수학(mathematics)에서, 이항 연산(binary operation)의 분배 속성(distributive property)은 부울 대수(boolean algebra)와 기본 대수(elementary algebra)로부터 분배 법칙(distributive law)을 일반화합니다. 명제 논리(propositional logic)에서, 분배(distribution)는 두 가지 유효한(valid) 대체의 규칙(rules of replacement)을 참조합니다. 그 규칙은 논리적 증명(logical proofs) 안에서 논리곱(conjunctions)과 논리합(disjunctions)을 다시-공식화하는 것을 허용합니다.
예를 들어, 산술(arithematic)에서:
\(\quad\)2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3)이지만, 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3)입니다.
첫 번째 방정식의 왼쪽 변에서, 2는 1과 3의 합에 곱해집니다; 오른쪽 변에서 1과 3을 개별적으로 2와 곱한 후에 더해집니다. 이것들은 같은 최종 답 (8)을 제공하기 때문에, 2에 의한 곱셈은 1과 3의 덧셈에 걸쳐 배분된다(distribute)고 말합니다. 우리는 위의 2, 1, 및 3 위치에서 임의의 실수를 넣을 수 있고, 여전히 참 방정식을 얻을 수 있으므로, 실수(real numbers)의 곱셈(multiplication)은 실수의 덧셈(addition)에 걸쳐 분배됩니다(distribute).
Definition
집합(set) S와 S 위에 두 이항 연산자(binary operator) * 및 +가 주어지면, 연산 ∗는:
만약 S의 주어진 임의의(given any) 원소 x, y, 및 z에 대해 다음이면, +에 걸쳐 왼쪽-분배적(left-distributive)입니다:
\(\quad\)\(x * (y + z)* = (x * y) + (x * z),\)
만약 S의 주어진 임의의 원소 x, y, 및 z에 대해 다음이면, +에 걸쳐 오른쪽-분배적(right-distributive)입니다:
\(\quad\)\((y + z) * x = (y * x) + (z * x),\) 그리고
만약 그것이 왼쪽-분배적 및 오른쪽-분배적이면, +에 걸쳐 분배적입니다.
연산 *가 교환적(commutative)일 때, 위의 세 조건은 모두 논리적으로 동등한(logically equivalent) 것임을 주의하십시오.
Meaning
이 섹션에서 예제에 대해 사용된 연산자는 보통의 덧셈(addition)(\(+\))과 곱셈(multiplication)(\(\cdot\))의 연산자입니다.
만약 \(\cdot\)으로 표시된 연산이 교환적이지 않으면, 왼쪽-분배성과 오른쪽-분배성 사이의 구별이 있습니다:
\(\quad\)\(a \cdot \left( b \pm c \right) = a \cdot b \pm a \cdot c\)\(\quad\) (왼쪽-분배적)
\(\quad\)\((a \pm b) \cdot c = a \cdot c \pm b \cdot c\)\(\quad\) (오른쪽-분배적)
두 경우 모두에서, 분배 속성은 단어에서 다음으로 설명될 수 있습니다:
합(sum)(또는 차이(difference))에 인수를 곱하기 위해, 각 더해지는-숫자 (또는 빼지는-숫자(minuend) 및 빼는-숫자(subtrahend)는 이 인수에 곱해지고 결과 곱이 더해집니다 (또는 빼집니다).
만약 괄호 밖에 연산 (이 경우에서, 곱셈)은 교환적이면, 왼쪽-분배성은 오른쪽-분배성을 의미하고 그 반대도 마찬가지이고, 우리는 간단히 분배성에 대해 말합니다.
연산의 한 예제, 즉 "오직" 오른쪽-분배적은 나눗셈이며, 이것은 분배적이지 않습니다:
\(\quad\)\((a \pm b) \div c = a \div c \pm b \div c\)
이 경우에서, 왼쪽-분배성은 적용할 수 없습니다:
\(\quad\)\(a \div(b \pm c) \neq a \div b \pm a \div c\)
분배 법칙은 링(rings) (정수(integer)의 링처럼) 및 필드(fields) (유리수(rational number)의 필드처럼)에 대해 공리(axioms) 중 하나입니다. 여기서 곱셈은 덧셈에 걸쳐 분배적이지만, 덧셈은 곱셈에 걸쳐 분배적이 아닙니다. 다른 것에 걸쳐 각 분배적인 두 연산을 갖는 구조의 예제는 집합의 대수(algebra of sets) 또는 스위칭 대수(switching algebra)와 같은 부울 대수(Boolean algebras)입니다.
