(번역) Sawtooth wave

Original article: w:Sawtooth wave

 

톱니 파동(또는 톱니파, sawtooth wave 또는 saw wave)은 일종의 비-정현 파형(non-sinusoidal waveform)입니다. 그것은 영 갈퀴 각도(rake angle)를 갖는 평평한-이빨 톱의 톱니와 닮았다고 해서 그렇게 이름-지었습니다. 단일 톱니, 또는 간헐적으로 트리거되는 톱니를 램프 파형(ramp waveform)이라고 불립니다.

관례는 톱니파가 위로 기울었다가 급격하게 떨어지는 것입니다. 반전 (또는 역) 톱니파에서, 파동이 아래로 기울었다가 급격하게 상승합니다. 그것은 역시 비대칭 삼각 파동(triangle wave)의 극단적인 경우로 볼 수도 있습니다.

시간 t의 바닥 함수(floor function)를 기반으로 하는 다음 동등한 조각별 선형 함수(piecewise linear functions)는

${\displaystyle x(t)=t-\lfloor t\rfloor }$

${\displaystyle x(t)=tmod1}$

주기(period) 1을 갖는 톱니 파동의 예시입니다.

보다 일반적인 형식은, −1에서 1까지의 범위이고 주기 p를 가지며, 다음과 같습니다.

${\displaystyle 2(\frac{t}{p}-\lfloor \frac{1}{2}+\frac{t}{p}\rfloor )}$

이 톱니파 함수는 사인(sine) 함수와 같은 위상(phase)을 가집니다.

정사각 파동(square wave)은 홀수 고조파만으로 구성되지만, 톱니 파동의 사운드는 거칠고 선명하고 그 스펙트럼은 기본 주파수(fundamental frequency)의 짝수와 홀수 고조파(harmonics) 둘 다를 포함하고 있습니다. 그것은 모든 정수 고조파를 포함하고 있기 때문에, 활의 슬립-스틱 동작(slip-stick behavior)이 톱니-모양의 운동을 갖는 현을 구동하기 때문에 음악 소리, 특히 바이올린과 첼로와 같은 현악기의 빼는 합성(subtractive synthesis)에 사용하기에 가장 좋은 파형 중 하나입니다.

톱니파는 더하는 합성(additive synthesis)을 사용하여 구성될 수 있습니다. 주기 p 및 진폭 a에 대해, 다음 무한 푸리에 급수(Fourier series)는 톱니파와 반전 (역) 톱니파로 수렴됩니다:

${\displaystyle f=\frac{1}{p}}$
${\displaystyle x_{\text{sawtooth}}(t)=a(\frac{1}{2}-\frac{1}{\pi }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^k\frac{\sin (2\pi kft)}{k})}$
${\displaystyle x_{\text{reverse sawtooth}}(t)=\frac{2a}{\pi }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^k\frac{\sin (2\pi kft)}{k}}$

디지털(digital) 합성에서, 이들 급수는 최고 고조파, $N_{\text{max}}$가 나이퀴스트 주파수(Nyquist frequency, 표본화 주파수(sampling frequency)의 절반)보다 작음을 만족하는 k에 대해서만 합해집니다. 이 합계는 일반적으로 빠른 푸리에 변환(fast Fourier transform)과 함께 보다 효율적으로 계산될 수 있습니다. 만약 파형이 y = x − floor(x)와 같이 비-대역제한된 형식을 사용하여 시간 도메인에서 직접 디지털 방식으로 생성되면, 무한 고조파가 표본화되고 결과 톤에 앨리어싱(aliasing) 왜곡을 포함합니다.

