제곱근의 새로운 정의는 완전제곱수에서 조금 이상하게 느껴질 수 있습니다.
예를 들어 4의 제곱근은 제곱해서 4가 되는 숫자를 찾음으로써, 2 또는 −2임을 압니다. 또한, 4의 제곱근은 제곱근 기호를 사용하여 \(\sqrt{4}, -\sqrt{4}\)로 나타낼 것이라는 정의를 알아보았습니다.
둘은 같은 것을 표현하기 때문에, \(\sqrt{4}=2, -\sqrt{4}=-2\) 또는 \(\sqrt{4}=-2, -\sqrt{4}=2\)로 매핑될 수 있습니다.
물론, 후자, \(\sqrt{4}=-2, -\sqrt{4}=2\)로 정의할 수도 있지만, \(\sqrt{\;\;}\)가 음의 부호를 내포하고 있는 것으로 항상 생각해야 하기 때문에, 장점은 없고 단점이 있어 그렇게 할 이유가 없습니다.
이런 이유로, \(\sqrt{4}=2, -\sqrt{4}=-2\)로 값을 계산합니다.
이것을 다시쓰면, \(\sqrt{4}=\sqrt{2^2}=2\)와 같이 쓸 수 있음을 알 수 있습니다.
따라서, 양수 \(a\)에 대해,
\(\quad\)\(\sqrt{a^2}=a\)
게다가, 음수 \(a\)에 대해,
\(\quad\)\(\sqrt{a^2}=\sqrt{(-a)^2}=-a\)
이 부분은 약간 혼동스러울 수 있습니다.
음수의 제곱근은 없다라고 했는데, 음수 \(a\)에 대해, 제곱근을 구하는 것처럼 보일 수 있습니다. 그러나, 이전과 다르게, 제곱근 기호 안의 값이 제곱이 되었기 때문에, 그 숫자는 양수입니다.
예를 들어, \(\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{2^2}=2=-(-2)\)와 같이 작동합니다.
따라서, 문자의 값이 음수라고 하더라도, 제곱을 한 결과를 제곱근으로 취하기 때문에 그 결과는 양수가 되도록 문자를 조작해야 합니다.
비록 양수 \(a\)라고 하더라도, \(-a\)는 음수가 될 수 있으므로, 다음과 같이 조작되어야 합니다:
\(\quad\)\(\sqrt{(-a)^2}=\sqrt{a^2}=a\)
위의 사실로부터, 제곱근 안의 숫자는 무조건 양수의 제곱이 되도록 조작을 해야 합니다:
\(\quad\)\(\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}=\sqrt{(2-\sqrt{3})^2}=2-\sqrt{3}\)
문자의 예를 하나 더 생각해 보면, \(a>b>0\)이면,
\(\quad\)\(\sqrt{(b-a)^2}=\sqrt{(a-b)^2}=a-b\)
즉, 제곱근 양수의 제곱의 결과는 양수입니다.
절댓값과 제곱근
위의 결과는 이전에 배웠던 절댓값과 동일한 결과를 낳습니다. 즉, 실수 \(a\)에 대하여
\(\quad\)\(\sqrt{a^2}=|a|=\left\{
\begin{align}
a \;\;\;\; (a\ge 0) \\
-a \;\;\;\; (a < 0) \\
\end{align}
\right.\)
물론, 제곱근 기호 안의 숫자는 비-음수, 즉, 영 또는 양수의 값을 가질 수 있지만, 제곱근 기호 안이 완전제곱식이 되면, 부호가 양이 되므로, 어떤 값을 가지더라도 상관이 없습니다. 어쨌든, 그 결과는 항상 비-음수, 즉 영 또는 양수입니다.
제곱근의 제곱
처음으로 돌아가서, 제곱해서 3이 되는 숫자는 3의 제곱근이라고 하는데, 그 값은 \(\sqrt{3},-\sqrt{3}\)입니다.
이것을 식으로 만들면, 다음을 만족하는 \(x\)입니다:
\(\quad\)\(x^2=3\)
따라서, 이 식을 만족하는 값, 즉, 근, \(\sqrt{3},-\sqrt{3}\)를 대입했을 때, 양쪽 변을 만족합니다:
\(\quad\)\((\sqrt{3})^2=3\)
\(\quad\)\((-\sqrt{3})^2=3\)
이전과 다르게, 제곱근 자체를 제곱할 때에는 부호는 양이 되고 제곱근이 사라지는 결과를 가집니다.