합을 곱하는 것은 다음처럼 단어에 넣을 수 있습니다: 합이 합에 곱해질 때, 합의 각 합해지는-숫자를 다른 합의 각 합해지는 숫자에 곱하면 (부호의 연속을 유지하십시오), 그런-다음 결과 곱을 모두 더하십시오.
Examples
Real numbers
다음 예제들에서, 실수의 집합 R
에 대한 분배 법칙의 사용이 설명됩니다. 곱셈이 기본 수학에서 언급될 때, 그것은 보통 이런 종류의 곱셈을 참조합니다. 대수의 관점으로부터, 실수는 분배 법칙의 타당성을 보장하는 필드(field)를 형성합니다.
첫 번째 예제 (암기 및 쓰는 곱셈)
암기로 하는 산술 동안에, 분배성은 종종 무의식적으로 사용됩니다:
\(\quad\)\(6 \cdot 16 = 6 \cdot (10+6) = 6\cdot 10 + 6 \cdot 6 = 60+36 = 96\)
따라서, 우리의 머리에서 \(6 \cdot 16\)을 계산하기 위해, 우리는 먼저 \(6 \cdot 10\)과 6 ⋅ 6
을 곱하고 중간 결과를 더합니다. 쓰는 곱셈은 역시 분배 법칙을 기반합니다.
두 번째 예제 (변수와 함께)
\(\quad\)\(3a^2b \cdot (4a - 5b) = 3a^2b \cdot 4a - 3a^2b \cdot 5b = 12a^3b - 15a^2b^2\)
세 번째 예제 (두 합과 함께)
\(\quad\)\(
\begin{align}
(a + b) \cdot (a - b) & = a \cdot (a - b) + b \cdot (a - b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2 \\
& = (a + b) \cdot a - (a + b) \cdot b = a^2 + ba - ab - b^2 = a^2 - b^2
\end{align}
\)
여기서 분배 법칙은 두 번 적용되었고, 어느 괄호가 먼저 곱해졌는지는 중요하지 않습니다.
4번째 예제
여기서 분배 법칙은 앞의 예제와 비교하여 다른 방향으로 적용됩니다. 다음을 생각해 보십시오:
\(\quad\)\(12 a^3 b^2 - 30 a^4 b c + 18 a^2 b^3 c^2 \,.\)
인수 \(6 a^2 b\)는 모든 항에 있기 때문에, 공통 인수로 묶을 수 있습니다. 즉, 분배 법칙에 인해 우리는 다음을 얻습니다:
\(\quad\)\(12 a^3 b^2 - 30 a^4 b c + 18 a^2 b^3 c^2 = 6 a^2 b (2 a b - 5 a^2 c + 3 b^2 c^2)\,.\)
Matrices
분배 법칙은 행렬 곱셈(matrix multiplication)에 대해 유효합니다. 보다 정확하게,
\(\quad\)\((A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C\)
여기서, \(A,B\)는 \(l \times m\)-행렬이고, \(C\)는 \(m \times n\)-행렬이며, 마찬가지로
\(\quad\)\(A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C\)
여기서, \(A\)는 \(l \times m\)-행렬이고, \(B, C\)는 \(m \times n\)-행렬입니다. 교환 속성은 행렬 곱셈에 대해 유지되지 않기 때문에, 두 번째 법칙은 첫 번째 법칙으로부터 따르지 않습니다. 이 경우에서, 그들은 두 가지 다른 법칙입니다.
Other examples
- 순서-숫자(ordinal number)의 곱셈(multiplication)은, 대조적으로, 오직 왼쪽-분배적이지만, 오른쪽-분배적은 아닙니다.
