(고등학교) 연립이차부등식

연립이차부등식은 연립부등식을 이루는 부등식 중에 차수가 가장 높은 것이 이차부등식인 것을 이르는 말입니다. 연립이차부등식은 각 부등식의 해집합을 구한 후에, 이들의 공통 범위를 구한 것이 연립부등식의 해집합입니다.

응용예제

응용예제1

다음 연립이차부등식을 푸시오.

\(\quad\)\(\left\{\begin{align}
x^2 + x -2& \leq 0 & \cdots(1) \\
2x^2 - 3x -5& > 0 & \cdots(2)
\end{align}\right.\)

해설) 먼저 각각의 부등식의 해를 구합니다.

\(\quad\)\(\begin{align}
&x^2 + x -2 \leq 0\\
&(x-1)(x+2)\leq 0 \\
&\therefore -2\leq x \leq 1 
\end{align}\)

\(\quad\)\(\begin{align}
&2x^2 - 3x -5 > 0\\
&(x+1)(2x-5)> 0 \\
&\therefore -x < -1\;\text{or}\; x > \frac{5}{2} 
\end{align}\)

각각을 수직선에 표시하고 공통부분을 구해냅니다. 그러므로 연립이차부등식의 해집합은 다음과 같습니다.

\(\quad\)\(\therefore -2\leq x < -1\)

응용예제2

두 이차함수 \(f(x)=3x^2-3px-5q+3\), \(g(x)=2x^2+qx+p\)에 대하여 연립부등식 \(\left\{\begin{align}
f(x) \le 0 \\
g(x) < 0
\end{align}\right.\)의 해가 \(3 \le x < 5\)이다. 부등식 \(f(x)-g(x) \le -3\)을 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 개수는? (단, \(p,q\)는 상수)