440 Hz ($A_4$), 880 Hz ($A_5$) 및 1,760 Hz ($A_6$)에서 재생되는 톱니파의 오디오 시연은 아래에서 확인할 수 있습니다. 대역-제한 (비-앨리어싱)과 앨리어싱 톤이 모두 제시됩니다.

Applications

• 톱니파는 음악에 사용되는 것으로 알려져 있습니다. 톱니 파동과 정사각 파동은 빼는 아날로그(analog)와 가상 아날로그(virtual analog) 음악 신디사이저로 사운드를 생성하기 위해 사용되는 가장 공통적인 파형 중 하나입니다.
• 톱니파는 스위치-모드 전원 공급 장치(switched-mode power supplies)에 사용됩니다. 레귤레이터 칩에서 출력의 피드백 신호는 고주파 톱니와 지속적으로 비교되어 비교기(comparator)의 출력에서 새로운 듀티 사이클 PWM 신호를 생성합니다.
• 톱니파는 CRT-기반 텔레비전 또는 모니터 화면에서 래스터(raster)를 생성하기 위해 사용되는 수직 및 수평 편향(deflection) 신호의 형태입니다. 오실로스코프(Oscilloscopes)는 전형적으로 정전기 편향을 사용하지만 수평 편향을 위해 톱니파를 사용하기도 합니다.
  • 파동의 "램프"에서 편향 요크에 의해 생성된 자기 필드는 CRT 표면을 가로질러 전자 빔을 끌어서 스캔 선(scan line)을 생성합니다.
  • 파동의 "절벽(cliff)"에서, 자기 필드는 갑자기 무너져 전자빔이 가능한 한 빨리 정지 위치로 돌아갑니다.
  • 편향 요크에 적용되는 전류는 톱니 절벽의 중간 전압이 영 표시에 있도록 다양한 수단 (변압기, 커패시터, 중앙-탭 권선)으로 조정되며, 음의 전류가 한 방향으로 편향을 유발하고, 다른 하나의 양의 전류 편향을 유발할 것임을 의미합니다; 따라서, 중앙-장착된 편향 요크는 전체 화면 영역을 사용하여 트레이스를 나타낼 수 있습니다. 주파수는 NTSC에서 15.734 kHz, PAL과 SECAM에서 15.625 kHz입니다.
  • 수직 편향 시스템은 훨씬 더 낮은 주파수 (NTSC에서 59.94 Hz, PAL과 SECAM에서 50 Hz)에서 수평과 같은 방법으로 작동합니다.
  • 파동의 램프 부분은 직선으로 나타나야 합니다. 만약 그렇지 않으면, 그것은 전류가 선형으로 증가하지 않고, 따라서 편향 요크에 의해 생성된 자기장이 선형이 아님을 나타냅니다. 결과로써, 전자 빔은 비선형 부분에서 가속할 것입니다. 이로 인해 비선형 방향으로 텔레비전 이미지가 "압축"됩니다. 극단적인 경우에는 전자 빔이 사진의 해당 면에서 더 많은 시간을 보내기 때문에 밝기가 눈에 띄게 증가합니다.
  • 최초의 텔레비전 수신기에는 사용자가 화면의 수직 또는 수평 선형성을 조정할 수 있는 컨트롤이 있었습니다. 전자 부품의 안정성이 향상됨에 따라 이후 세트에는 이러한 컨트롤이 없었습니다.

See also

 

• Sine wave

References

 

• Kraft, Sebastian; Zölzer, Udo (5 September 2017). "LP-BLIT: Bandlimited Impulse Train Synthesis of Lowpass-filtered Waveforms". Proceedings of the 20th International Conference on Digital Audio Effects (DAFx-17). 20th International Conference on Digital Audio Effects (DAFx-17). Edinburgh. pp. 255–259.
• "Fourier Series-Triangle Wave - from Wolfram MathWorld". Mathworld.wolfram.com. 2012-07-02. Retrieved 2012-07-11.
• Dave Benson. "Music: A Mathematical Offering" (PDF). Homepages.abdn.ac.uk. p. 42. Retrieved 26 November 2021.

External links

 

• Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. Vol. 97. pp. 536–537. ISBN 978-0-521-84903-6.