(중학교) 일차부등식과 연립일차부등식

부등식은 절대부등식과 조건부등식으로 나뉩니다. 보통, 특별히 언급하지 않고, 부등식이라는 용어는 몇 개의 값에 대해 참이 되는 조건부등식을 참조합니다.

한편, 방정식은 몇 개의 값을 결정, 예를 들어 일차방정식 \(x=2\)는 하나의 값을 결정하고, 부등식은 값과 방향을 결정, 예를 들어, \(x>2\)는 2라는 값보다 크다를 참조합니다.

부등식을 푸는 과정은 2단계로 생각될 수 있습니다. 부등식은 부등호를 등호로 바꾸어 방정식을 풀고, 큰지 작은지 여부를 결정하는 과정으로 나눌 수 있습니다.

예를 들어, 부등식 \(2x+1<9\)은 다음 과정을 거쳐 풀 수 있습니다:

물론, 부등식은 크거나 같다, 작거나 같다와 같이 방정식을 포함하는, 예를 들어, \(2x+1 \le 9\)와 같은 부등식이 있으며, 푸는 과정은 변함없고, 단지, 해를 표현할 때, 방정식의 해를 같이 표현하도록, \(x \le 4\)로 표시해야 합니다.

부등식을 푸는 또 다른 방법은 방정식처럼 대수적 조작을 하는 것입니다:

방정식과 달리 부등식에서 주의할 점은, 부등식의 양쪽 변에 양수를 곱하면, 부등호의 방향이 바뀌지 않고, 음수를 곱하면, 부등호의 방향이 바뀐다는 점입니다.

게다가, 부등식은 크거나 작은 것 모두를 포함하므로, 대체로 무수히 많은 해를 가집니다.

이때, 구하려는 미지수를 제한함으로써, 몇 개의 해로 줄일 수 있습니다. 예를 들어, 위의 예제에서, 자연수 \(x\)에 대해 부등식을 풀면, 해는 \(x=1,2,3\)으로 결정됩니다.

부등식의 기본 성질과 일차부등식의 풀이

일차부등식의 풀이는 위의 간단한 예제에서 소개했으며, 여기에 사용된 부등식의 기본 성질은 아래와 같습니다:

\(a<b\,\)이면, \(a+c<b+c,\;a-c<b-c\) : 부등식의 양쪽 변에 같은 숫자를 더하거나 빼도, 부등호의 방향은 바뀌지 않습니다.
\(a<b, c>0\,\)이면, \(ac < bc,\;\frac{a}{c} < \frac{b}{c}\) : 부등식의 양쪽 변에 양수를 곱하거나 나누어도 부등호의 방향은 바뀌지 않습니다.
\(a<b, c<0\,\)이면, \(ac > bc,\;\frac{a}{c} > \frac{b}{c}\) : 부등식의 양쪽 변에 음수를 곱하거나 나누면 부등호의 방향은 바뀝니다.

위의 성질을 사용하여, 다른 예제를 풀어보면,

한편, 부등식의 해는 미지수를 특정 집합으로 제한하지 않는 한, 대체로 무한히 많아서, 시각적으로 수직선에 표시할 수 있습니다.

그림과 같이 부등식을 수직선에 표시하며, 등호가 없으면, 경계 지점을 빈 원으로, 등호가 있으면, 경계 지점을 채워진 원으로 그립니다.

연립일차방정식과 마찬가지로, 두 개의 일차부등식을 동시에 만족하는 \(x\)의 값을 구하는 것을 연립일차부등식 또는 연립부등식이라고 말합니다.

예를 들어,
\(\quad\)\(\left\{\begin{align}
& 10x > 450 & \cdots(1) \\
& 9x+36 \le 450 & \cdots(2) \\
\end{align}\right.\)

위의 연립부등식의 해는 각각의 해를 구한 후에, 그것을 수직선에 표시하여 공통으로 만족하는 범위입니다.

먼저, 식 (1)의 해는 양쪽 변을 10으로 나누어서 다음과 같이 구해집니다:

\(\quad\)\(x > 45\)

그런-다음 식 (2)의 해는 다음 과정을 통해 구해질 수 있습니다:

\(\quad\)\(9x \le 414\)

\(\quad\)\(x \le 46\)

두 해를 수직선 위에 나타냅니다.

따라서, 공통부분인 연립부등식의 해는 \(45< x \le 46\)입니다.

일차부등식과 관련된 해법은 위에 모두 소개되어 있습니다.

활용 문제는 주어진 문장을 읽고 위의 예제와 같은 식을 만드는 과정이 필요합니다.