은 자연수와 동일합니다:

\(\quad\)\(2.5+3.5=6\)

음수가 앞에 오고 뒤에 양수가 오는 경우는 생각하기 쉽습니다. 즉, 앞의 숫자가 기준이 되고 오른쪽으로 양수만큼 갑니다:

\(\quad\)\(-2.5+3.5=1\)

양수에 음수를 더하는 경우를 생각해 보십시오. 음수는 자체로 부족하거나, 빚을 의미합니다. 빚이 더해지는 것은 가진 것이 없어진다는 의미이므로, 음수가 더해지는 것은 현재 위치 (양수)에서 왼쪽으로 음수의 절댓값만큼 이동한다는 의미입니다:

\(\quad\)\(2.5+(-3.5)=-1\)

비록 음수에 음수를 더하더라도, 양수에 음수를 더하는 것과 다르지 않습니다. 단지 기준점이 음수로 바뀔 뿐입니다:

\(\quad\)\(-2.5+(-3.5)=-6\)

덧셈의 교환법칙, 결합법칙

교환법칙은 연산에서 항의 위치를 서로 바꾸는 것을 의미하고, 결합법칙은 연산의 순서를 바꿈을 의미합니다.

덧셈에서 교환법칙과 결합법칙은 가능한 쉬운 연산을 먼저 하기 위해 사용됩니다. 예를 들어,

\(\quad\)\(\displaystyle \left(-\frac{3}{5}\right) + (-6) + \frac{8}{5}\) : 교환법칙을 적용해서 아래와 같이 씁니다:

\(\quad\)\(\displaystyle =\left(-\frac{3}{5}\right) + \frac{8}{5} + (-6)\) : 결합법칙을 적용해서 아래와 같이 씁니다:

\(\quad\)\(\displaystyle =\left\{\left(-\frac{3}{5}\right) + \frac{8}{5}\right\} + (-6)\) : 괄호를 먼저 계산합니다:

\(\quad\)\(=1+(-6)=-5\)

정수와 유리수의 뺄셈

자연수에서는 빼려는 숫자가 더 큰 경우는 자연수로 표현할 수 없기 때문에 계산이 불가능한 경우였지만, 이제 음수를 배움으로써 이것을 표현할 수 있습니다.

현재 5개에서 3개를 빼면, 2개가 남지만, 3개에서 5개를 빼면, 2개가 부족하다고 표현하거나, 2개를 빚졌다는 의미로써 −2라고 표현합니다:

\(\quad\)\(5-3=2,\;\;3-5=-2\)

또는 덧셈을 활용해서, 뺄셈을 생각해 볼 수 있는데, 왜냐하면, 뺄셈은 덧셈을 취소하기 위해 만들어진 연산입니다. 즉, 3개에 2개를 더한 것을 취소하려면, 그 결과에 2를 빼면 됩니다.

우리가 \(3+2=5\)라고 표현했다면, \(5-2=3\)라고 생각하는 것이 뺄셈을 덧셈의 취소 연산으로 생각하는 것입니다. 게다가, 덧셈의 교환법칙이 성립하므로, \(2+3=5\)와 같이 생각할 수 있어서, \(5-3=2\)와 같이 생각할 수 있습니다.

수직선에서 양수 사이의 뺄셈 생각해 보면, 앞의 숫자 (현재 위치)에서, 작은 숫자가 왼쪽에 있으므로, 왼쪽으로 이동함을 의미합니다. 즉, \(5-2\)는 5의 위치에서 왼쪽으로 2칸 이동해서 3의 위치에 이름을 의미합니다.

덧셈과 마찬가지로 비록 앞의 숫자가 음수가 되는 것은 현재 위치가 음수로 바뀔 뿐이기 때문에 크게 혼동될 것이 없습니다.

단지, 뒤의 숫자가 음수인 경우는, 음수 자체는 부족한 것, 또는 빚을 의미하므로, 예를 들어, \(5-(-3)\)은 \(-3\), 즉 빚진 3개를 빼기, 없애버리는 것이라서 오히려 더 증가함, \(5+3\)으로 생각할 수 있습니다. 

또는 수직선에서 양수는 0의 오른쪽에 위치하고, 음수는 그 방향이 반대로 바꾸어서, 왼쪽으로 3으로 이동함을 의미하는데, 빼는 의미도 기준에서 왼쪽으로 이동함, 즉, 방향을 반대로 바꿈으로써, 2번 방향을 바꾸면, 원래 방향인 오른쪽으로 이동함을 의미합니다.

결국 조금 혼란스러울 수 있는 것은 음수를 빼는 것입니다. 기계적으로 연산에 치중하는 것보다는 그것의 의미를 이해하려고 노력하는 것이 필요합니다.

어쨌든, 뺄셈에서는 부호를 먼저 생각한 후에, 진행하는 것이 바람직합니다.

예를 들어, 

\(\quad\)\(\begin{align}
\left(-\frac{1}{6}\right)-\left(-\frac{2}{3}\right) & = \left(-\frac{1}{6}\right) + \frac{2}{3} \\
 & = \left(-\frac{1}{6}\right) + \frac{4}{6} \\
 & = \frac{-1+4}{6} \\
 & = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\
\end{align}\)

한편, 뺄셈은 교환법칙이 성립하지 않기 때문에, 뺄셈과 덧셈이 섞여 있는 계산에서, 먼저, 뺄셈을 덧셈으로 바꾼 후에, 교환법칙과 결합법칙을 시도할 수 있습니다:

\(\quad\)\(\begin{align}
\left(-\frac{3}{7}\right)-(-3)+\left(-\frac{4}{7}\right) & = \left(-\frac{3}{7}\right) +3+\left(-\frac{4}{7}\right) \\ 
 & = 3 + \left(-\frac{3}{7}\right)+\left(-\frac{4}{7}\right) \\ 
 & = 3 + \left\{\left(-\frac{3}{7}\right)+\left(-\frac{4}{7}\right)\right\} \\ 
 & = 3 + (-1) = 2 \\
\end{align}\)

다른 예제로서, 

\(\quad\)\(\begin{align}
\left(-\frac{2}{5}\right) + (-8)- \frac{4}{5} - (-3) & = \left(-\frac{2}{5}\right) + (-8) + \left(-\frac{4}{5}\right) + 3 \\
 & = \left(-\frac{2}{5}\right) + \left(-\frac{4}{5}\right) + (-8) + 3 \\
 & = \left\{\left(-\frac{2}{5}\right) + \left(-\frac{4}{5}\right)\right\} + \left\{(-8)+3\right\} \\
 & = \frac{(-2)+(-4)}{5} -5 \\
 & = -\frac{6}{5}-\frac{25}{5} = -\frac{31}{5} \\
\end{align}\)