(번역) Vertex figure

Original article: w:Vertex figure

 

기하학(geometry)에서, 꼭짓점 도형(vertex figure)은, 넓게 말해서, 다면체(polyhedron) 또는 폴리토프(polytope)의 한 모서리가 잘렸을 때 드러나는 도형입니다.

Definitions

다면체(polyhedron)의 모서리나 꼭짓점(vertex)을 취하십시오. 각 연결된 가장자리를 따라 어딘가에 점을 표시합니다. 연결된 면을 가로질러 선을 그려서, 주위의 인접 점을 연결합니다. 완료될 때, 이들 선은 꼭짓점 주위에 완전한 회로, 즉 다각형을 형성합니다. 이 다각형은 꼭짓점 도형입니다.

보다 정확한 형식적인 정의는 상황에 따라 매우 광범위하게 다를 수 있습니다. 예를 들어, 콕서터(Coxeter, 예를 들어, 1948, 1954)는 현재 논의 영역에 편리한 것으로 정의를 다양화합니다. 꼭짓점 도형에 대한 다음 정의의 대부분은 무한 타일링(tilings) 또는, 확장에 의해, 폴리토프(polytope) 셀(cells)과 기타 고-차원 폴리토프(polytopes)를 갖는 공간-채우기 테셀레이션(space-filling tessellation)에 동일하게 잘 적용됩니다.

As a flat slice

꼭짓점에 연결된 모든 가장자리를 통해 절단하여 다면체의 모서리를 통해 조각을 만듭니다. 절단 표면은 꼭짓점 도형입니다. 이것은 아마도 가장 공통적인 접근 방식이고, 가장 이해하기 쉽습니다. 다른 저자는 다른 위치에서 조각을 만듭니다. Wenninger (2003)는 콕서터 (1948)와 마찬가지로 꼭짓점에서 단위 거리만큼 각 가장자리를 자릅니다. 균등 다면체에 대해, Dorman Luke 구성은 중간점에서 연결된 각 가장자리를 자릅니다. 다른 저자는 각 가장자리의 다른 쪽 끝에 있는 꼭짓점을 통해 자릅니다.

비-정규 다면체에 대해, 주어진 꼭짓점으로부터 같은 거리에서 주어진 꼭짓점에 투사하는 모든 가장자리를 자르면 평면에 놓이지 않은 도형을 생성할 수 있습니다. 임의적인 볼록 다면체에 대해 유효한, 보다 일반적인 접근 방식은 주어진 꼭짓점을 모든 다른 꼭짓점과 분리하는 임의의 평면을 따라 자르는 것이지만, 그렇지 않으면 임의적입니다. 이 구성은 연결된 꼭짓점의 집합과 유사하지만 (아래 참조), 정확한 기하학이 아닌 꼭짓점 도형의 조합론적 구조를 결정합니다; 그것은 임의의 차원에서 볼록 폴리토프(convex polytopes)로 일반화될 수 있습니다. 어쨌든, 비-볼록 다면체에 대해, 꼭짓점에 투사하는 모든 면을 자르는 꼭짓점 근처에 평면이 존재하지 않을 수 있습니다.

As a spherical polygon

Cromwell (1999)은 꼭짓점을 중심으로 하는 구와 다면체를 교차시킴으로써 꼭짓점 도형을 형성하며, 구는 꼭짓점에 투사하는 가장자리와 면만 교차할 수 있을 만큼 작습니다. 이것은 꼭짓점에 중심을 둔 구형 절단 또는 국자를 만드는 것으로 시각화될 수 있습니다. 따라서 절단 표면 또는 꼭짓점 도형은 이 구에 표시된 구형 다각형입니다. 이 방법의 장점 중 하나는 꼭짓점 도형의 모양이 (구의 스케일까지) 고정되고, 반면에 평면과 교차하는 방법은 평면의 각도에 따라 다른 모양을 생성할 수 있다는 것입니다. 추가적으로, 이 방법은 비-볼록 다면체에 대해 작동합니다.

As the set of connected vertices

많은 조합론적 및 계산적 접근 방식 (예를 들어, Skilling, 1975)은 주어진 꼭짓점에 대한 (가장자리를 통해 연결된) 모든 이웃하는 꼭짓점의 순서화된 (또는 부분적으로 순서화된) 점의 집합으로 꼭짓점 도형을 취급합니다.

