(고등학교) 연립이차방정식

연립이차방정식은 2개의 미지수를 포함하는 엽립방정식에서 최고차항이 이차인 경우를 이르는 말입니다. 주로 2가지 형태를 많이 다루게 됩니다. 즉, 일차식/이차식 연립과 이차식/이차식 연립이 있습니다.

일차식/이차식

이 경우에는 일차식을 변형해서 이차식에 대입하면, 1개의 문자에 대한 이차방정식으로 만들 수 있기 때문에 쉽게 해를 구할 수 있습니다.

\(\quad\)\(\left\{\begin{align}
x - y - 1& = 0 & \cdots(1) \\
x^2 + y^2 -5& = 0 & \cdots(2)
\end{align}\right.\)

즉, (1)을 \(x=y+1\cdots(3)\)로 변형해서 (2)에 대입을 합니다.

\(\quad\)\((y+1)^2+y^2-5=0\rightarrow y^2+y-2=0\)

\(\quad\)\(y=1\) 또는 \(y=-2\)

이것을 (3)에 대입해서 \(x\)를 구합니다.

\(\quad\)\(\left\{\begin{align}
x& = 2 \\
y& = 1 
\end{align}\right.\) 또는 \(\left\{\begin{align}
x& = -1 \\
y& = -2 
\end{align}\right.\)

이차식/이차식

연립이차방정식에서 일차식/이차식은 쉽게 해가 구해지는 것을 보았습니다. 이차식 2개로 이루어진 연립이차방정식도 어떤 이차식이 일차식 2개로 인수분해가 된다면, 쉽게 연립방정식의 해를 구할 수 있습니다. 결국 일차식을 어떻게 만들 것인가?로 문제는 귀결됩니다.

인수분해가 되는 경우

주어진 두식 중에 1개가 인수분해가 되는 경우입니다. 이때에는 일차식/이차식이 2번 해서 해를 구할 수 있습니다.

이차항을 소거하는 경우

이차항이 전부 소거되어 일차식만 남게 되는 경우가 있습니다.

상수항을 소거하는 경우

상수항을 소거하면, 두 문자에 대한 인수분해가 되는 경우가 있습니다.

응용문제

응용문제1

세 변의 길이가 자연수이고 \(\angle C = 90^{\circ}\)인 직각삼각형 \(ABC\)가 있습니다. 그림과 같이 점 \(D\)는 꼭짓점 \(C\)에서 선분 \(AB\)에 내린 수선의 발이고 \(\overline{CD}\)의 길이가 자연수 \(l\)일 때, 삼각형 \(ABC\)의 둘레의 길이는 \(5l\)을 만족합니다. 삼각형 \(ABC\)의 넓이의 최솟값은 얼마일까요?

응용문제2

\(x,y\)에 대한 연립방정식

\(\quad\)\(\left\{\begin{align}
x^2+2xy+y^2 = 9\cdots(1) \\
2x^2 -5y^2 = 3\cdots(2)
\end{align}\right.\)

의 해 \(x=\alpha,\;y=\beta\)에 대하여, \(\alpha+\beta\)의 최댓값을 구하면?

응용예제3

연립방정식

\(\quad\)\(\left\{\begin{align}
x^2+y^2 & = 40 \cdots(1)\\
4x^2+y^2& = 4xy \cdots(2)
\end{align}\right.\)

의 해를 \(x=\alpha,\;y=\beta\)라 할 때, \(\alpha\beta\)의 값은?