(중학교) 다면체와 회전체

이전 과정에서, 이-차원 평면에서 그려지는 도형 중에서 내각의 크기가 180도보다 작은 볼록 다각형에 대해 알아보았습니다.

이제, 차원을 하나 더 늘려서 삼-차원 공간, 즉, 우리가 생활하고 있는 공간에서 그려지는 여러 도형에 대해 알아보고자 합니다.

다면체

공간에 놓이는 입체 도형 중에서 같은 평면에 놓이는 부분, 예를 들어, 바닥에 놓으면 닿이는 부분은 면이라고 합니다. 이런 면이 곡선이 없는 다각형으로 이루어진 입체 도형을 다면체라고 합니다.

물론 다면체는 오목한 모양을 가질 수 있지만, 여기서는 안으로 들어간 형태를 가지지 않는 볼록한 다면체를 다룰 것입니다.

다면체는 그 도형을 둘러싸고 있는 면의 개수에 따라, 사면체, 오면체, 육면체, 등이라고 말합니다. 예를 들어, 사면체는 삼각형 4개로 만들 수 있고 오면체는 삼각형 2개와 사각형 3개로 만들 수 있고, 육면체는 사각형 6개로 만들 수 있습니다.

한편, 우리는 다면체를 그것들의 면을 유지하고 가장자리 부분을 잘라서 하나의 평면 도형으로 만들 수 있는데, 이것을 전개도라고 합니다. 전개도는 거꾸로 이것을 적절히 붙여서 다면체를 구성할 수 있기 때문에 설계도의 개념을 포함하고 있습니다.

기둥

기둥은 평면에서 만들어진 다각형을 수직 방향으로 같은 모양으로 같은 높이만큼 쌓아올려서 만든 도형입니다.

바닥에 쌓아올릴 때, 삼각형을 쌓아 올리면 삼각기둥, 사각형을 쌓아 올리면 사각기둥 등이라고 말합니다. 이런 도형 중에 몇 개는 특별한 이름을 가지기도 합니다. 예를 들어, 사각기둥은 그 형태에 따라 정육면체, 직육면체라는 이름을 갖기도 합니다.

한편, 바닥에 놓인 원을 쌓아 올리면 원기둥이 되지만, 다면체는 아닌데, 왜냐하면 다면체는 곡면으로 이루어지지 않기 때문입니다.

아래 그림에서, 삼각기둥, 사각기둥, 등이고 마지막이 원기둥입니다.

각뿔

기둥과는 다르게 바닥에 놓인 다각형의 각 꼭짓점을 높이에 해당하는 수직 방향에 있는 점에 연결해서 만들어진 도형은 각뿔이라고 합니다.

바닥에서 삼각형이 놓이면 삼각뿔, 사각형이 놓이면 사각뿔 등이라고 말합니다. 이런 도형 중에 몇 개는 특별한 이름을 가지기도 하며, 바닥에 정규 삼각형을 두고 옆면에 만들어지는 삼각형들도 모두 정규 삼각형이 되도록 만들어진 삼각뿔은 정규 사면체라고 말합니다.

한편, 바닥에 놓인 원의 원주를 수직 방향으로 한 점에 연결하면 원뿔이라고 말하며, 각뿔 형태는 아닙니다.

아래 그림에서, 삼각뿔, 사각뿔, 등이고 마지막이 원뿔입니다.

각뿔대

기둥은 바닥과 수평 방향으로 중간을 자르면, 높이가 작아진 같은 기둥이 됩니다. 반면에 각뿔은 같은 방법으로 자르면 두 개의 입체 도형이 생기며, 위의 것은 같은 작은 각뿔이 되고, 아래 부분은 각뿔대라고 말합니다.

예를 들어, 사각뿔을 자르면, 윗 부분은 작은 사각뿔이 되고, 아래 부분은 사각뿔대가 됩니다.