- 교차 곱(cross product)은 벡터 덧셈(vector addition)에 걸쳐 왼쪽- 및 오른쪽-분배적이지만, 교환적이지 않습니다.
- 집합의 합집합(union)은 교집합(intersection)에 걸쳐 분배적이고, 교집합은 합집합에 걸쳐 분배적입니다.
- 논리합(logical disjunction) ("또는")은 논리곱(logical conjunction) ("그리고")에 걸쳐 분배적이고, 반대도 마찬가지입니다.
- 실수(real numers) (및 임의의 전체 순서 집합(totally ordered set))에 대해, 최댓값 연산은 최솟값 연산에 대해 분배적이고, 반대도 마찬가지입니다: max(a, min(b, c)) = min(max(a, b), max(a, c)) 및 min(a, max(b, c)) = max(min(a, b), min(a, c))
- 정수(integer)에 대해, 최대 공통 약수(greatest common divisor) 연산은 최소 공통 배수(least common multiple) 연산에 걸쳐 분배적이고, 반대도 마찬가지입니다: gcd(a, lcm(b, c)) = lcm(gcd(a, b), gcd(a, c)) 및 lcm(a, gcd(b, c)) = gcd(lcm(a, b), lcm(a, c))
- 실수에 대해, 덧셈은 최댓값 연산에 걸쳐 분배적이고, 역시 최솟값 연산에 걸쳐 분배적입니다: a + max(b, c) = max(a + b, a + c) 및 a + min(b, c) = min(a + b, a + c)
- 이항식(binomial) 곱셈에 대해, 분배는 FOIL 방법 (First 항 ac, Outer ad, Inner bc, 및 Last bd)으로 참조됩니다: (a + b) * (c + d) = ac + ad + bc + bd
- 다항식(polynomial) 곱셈은 다항식 덧셈에 걸쳐 분배적입니다.
- 복소수(complex number) 곱셈은 분배적입니다: u ( v + w ) = u v + u w , ( u + v ) w = u w + v w
Propositional logic
Rule of replacement
표준 진리-함수형 명제 논리에서, 논리적 증명의 분배는 일부 공식(formula) 안에서 특정 논리적 연결(logical connective)의 개별적인 발생을 주어진 공식의 부분-공식에 걸쳐 해당 연결의 개별 응용으로 확장하기 위해 두 유효한 대체의 규칙(rules of replacement)을 사용합니다. 그 규칙은 다음입니다:
\(\quad\)\((P \wedge (Q \vee R)) \Leftrightarrow ((P \wedge Q) \vee (P \wedge R))\)
및
\(\quad\)\((P \vee (Q \wedge R)) \Leftrightarrow ((P \vee Q) \wedge (P \vee R))\)
여기서 "\(\Leftrightarrow\)"는, 역시 ≡로 쓰이며, "증명에서 대체될 수 있음" 또는 "...과 논리적으로 동등한(logically equivalent)"을 나타내는 메타-논리(metalogic)적 기호(symbol)입니다.
Truth functional connectives
분배성(Distributivity)은 진리-함수형 명제 논리(propositional logic)의 일부 논리적 연결의 속성입니다. 다음 논리적 동치는 분배성이 특정 연결의 속성임을 시연합니다. 다음은 진리-함수형 동의어-반복(tautologies)입니다.