Abstract definition

추상적 폴리토프(abstract polytopes)의 이론에서, 주어진 꼭짓점 V에서 꼭짓점 도형은 꼭짓점에 투사하는 모든 원소: 가장자리, 면, 등을 포함합니다. 보다 형식적으로, 그것은 (n−1)-섹션 \(F_n/V\)이며, 여기서 \(F_n\)은 가장 큰 면입니다.

원소의 이러한 집합은 다른 곳에서 꼭짓점 별(vertex star)이라고 알려져 있습니다. 기하학적 꼭짓점 도형과 꼭짓점 별은 같은 추상적 단면의 구별되는 구현(realizations)으로 이해될 수 있습니다.

General properties

n-폴리토프의 꼭짓점 도형은 (n−1)-폴리토프입니다. 예를 들어, 다면체(polyhedron)의 꼭짓점 도형은 다각형(polygon)이고, 4-폴리토프(4-polytope)에 대해 꼭짓점 도형은 다면체입니다.

일반적으로, 꼭짓점 도형은 평면일 필요가 없습니다.

비-볼록 다면체에 대해, 꼭짓점 도형도 비-볼록일 수 있습니다. 균등 폴리토프는, 예를 들어, 면 및/또는 꼭짓점 도형에 대해 별 다각형(star polygons)을 가질 수 있습니다.

Isogonal figures

꼭짓점 도형은 균등(uniforms) 및 기타 등각형 (꼭짓점-전이) 폴리토프에 특히 중요한데 왜냐하면 하나의 꼭짓점 도형이 전체 폴리토프를 정의할 수 있기 때문입니다.

정규 면을 갖는 다면체에 대해, 꼭짓점 도형은 꼭짓점 주위에 면을 순서대로 나열함으로써 꼭짓점 구성(vertex configuration) 표기법에서 나타낼 수 있습니다. 예를 들어, 3.4.4.4는 하나의 삼각형과 세 개의 정사각형을 갖는 꼭짓점이고, 그것은 균등 마름모꼴육팔면체(rhombicuboctahedron)를 정의합니다.

만약 폴리토프가 등각형이면, 꼭짓점 도형은 n-공간의 초평면(hyperplane) 표면에 존재할 것입니다.

Constructions

From the adjacent vertices

이들 이웃 꼭짓점의 연결성을 고려함으로써, 꼭짓점 도형은 폴리토프의 각 꼭짓점에 대해 구성될 수 있습니다:

• 꼭짓점 도형의 각 꼭짓점(vertex)은 원래 폴리토프의 꼭짓점과 일치합니다.
• 꼭짓점 도형의 각 가장자리(edge)는 원래 면에서 두 개의 교대하는 꼭짓점을 연결하는 원래 폴리토프의 면 위 또는 내부에 존재합니다.
• 꼭짓점 도형의 각 면(face)은 원래 n-폴리토프 (n > 3에 대해)의 셀 위 또는 내부에 존재합니다.
• ... 그리고 고차 폴리토프에서 고차 원소에 대해 계속됩니다.

Dorman Luke construction

균등 다면체에 대해, 이중 다면체(dual polyhedron)의 면은 "Dorman Luke" 구성을 사용하여 원래 다면체의 꼭짓점 도형에서 찾을 수 있습니다.

Regular polytopes

만약 폴리토프가 정규이면, 그것은 슐래플리 기호(Schläfli symbol)로 나타낼 수 있고 셀과 꼭짓점 도형은 모두 이 표기법에서 자명하게 추출될 수 있습니다.

일반적으로 슐래플리 기호 {a,b,c,...,y,z}를 갖는 정규 폴리토프는 {a,b,c,...,y}로 셀과 {b,c,...,y,z}로 꼭짓점 도형을 가집니다.

1. 정규 다면체(regular polyhedron) {p,q}에 대해, 꼭짓점 도형은 {q}, q-각형입니다.
   • 예제, 정육면체 {4,3}에 대해 꼭짓점 도형은 삼각형 {3}입니다.
2. 정규 4-폴리토프(regular 4-polytope) 또는 공간-채우는 테셀레이션(space-filling tessellation) {p,q,r}에 대해, 꼭짓점 도형은 {q,r}입니다.
   • 예제, 초-입방체 {4,3,3}에 대해, 꼭짓점 도형은 정규 사면체 {3,3}입니다.
   • 역시 입방체 벌집(cubic honeycomb) {4,3,4}에 대해, 꼭짓점 도형은 정규 팔면체 {3,4}입니다.