어쨌든, 두 경우에서, 먼저 부호를 판정하는 것이 실수를 줄일 수 있습니다.
응용예제
응용예제1
\(0<a<5\)일 때, 다음을 간단히 하면?
\(\quad\)\(\sqrt{(-2a)^2}+\sqrt{(a-6)^2}-\sqrt{(5-a)^2}\)
해설: 중등 과정에서 제곱근 안의 숫자는 항상 비-음수, 즉 영 또는 양수여야 하고, 그것의 결과도 비-음수, 즉 영 또는 양수여야 합니다.
숫자와 다르게 문자를 보면, 처음에서 상당히 혼란스러울 수 있습니다. 핵심 사항은 제곱근 안의 식이 완전제곱식이면, 어쨌든, 결과를 양수로 만드는 것입니다.
숫자에서, 제곱 안의 부호가 양수이든 음수이든 결과가 같으며, 예를 들어, 다음을 생각해 보십시오:
\(\quad\)\(\sqrt{(2)^2}=\sqrt{(-2)^2}=2\)
이 결과는 문자로 그대로 확장되는데, 괄호 안의 숫자의 부호는 서로 바뀔 수 있으며, 괄호 안의 전체 숫자에 항상 −1을 곱할 수 있습니다.
한편, 문자 앞에 음수가 있으면, 처음에는 부담스러울 수 있기 때문에, 아래와 같이 바꾸어서 생각할 수 있습니다:
\(\quad\)\(\sqrt{(2a)^2}+\sqrt{(a-6)^2}-\sqrt{(a-5)^2}\)
이제, 숫자에서의 예제를 생각해 보면, 제곱근을 벗을 때, \(\sqrt{\rm{양수}^2}=\rm{양수}\)이고, \(\sqrt{\rm{음수}^2}=−(\rm{음수})=\rm{양수}\)이기 때문에, 이제 괄호 안의 식이 양수인지 음수인지를 판정해서 결과를 적을 수 있습니다. 문제의 조건으로부터,
- 2a는 양수이고, a−6은 음수이고, a−5는 음수입니다.
- 양수, 2a는 그 모양 2a로 나오고, 음수, a−6와 a−5는 −1을 곱해서 밖으로 꺼냅니다.
이때, 부호의 판정은 조건에 있는 쉬운 숫자를 대입해서 하며, 예를 들어, a=1을 대입하면, 2, −5, −4이므로, 순서대로, 양수, 음수, 음수입니다. 간혹, 부호가 바뀌지는 않을까?라는 생각을 할 수 있는데, 부호가 달라지게 되면, 하나의 식으로 간단히 할 수 없기 때문에, 대체로 문제 자체가 잘못된 경우일 것입니다. 따라서, 어떤 숫자를 대입하더라도 그것의 부호는 하나로 유지되며, 경계의 값이 대입되면, 0은 나올 수 있습니다. 어쨌든, 0의 제곱근은 0이기 때문에, 결과에 영향을 미치지 않습니다.
따라서, 아래와 같이 간단히 됩니다:
\(\quad\)\(\sqrt{(2a)^2}+\sqrt{(a-6)^2}-\sqrt{(a-5)^2}=2a-(a-6)+(a-5)\)
몇 번 풀고 나면, 결국은 양수의 결과를 내기 때문에, 위와 같이 식을 바꾸는 과정을 하지 않고, 주어진 식이 양수이면, 제곱 안의 식을 그대로, 음수이면, 제곱 안의 전체 식에 −1을 곱해서 결과를 씁니다. 즉,
−2a는 음수이고, a−6은 음수이고, 5−a는 양수입니다.
음수일 때는 양수를 만들기 위해 해당 식에 −1을 곱해서 씁니다. 이때, 주의할 사항은 원래 있던 음의 부호를 생각해서, 전체의 부호를 확인하는 습관이 좋습니다.
\(\quad\)\(\sqrt{(-2a)^2}+\sqrt{(a-6)^2}-\sqrt{(5-a)^2}=2a-(a-6)-(5-a)\)