논리곱에 걸쳐 논리곱의 분배
\(\quad\)\((P \wedge (Q \wedge R)) \leftrightarrow ((P \wedge Q) \wedge (P \wedge R))\)
논리합에 걸쳐 논리곱의 분배
\(\quad\)\((P \wedge (Q \vee R)) \leftrightarrow ((P \wedge Q) \vee (P \wedge R))\)
논리곱에 걸쳐 논리합의 분배
\(\quad\)\((P \vee (Q \wedge R)) \leftrightarrow ((P \vee Q) \wedge (P \vee R))\)
논리합에 걸쳐 논리합의 분배
\(\quad\)\((P \vee (Q \vee R)) \leftrightarrow ((P \vee Q) \vee (P \vee R))\)
함축의 분배
\(\quad\)\((P \to (Q \to R)) \leftrightarrow ((P \to Q) \to (P \to R))\)
동치에 걸쳐 함축의 분배
\(\quad\)\((P \to (Q \leftrightarrow R)) \leftrightarrow ((P \to Q) \leftrightarrow (P \to R))\)
동치에 걸쳐 논리합의 분배
\(\quad\)\((P \vee (Q \leftrightarrow R)) \leftrightarrow ((P \vee Q) \leftrightarrow (P \vee R))\)
두 배 논리합
\(\quad\)\(\begin{align}
((P \wedge Q) \vee (R \wedge S)) &\leftrightarrow (((P \vee R) \wedge (P \vee S)) \wedge ((Q \vee R) \wedge (Q \vee S))) \\
((P \vee Q) \wedge (R \vee S)) &\leftrightarrow (((P \wedge R) \vee (P \wedge S)) \vee ((Q \wedge R) \vee (Q \wedge S)))
\end{align}\)
Distributivity and rounding
실제에서, 덧셈에 걸쳐 곱셈 (및 나눗셈)의 분배 속성은 산술 정밀도(arithmetic precision)의 극한이기 때문에 손상되거나 손실되는 것으로 보일 수 있습니다. 예를 들어, 항등식 ⅓ + ⅓ + ⅓ = (1 + 1 + 1) / 3은 만약 덧셈이 십진 산술(decimal arithmetic)에서 수행되면 실패한 것처럼 보입니다; 어쨌든, 만약 많은 유효 자릿수(significant digit)가 사용되면, 계산은 정확한 결과에 더 가까운 근사를 초래할 것입니다. 예를 들어, 만약 산술 계산이 형식: 0.33333 + 0.33333 + 0.33333 = 0.99999 ≠ 1을 취하면, 이 결과는 더 적은 유효 자릿수가 사용된 것보다 더 가까운 근사입니다. 심지어 분수적 숫자는 산술적 형식에서 정확하게 표현될 때, 오차는 만약 그들 산술적 값이 반올림되거나 잘리면 발생할 것입니다. 예를 들어, 17.5%의 세금(tax)이 부과되기 전에 각각 £14.99로 책정된 두 권의 책을 구매하면, 두 개별적인 구매가 그들을 함께 구매하는 것에 걸쳐 실제로 £0.01을 절약할 수 있는데: £14.99 × 1.175 = £17.61을 가장-가까운 £0.01로 구매하면 £35.22의 전체 지출을 제공하지만, £29.98 × 1.175 = £35.23입니다. 은행가의 반올림(banker's rounding)과 같은 방법은 일부 경우에서 사용되는 정밀도를 높일 수 있을 때 도움이 될 수 있지만, 궁극적으로 일부 계산 오류는 피할 수 없습니다.
In rings and other structures
분배성은 가장 공통적으로 반링(semiring), 특히 링(ring)과 분배 격자(distributive lattice)의 특별한 클래스에서 발견됩니다.
반링은 둘의 이항 연산을 가지며, 공통적으로 \(\,+\,\)와 \(\,*,\)로 표시되고 \(\,*\,\)가 \(\,+\)에 걸쳐 분배되어야 함을 요구합니다.
링은 덧셈의 역을 갖는 반링입니다.
격자(lattice)는 둘의 이항 연산 \(\,\land \text{ and } \lor\)을 갖는 대수적 구조(algebraic structure)의 또 다른 종류입니다. 만약 이들 연산 중 하나가 다른 연산에 분산되면 (말하자면 \(\,\land\,\)가 \(\,\lor\)에 걸쳐 분포되면), 그 반대는 역시 성립되고 (\(\,\lor\,\)가 \(\,\land\,\)에 걸쳐 분포됩니다), 그 격자는 분배적이라고 불립니다. 역시 Distributivity (order theory)을 참조하십시오.
부울 대수(Boolean algebra)는 특별한 종류의 링 (부울 링(Boolean ring)) 또는 특별한 종류의 분배 격자 (부울 격자(Boolean lattice))로 해석될 수 있습니다. 각 해석은 부울 대수에서 서로 다른 분배 법칙을 담당합니다.