정규 폴리토프의 이중 폴리토프가 역시 정규이고 슐래플리 기호 인덱스를 역전함으로써 나타내기 때문에, 꼭짓점 도형의 이중이 이중 폴리토프의 셀임을 쉽게 알 수 있습니다. 정규 다면체에 대해, 이것은 Dorman Luke 구성(Dorman Luke construction)의 특수한 경우입니다.

An example vertex figure of a honeycomb

잘린 정육면체 벌집(truncated cubic honeycomb)의 꼭짓점 도형은 비-균등 정사각 각기둥(square pyramid)입니다. 하나의 팔면체와 4개의 잘린 정육면체는 각 꼭짓점에서 만나 공간-채우는 테셀레이션(tessellation)을 형성합니다.

Edge figure

꼭짓점 도형과 관련하여, 가장자리 도형(edge figure)은 꼭짓점 도형의 꼭짓점 도형입니다. 가장자리 도형은 정규 폴리토프와 균등 폴리토프 내의 원소 사이의 관계를 표현하는 데 유용합니다.

가장자리 도형은 (n−2)-폴리토프가 될 것이며, 주어진 가장자리 주변의 패싯(facets)의 배열을 나타냅니다. 정규 및 단일-고리 콕서터 다이어그램(coxeter diagram) 균등 폴리토프는 단일 가장자리 유형을 가집니다. 일반적으로, 균등 폴리토프는 구성에서 활성 거울만큼 많은 가장자리 유형을 가질 수 있는데, 왜냐하면 각 활성 거울이 토대적인 도메인에서 하나의 가장자리를 생성하기 때문입니다.

정규 폴리토프 (및 벌집)는 역시 정규인 단일 가장자리 도형을 가집니다. 정규 폴리토프 {p,q,r,s,...,z}에 대해, 가장자리 도형은 {r,s,...,z}입니다.

4차원에서, 4-폴리토프(4-polytope) 또는 3-벌집(3-honeycomb)의 가장자리 도형은 가장자리 주위의 패싯의 집합의 배열을 나타내는 다각형입니다. 예를 들어, 정규 입방체 벌집(cubic honeycomb) {4,3,4}의 가장자리 도형은 정사각형(square)이고, 정규 4-폴리토프 {p,q,r}에 대해 다각형 {r}입니다.

덜 자명하게, 잘린 입방체 벌집(truncated cubic honeycomb) \(t_{0.1} \{4,3,4\}\)은 잘린 입방체(truncated cube)와 팔면체(octahedron) 셀을 갖는 정사각 각기둥(square pyramid) 꼭짓점 도형을 가집니다. 여기에는 두 가지 유형의 가장자리 도형이 있습니다. 하나는 각기둥의 꼭짓점에서 정사각형 가장자리 도형입니다. 이것은 가장자리 주위의 네 개의 잘린 입방체를 나타냅니다. 다른 네 개의 가장자리 도형은 각기둥의 기본 꼭짓점 위에 이등변 삼각형입니다. 이것들은 두 개의 잘린 정육면체와 다른 가장자리 주위에 있는 하나의 팔면체 배열을 나타냅니다.

Bibliography

• H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes, Hbk (1948), ppbk (1973).
• H.S.M. Coxeter (et al.), Uniform Polyhedra, Phil. Trans. 246 A (1954) pp. 401–450.
• P. Cromwell, Polyhedra, CUP pbk. (1999).
• H.M. Cundy and A.P. Rollett, Mathematical Models, Oxford Univ. Press (1961).
• J. Skilling, The Complete Set of Uniform Polyhedra, Phil. Trans. 278 A (1975) pp. 111–135.
• M. Wenninger, Dual Models, CUP hbk (1983) ppbk (2003).
• The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 (p289 Vertex figures)

External links

 

• Weisstein, Eric W. "Vertex figure". MathWorld.
• Olshevsky, George. "Vertex figure". Glossary for Hyperspace. Archived from the original on 4 February 2007.
• Vertex Figures
• Consistent Vertex Descriptions