원의 현에서 설명된 것처럼, 원주 위의 두 점을 연결한 선분은 현이라고 하고, 반면에 원주 위의 두 점을 원주를 따라 연결한 선, 즉 원주의 일부는 호라고 합니다.
원주 위의 두 점을 직선으로 연결한 현은 \(\overline{\rm{AB}}\)로 나타내거나, 간단히 \(\rm{AB}\)로 나타내고, 호는 둥글게 나타내야 하지만, 이 문서와 다움 위키의 문서에서는 \(\widehat{\rm {AB}}\)로 나타냅니다.
한편, 원주 위의 두 점에서 원의 중심에 각각 연결해서 만들어지는 각을 중심각이라고 하고, 그 사이의 한 점에 각각 연결해서 만들어지는 각을 원주각이라고 말합니다.
이때, 중심각은 원의 중심이 한 점이므로, 작은 것과 큰 것, 또는 서로 같은 2개로 결정되지만, 원주각은 호를 형성하는 두 점을 제외하고 원주 위의 임의의 점을 연결할 수 있으므로, 무수히 많습니다.
그럼에도 불구하고, 같은 원주에 대해 원주각의 크기의 2배는 중심각의 크기와 같습니다.
하나의 호가 결정되면, 호에 대해 원주각을 나타내는 위치는 크게 3가지로 분류될 수 있습니다.
경우 1에서, 호 \(\widehat{\rm {AB}}\)는 2개의 호 \(\widehat{\rm {AQ}}\)와 \(\widehat{\rm {QB}}\)로 나누어집니다.
삼각형 \(\triangle\rm{AOP}\)는 이등변 삼각형이고, 삼각형의 한 외각의 크기는 이웃하지 않은 두 내각의 크기의 합과 같습니다. 따라서, \(\angle\rm{AOQ}=2\angle\rm{APO}\)입니다.
같은 이유로, \(\angle\rm{BOQ}=2\angle\rm{BPO}\)입니다.
위의 두 사실로부터, 다음임을 알 수 있습니다:
\(\quad\)\(\begin{align}
\angle\rm{AOB} & = \angle\rm{AOQ} + \angle\rm{BOQ} \\
& = 2\angle\rm{APO} + 2\angle\rm{BPO} \\
& = 2 (\angle\rm{APO} + \angle\rm{BPO}) \\
& = 2 \angle\rm{APB}
\end{align}\)
경우 2에서, 삼각형의 한 외각의 크기는 이웃하지 않은 두 내각의 크기의 합과 같음과 이등변 삼각형의 성질로부터, 증명이 가능합니다:
\(\quad\)\(\begin{align}
\angle\rm{AOB} & = \angle\rm{APB} + \angle\rm{OBP} \\
& = 2\angle\rm{APB} \quad (\because \angle\rm{APB} = \angle\rm{BPO}) \\
\end{align}\)
경우 3에서, 이전의 경우 1과 경우 2를 활용해서 증명할 수 있습니다.
\(\quad\)\(\angle\rm{QOB} = 2\angle\rm{QPB}\) : 경우 2
\(\quad\)\(\angle\rm{QOA} = 2\angle\rm{QPA}\) : 경우 1
위의 두 사실로부터,
\(\quad\)\(\begin{align}
\angle\rm{AOB} & = \angle\rm{QOB} - \angle\rm{QOA} \\
& = 2\angle\rm{QPB} - 2\angle\rm{QPA} \\
& = 2(\angle\rm{QPB} - \angle\rm{QPA}) \\
& = 2\angle\rm{APB} \\
\end{align}\)
위의 세 경우 모두에서, 원주각의 크기의 2배는 중심각의 크기와 같습니다.
한편, 위와 다르게 중심각이 \(180^{\rm o}\) 이상인 경우도 있습니다.
그림처럼, 보조작도를 하면, 위의 경우 1의 증명과 똑같이 증명될 수 있습니다.
삼각형 \(\triangle\rm{AOP}\)는 이등변 삼각형이고, 삼각형의 한 외각의 크기는 이웃하지 않은 두 내각의 크기의 합과 같습니다. 따라서, \(\angle\rm{AOQ}=2\angle\rm{APO}\)입니다.
같은 이유로, \(\angle\rm{BOQ}=2\angle\rm{BPO}\)입니다.
위의 두 사실로부터, 다음임을 알 수 있습니다:
\(\quad\)\(\begin{align}
\angle\rm{AOB} & = \angle\rm{AOQ} + \angle\rm{BOQ} \\
& = 2\angle\rm{APO} + 2\angle\rm{BPO} \\
& = 2 (\angle\rm{APO} + \angle\rm{BPO}) \\
& = 2 \angle\rm{APB}
\end{align}\)
비록 중심각이 \(180^{\rm o}\) 이상이더라도, 원주각의 크기의 2배가 중심각의 크기와 같습니다.