분배 법칙 없이 유사한 구조는 링과 나눗셈 링(division ring) 대신에 근처-링(near-ring)과 근처-필드(near-field)입니다. 그 연산은 보통 오른쪽 분배적이지만 왼쪽 분배적은 아닌 것으로 정의됩니다.
Generalizations of distributivity
여러 수학적 영역에서, 일반화된 분배 법칙이 고려됩니다. 이것은 여기에는 위의 조건의 약화 또는 무한적으로 연산으로 확장을 포함할 것입니다. 특히 순서 이론(order theory)에서, 우리는 분배성의 많은 중요한 변형을 찾으며, 그것의 일부는 무한 분배 법칙(infinite distributive law)과 같은 무한적으로 연산을 포함합니다; 오직 하나의 이항 연산의 존재에서 정의된 다른 것은, 따르는 정의와 이들의 관계와 같은 것은 기사 분배성(distributiviey)에서 주어집니다. 이것은 역시 완전히 분배 격자(completely distributive lattice)의 개념을 포함합니다.
순서 관계가 존재에서, 우리는 =를 ≤ 또는 ≥로 대체함으로써 위의 상등을 역시 약화시킬 수 있습니다. 자연스럽게, 이것은 오직 일부 상황에서 의미 있는 개념으로 이어질 것입니다. 이 원리의 적용은 구간 산술에 관한 기사에서 설명된 것처럼 부분-분배성(sub-distributivity)의 개념입니다.
카테고리 이론(category theory)에서, 만약 (S, μ, η) 및 (S′, μ′, η′)가 카테고리(category) C에 대한 모나드(monad)이면, 분배 법칙 S.S′ → S′.S은 (S′, λ)가 모나드의 랙스 맵(lax map of monads) S → S이고 (S, λ)가 모나드의 코랙스 맵(colax map of monads) S′ → S′을 만족하는 자연 변환(natural transformation) λ : S.S′ → S′.S입니다. 이것은 S′.S에 대한 모나드 구조를 정의하는 데 필요한 정확하게 데이터입니다: 곱셈 맵은 S′μ.μ′S2.S′λS이고 단위 맵은 η′S.η입니다. 모나드 사이의 분배 법칙(distributive law between monads)을 참조하십시오.
일반화된 분배 법칙(generalized distributive law)은 정보 이론(information theory)의 영역에서 역시 제안되어 왔습니다.
Notions of antidistributivity
임의의 그룹(group)에서 이항 연산에 역과 관련시키는 유비쿼터스 항등식(identity), 즉 \((xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1}\)은 인볼루션을 갖는 반-그룹(semigroup with involution)의 보다 일반적인 문맥에서 공리로 취해지며, 때때로 (단항 연산(unary operation)으로서의 역의) 역-분배 속성(antidistributive property)이라고 불립니다.
덧셈적으로 쓰인 그룹의 교환성을 제거하고 오직 한-측 분포성을 가정하는 근처-링의 맥락에서, 우리는 (양-측) 분배 원소(distributive elements)를 말할 수 있지만 역시 역-분배 원소(antidistributive elements)를 말할 수 있습니다. 후자는 (비-교환적) 덧셈의 순서를 거꾸로 뒤집습니다; 왼쪽-근처링 (즉, 왼쪽에 곱해질 때 모든 원소가 분배되는 것)을 가정하면, 역-분배 원소는 오른쪽에 곱해질 때 덧셈의 순서를 거꾸로 뒤집습니다: (x + y)a = ya + xa.
명제 논리(propositional logic)와 부울 대수(Boolean algebra)의 연구에서, 용어 역-분배 법칙(antidistributive law)은 때때로 그들에 걸쳐 함축 인수일 때 논리곱과 논리합 사이에 교환을 나타내기 위해 사용됩니다:
- (a ∨ b) ⇒ c ≡ (a ⇒ c) ∧ (b ⇒ c)
- (a ∧ b) ⇒ c ≡ (a ⇒ c) ∨ (b ⇒ c)
이들 두 동의어-반복(tautologies)은 드 모르간의 법칙(De Morgan's laws)에서 이중성의 직접 결과입니다.
External links
- A demonstration of the Distributive Law for integer arithmetic (from cut-the-knot)
