다항식의 사칙연산, 즉, 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈에 대해 설명합니다.
다항식의 덧셈과 뺄셈
다항식과 관련된 용어는 다항식의 용어를 참조하십시오.
다항식은 단항식 또는 단항식의 합 (또는 차)로 이루어진 식을 말합니다.
두 다항식의 덧셈과 뺄셈은 오직 동류항끼리 연산이 가능합니다. 동류항은 단항식의 문자 부분이 완전히 동일한 단항식을 말합니다.
예를 들어, \(3xy, -2xy\)는 동류항이지만, \(3xy^2, -2xy\)는 동류항이 아닙니다.
어쨌든, 두 다항식의 덧셈은 동류항끼리 분배법칙을 사용하여 단순화될 수 있습니다:
\(\quad\)\((3x+4y)+(2x-3y)=(3+2)x+(4-3)y=5x+y\)
뺄셈은, 동류항끼리 분배법칙이 이루어지지고, 뺄셈 기호 뒤의 부호를 반대로 바뀌어 덧셈으로 계산할 수도 있습니다:
\(\quad\)\((3x+4y)-(2x-3y)=(3-2)x+(4+3)y=x+7y\)
\(\quad\)\((3x+4y)-(2x-3y)=(3x+4y)+(-2x+3y)=(3-2)x+(4+3)y=x+7y\)
어떤 방식으로 생각하더라도 결과는 동일합니다.
위에서는 모든 문자가 지수 1을 갖는 경우였으며, 지수가 2이상인 경우도 마찬가지 방법으로 이루어집니다. 예를 들어,
\(\quad\)\((5x^2-4x+2)+(2x^2+3x-5)=(5+2)x^2+(-4+3)x+(2-5)=7x^2-x-3\)
\(\quad\)\((5x^2-4x+2)-(2x^2+3x-5)=(5-2)x^2+(-4-3)x+(2+5)=3x^2-7x+7\)
다항식의 곱셈과 나눗셈
단항식과 다항식의 곱셈은 분배법칙을 사용하여 계산됩니다. 예를 들어,
\(\quad\)\(3x(2x-3y)=3x\times 2x - 3x \times 3y=6x^2-9xy\)
이와 같이, 둘 이상의 다항식을 곱하여 하나의 다항식으로 나타내는 것을 전개한다라고 말합니다.
전개할 때, 실수가 부호에서 많이 발생할 수 있으므로, 부호끼리, 숫자끼리, 문자끼리 순으로 계산을 별도로 한 후에 하나의 항으로 만드는 습관이 필요할 수 있습니다.
다항식 사이의 나눗셈은 보다 복잡할 수 있어서, 여기서는 다항식을 단항식으로 나누는 것을 다룹니다. 고등학교 교과 과정에서, 다항식의 나눗셈은 다항식의 곱셈 나눗셈을 참조하십시오.
예를 들어,
\(\quad\)\(\begin{align}
(6xy+4y) \div 2y & = \frac{6xy+4y}{2y} \\
& = \frac{6xy}{2y} + \frac{4y}{2y} \\
& = 3x + 2
\end{align}\)
물론, 보다 일반적으로 다항식 긴 나눗셈을 통해 다항식 사이의 나눗셈을 수행하지만, 나누는 식이 단항식일 때에는 위와 같이 곱셈으로 바꾸어 계산하는 것이 보다 간편합니다.
곱셈 공식
둘 이상 항을 가진 다항식의 곱셈은 FOIL method를 통해 이루어집니다. 세 개 이상의 항을 가지면, 하나를 두고 나머지를 다른 문자로 치환해서 FOIL method를 적용한 후, 원래 문자로 치환하고, 이런 식으로 계속해서 FOIL method을 적용할 수 있습니다.
이런 전개 과정에서 자주 이용되는 것들이 있으며, 이런 것들을 곱셈 공식 또는 전개 공식이라고 합니다.
이런 전개 공식은 교환, 결합, 분배 법칙을 이용하여 결과를 도출할 수 있지만, 빠른 결과를 얻기 위한 암기를 하기도 합니다. 어쨌든, 충분히 연습이 되기 전에는 전개 과정을 꼭 확인하시기 바랍니다.
먼저, 두 항으로 이루어진 다항식의 제곱을 전개하는 과정입니다:
\(\quad\)\(\begin{align}
(a+b)^2 & = (a+b)(a+b) \\
& = a^2+ab+ba+b^2 \\
& = a^2 + 2ab +b^2
\end{align}\)
\(\quad\)\(\begin{align}
(a-b)^2 & = (a-b)(a-b) \\
& = a^2-ab-ba+b^2 \\
& = a^2 - 2ab +b^2
\end{align}\)
두 번째 전개 결과는 첫 번째 전개를 통해 이루어질 수도 있습니다:
\(\quad\)\(\begin{align}
(a-b)^2 & = (a+(-b))^2 \\
& = a^2 + 2a(-b) +(-b)^2 \\
& = a^2 - 2ab + b^2
\end{align}\)
물론, 위의 두 식은 기본 형태를 말하는 것으로써, 두 항으로 이루어진 모든 식은 위의 공식으로 전개될 수 있습니다. 예를 들어, \((2x-3y)^2\)는 \(2x=a,\;3y=b\)로 놓으면, 위의 공식을 이용할 수 있습니다: 물론, 이런 변수의 변경 과정은 머릿속에서 자연스럽게 이루어질 것이므로, 이것과 같이 바꾸어서 계산하지는 않습니다.
\(\quad\)\(\begin{align}
(2x-3y)^2 & = (a-b)^2 \\
& = a^2 - 2ab +b^2 \\
& = (2x)^2 - 2(2x)(3y) + (3y)^2 \\
& = 4x^2 - 12xy + 9y^2
\end{align}\)
다른 형식 중에 자주 사용하는 것은 보통 합-차 공식이라고 부르는 것으로써, 다음과 같이 전개됩니다:
\(\quad\)\(\begin{align}
(a+b)(a-b) & = a^2 -ab + ba -b^2 \\
& = a^2 -b^2
\end{align}\)
보다 다항식에 자주 사용되는 식은 미지수 \(x,y,z\)와 상수로 사용되는 문자, \(a,b,c,\cdots\)를 함께 갖는 식으로써 다음 둘을 자주 사용합니다:
\(\quad\)\(\begin{align}
(x+a)(x+b) & = x^2 + bx+ax+ab \\
& = x^2 +(a+b)x+ab
\end{align}\)
\(\quad\)\(\begin{align}
(ax+b)(cx+d) & = acx^2 + adx+bcx+bd \\
& = acx^2 +(ad+bc)x+bd
\end{align}\)
정리하자면, 곱셈공식의 일부는 다음과 같습니다:
\(\quad\)\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\(\quad\)\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
\(\quad\)\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)
\(\quad\)\((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\)
\(\quad\)\((ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd\)
