자연수의 곱셈은 항상 부호가 양이기 때문에 부호에 크게 신경 쓸 필요가 없습니다.
정수와 유리수는 음의 부호를 가질 수 있기 때문에, 무엇보다도 먼저 그 부호가 어떻게 판정되는지 확인하는 것이 중요합니다.
따라서, 정수의 곱셈은 2단계로 이루어집니다:
- 부호를 판정합니다.
- 남은 자연수 (절댓값) 사이의 곱셈을 수행합니다.
자연수의 곱셈은 덧셈의 반복 연산으로 생각될 수 있습니다:
\(\quad\)\(5 \times 3 = 5 + 5 +5\)
정수의 곱셈을 생각해 보십시오:
\(\quad\)\((-5) \times 3 = (-5)+(-5)+(-5)\)
이런 경우는 자연수의 것과 비슷하게 생각될 수 있습니다. 하지만, 다음 꼴은 조금 이상해 보일 수 있습니다:
\(\quad\)\(5 \times (-3) = ?\)
이 경우에서, 음의 반복의 횟수가 이상하게 느껴지는 것은 당연합니다.
이런 경우를 보다 이해하기 쉽게 수직선에서 생각해 보십시오.
예를 들어, \(5 \times (-3)\)는 \(-3\)의 부호, 반대되는 값 \(-5\)를 그 방향으로 3번 이동합니다.
마찬가지로, \((-5) \times (-3)\)는 \(-3\)의 부호, 반대되는 값 \(+5\)를 그 방향으로 3번 이동합니다.
이제, 부호만 보자면,
- (양수) × (양수) : 양수를 그 방향의 값, 양수를 배수로 수행하므로, 양수
- (양수) × (음수) : 양수를 그 반대 방향의 값, 음수를 배수로 수행하므로, 음수
- (음수) × (양수) : 음수를 그 방향의 값, 음수를 배수를 수행하므로, 음수
- (음수) × (음수) : 음수를 그 반대 방향의 값, 양수를 배수로 수행하므로, 양수
정리하자면,
- 같은 부호끼리의 곱셈은 양수입니다.
- 다른 부호 끼리의 곱셈은 음수입니다.
이것을 확장하여, 여러 개를 곱할 때에는 2개의 결과를 세 번째와 곱하는 형식으로 확장을 할 수 있으므로, 정리하자면,
- 음의 부호가 짝수 개가 있으면, 결과는 양수입니다.
- 음의 부호가 홀수 개가 있으면, 결과는 음수입니다.
이후의 곱의 과정은 자연수, 분수에서와 동일하므로 크게 문제가 되지 않습니다.
곱셈의 교환법칙과 결합법칙
자연수, 양의 분수의 곱셈에서 교환법칙과 결합법칙이 성립합니다.
정수와 유리수의 곱셈은 단지 부호 판정하는 과정이 추가될 뿐이며, 부호의 판정은 음의 부호의 개수에 의존적이고, 그것의 위치와 순서에 상관없습니다.
따라서, 정수와 유리수의 곱셈은 자연수에서와 마찬가지로 교환법칙과 결합법칙을 사용하여 편한 방법으로 연산할 수 있습니다.
세 숫자 \(a,b,c\)에 대하여 다음이 성립합니다:
- \(a\times b = b \times a\) : 곱셈의 교환법칙
- \((a\times b) \times c = a \times (b \times c)\) : 곱셈의 결합법칙
예를 들어,
\(\quad\)\(\displaystyle \left(-\frac{4}{5}\right) \times 7 \times \left(\frac{5}{2}\right)\) : 교환법칙을 적용하면
\(\quad\)\(\displaystyle = 7 \times \left(-\frac{4}{5}\right) \times \left(\frac{5}{2}\right)\) : 결합법칙을 적용하면
\(\quad\)\(\displaystyle = 7 \times \left\{\left(-\frac{4}{5}\right) \times \left(\frac{5}{2}\right)\right\}\)
\(\quad\)\(= 7 \times (-2) = -14\)
사실, 교환법칙과 결합법칙을 잘 사용하지 않고, 부호를 판정하고, 약분의 과정을 통해 연산하는 것이 더 일반적입니다:
\(\quad\)\(\displaystyle \left(-\frac{4}{5}\right) \times 7 \times \left(\frac{5}{2}\right)\) : 부호 판정, 5 약분, 2 약분
\(\quad\)\(= -(2 \times 7) = -14\)
분배법칙
분배법칙은 덧셈 1개와 곱셈 1개로 이루어진 식을 곱셈 2개와 덧셈 1개로 바꾸거나, 그 반대로 바꾸는 연산입니다.
보통, 연산의 개수를 늘리는 것은 좋지 않게 보일 수도 있지만, 분수 연산을 정수 연산으로 줄이는 경우에는 오히려 더 쉽게 값을 얻을 수 있습니다.
세 수 \(a,b,c\)에 대하여 다음이 성립합니다:
\(\quad\)\(a \times (b + c)=a\times b + a\times c\)
\(\quad\)\((a + b) \times c = a \times c + b \times c\)
분배법칙은 왼쪽 변에서 오른쪽 변으로 가는 것뿐만 아니라, 오른쪽 변에서 왼쪽 변으로 가는 것도 분배법칙입니다.
예를 들어, 다음은 연산을 생각해 보십시오:
\(\quad\)\(4 \times \left\{3+(-6)\right\} = 4 \times 3 + 4\times (-6)\)
이 연산을 위와 같이 분배법칙을 적용해서 계산하는 것을 좋은 선택이 아닙니다. 그것보다는 다음과 같이 연산하는 것이 더 일반적입니다:
\(\quad\)\(4 \times \left\{3+(-6)\right\} = 4 \times (-3) = -12\)
다른 예제로서, 다음 연산을 생각해 보십시오:
\(\quad\)\(\displaystyle 15 \times \left(-\frac{5}{3}+\frac{2}{5}\right)\)
이런 연산은 괄호 안의 분수 계산이 통분 후에 이루어져야 하기 때문에, 귀찮을 수 있습니다. 그것보다는 괄호 안의 분모의 최소공배수의 배수가 괄호 밖에서 곱해지기 때문에, 분배법칙을 적용한 식이 훨씬 쉽게 느껴질 수 있습니다:
\(\quad\)\(\begin{align}
15 \times \left(-\frac{5}{3}+\frac{2}{5}\right) & = 15 \times \left(-\frac{5}{3}\right) + 15 \times \frac{2}{5} \\
& = (-25) + 6 = -19 \\
\end{align}\)
보통, 위의 연산에서, 첫 번째 분배법칙을 적용한 식은 잘 쓰지 않고, 분배법칙과 곱셈을 함께 수행한 두 번째 줄로 바로 쓰는 것이 일반적입니다.