아래 그림은 순서대로 사각뿔대, 오각뿔대, 원뿔대입니다:

정규 다면체

다면체 중에서 바닥 면, 윗 면, 옆 면이 모두 합동인 정규 다각형으로 이루어진 입체 도형을 정규 다면체, 줄여서 정다면체라고 말합니다.

정규 다면체는 아홉 개가 있지만, 여기서 다루는 볼록 정규 다면체는 다섯 개이고, 남은 넷은 별 정규 다면체입니다.

다섯 개의 볼록 정규 다면체는 다음과 같습니다:

• 정규 사면체 : 한 면이 정규 삼각형으로 이루어져 있고, 꼭짓점당 3개의 면과 연결되어 있습니다.
• 정규 육면체 : 한 면이 정규 사각형으로 이루어져 있고, 꼭짓점당 3개의 면과 연결되어 있습니다.
• 정규 팔면체 : 한 면이 정규 삼각형으로 이루어져 있고, 꼭짓점당 4개의 면과 연결되어 있습니다.
• 정규 십이면체 : 한 면이 정규 오각형으로 이루어져 있고, 꼭짓점당 3개의 면과 연결되어 있습니다.
• 정규 이십면체 : 한 면이 정규 삼각형으로 이루어져 있고, 꼭짓점당 5개의 면과 연결되어 있습니다.

참조: 넷의 별 정규 다면체는 아래와 같습니다:

전개도

우리는 입체 도형을 그것의 가장자리를 잘라서 하나의 평면 도형으로 만들고자 합니다. 전개도는 입체도형의 가장자리를 잘라서 이어진 하나의 평면도형을 만든 것입니다. 이 말은 자른 순서를 역순으로 가장자리를 접합하면 원래의 입체 도형을 만들 수 있음을 의미합니다.

게다가, 우리가 입체 도형을 만들려고 생각해 보십시오. 이때, 조건은 한 조각으로 만든 후에 접어서 입체 도형을 만들어야 한다는 것입니다. 이 경우에서, 위에서 만든 전개도를 상상해서 평면에 외곽선과 접어야 하는 가장자리를 표시해서 설계도를 만들 수 있습니다.

예를 들어, 정규 십이면체의 전개도는 다음 모양입니다:

한편, 우리가 서로 다른 전개도를 만들 수도 있을 것입니다. 예를 들어, 정규 육면체의 전개도는 다음과 같은 모양 중에 하나입니다:

게다가, 우리는 전개도로부터 그것의 만들기 위해 필요한 재료의 주면 길이 또는 넓이를 계산할 수 있습니다.

회전체

평면에 놓이는 종이와 같은 재료는 입체 도형을 만들기 위해, 위에서 처럼, 전개도를 만들고 그런-다음 특정 가장자리를 붙여서 제작될 수 있습니다.

반면에, 속이 꽉찬 딱딱한 재표, 예를 들어, 돌과 같은 재표는 직선 방향으로 자르기는 쉬워서 아마도 주로 직육면체 형태로 자를 수 있을 것입니다. 그런-다음 원기둥 같은 형태를 만들기 위해 외부를 원형이 되도록 깎을 수 있습니다.

이때, 직육면체 형태의 딱딱한 재료를 축의 중앙에 고정시키고 축과 함께 재료가 회전되고 있을 때, 축에서 가장 먼 부분의 재료에 칼을 접하게 하고, 아주 조금씩 안쪽으로 들어감으로써 외부를 조금씩 깎아 원하는 모양을 만듭니다. 이런 과정이 선반 또는 밀링의 기초가 됩니다.

이와는 반대로, 공간에 젤리 같은 말랑말랑한 물질이 가득 차 있다고 생각해 보십시오. 이것에 특정 모양을 꽂아서 회전하면, 회전으로 인해 입체 도형이 만들어지는데, 안쪽의 구성과 상관없이 축에서 먼 가장자리의 모양에 따라 회전에 의해 만들어진 도형이 결정됩니다.