(중학교) 다각형

다각형은 직선의 일부인 선분으로 구성된 닫힌 도형이며, 경계 부분을 지칭하기도 하지만, 경계와 내부의 영역을 포함해서 지칭하기도 합니다.

이때, 경계 부분은 가장자리 또는 변이라고 불리고, 변의 숫자에 따라 그의 이름이 지정되는데, 예를 들어, 셋의 변을 갖는 삼각형, 넷의 변을 갖는 사각형, $n$ 변을 갖는 $n$-각형으로 참조됩니다.

한편, 다각형은 가장 쉽게 볼록 다각형과 비-볼록 다각형으로 나뉘어 집니다. 볼록 다각형은 아래에서 설명되는 모든 내부 각도가 180도보다 작은 것으로 이루어지고, 그렇지 않으면 비-볼록 다각형입니다. 어쨌든, 여기서는 볼록 다각형에 대해 설명할 것입니다.

또한, 두 변이 만나는 점은 꼭짓점이라고 불리며, 꼭짓점에서 다각형의 안쪽 영역에 생기는 각도는 내부 각도(internal angle), 줄여서 내각이라고 불립니다. 반면에, 꼭짓점에서 다각형 외부에 만들어지는 각도는 외부 각도로 참조되지 않음에 주의하십시오.

다각형에서 외부 각도(external angle), 줄여서 외각은 꼭짓점이 만들어지는 두 변 중에 하나의 연장선과 다른 변 사이의 각도를 참조합니다.

따라서, 한 꼭짓점에서 내부 각도와 외부 각도의 합은 180도로써, 서로 보충 관계에 있습니다. 몰론, 외부 각도는 어떤 변을 연장하는냐에 따라 둘이 만들어지지만, 서로 맞꼭지각이기 때문에 항상 같습니다.

내부 각도와 외부 각도의 성질

평면에서 가장 단순한 다각형은 삼각형입니다. 삼각형의 내부 각도의 합은 얼마일까요? 

먼저, 이걸 해결하기 전에, 이미 추론할만한 것이 있습니다. 삼각형은 꼭짓점이 3개 있고, 꼭짓점 당 내부 각도와 외부 각도가 1개씩 있고, 내부 각도와 외부 각도의 합은 항상 180도이고, 따라서, 내부 각도 3개와 외부 각도 3개의 총합은 180×3, 즉 540도라는 것을 알 수 있습니다.

이제, 내부 각도의 합을 알아보기 위해, 한 꼭짓점에 연결된 두 변 중에 임의의 하나를 선택해서 연장합니다. 그리고, 해당 꼭짓점에 연결되지 않은 변과 나란하게 해당 꼭짓점에서 광선 (반직선)을 그립니다. 

그런-다음 좀 더 이해하기 쉽도록 꼭짓점과 연장선, 반직선 위의 점을 그림처럼 문자를 부여하면, 표시된 두 내부 각도는 각도 엇각과 동위각에 위해 둘로 나뉜 외부 각도와 같습니다. 즉,

$$$\mathrm{\angle }\mathrm{A}=\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{E}$ (엇각)

$$$\mathrm{\angle }\mathrm{B}=\mathrm{\angle }\mathrm{E}\mathrm{C}\mathrm{D}$ (엇각)

이것으로부터 내부 각도의 합은 다음과 같이 구해집니다:

$$$\begin{array}{rl}\mathrm{\angle }\mathrm{A}+\mathrm{\angle }\mathrm{B}+\mathrm{\angle }\mathrm{C}& =\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{E}+\mathrm{\angle }\mathrm{E}\mathrm{C}\mathrm{D}+\mathrm{\angle }\mathrm{C}\\ & =\mathrm{\angle }\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\\ & ={180}^{\mathrm{o}}\end{array}$

게다가, 외부 각도는 둘로 나뉘어서 연결된 내부 각도를 제외한 두 내부 각도와 각각 같습니다. 따라서,

$$$\begin{array}{rl}\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D}& =\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{E}+\mathrm{\angle }\mathrm{E}\mathrm{C}\mathrm{D}\\ & =\mathrm{\angle }\mathrm{A}+\mathrm{\angle }\mathrm{B}\end{array}$
한편, 셋의 내부 각도와 셋의 외부 각도의 합이 540도이고, 내부 각도의 합이 180도이므로, 삼각형의 외부 각도는 360도임을 알 수 있습니다.

일반화

이제, 사각형을 생각해 보십시오. 

사각형은 대각선을 그으면, 둘의 삼각형으로 나뉩니다. 따라서, 사각형의 내부 각도는 180도×2임을 알 수 있습니다.

사각형의 외부 각도와 내부 각도의 총합은 180도×4이므로, 사각형의 외부 각도의 합은 180도×2임을 알 수 있습니다.

이제, 오각형을 생각해 보십시오.

오각형은 한 꼭짓점에서 둘의 대각선을 그을 수 있으므로, 셋의 삼각형으로 나뉩니다. 따라서 오각형의 내부 각도는 180도×3임을 알 수 있습니다.

오각형의 외부 각도와 내부 각도의 총합은 180도×5이므로, 사각형의 외부 각도의 합은 180도×2임을 알 수 있습니다.

이것을 관찰해 보면, 외부 각도의 합은 180도×2로 바뀌지 않음을 알 수 있습니다.

내부 각도는, 내부에 만들어지는 삼각형의 개수와 관련되므로,

• 육각형은 삼각형이 4개
• 칠각형은 삼각형이 5개
• $n$-각형은 삼각형이 $n-2$개 만들어집니다.

따라서, $n$-각형의 내부 각도는 $(n-2)\times 180$도이고, 외부 각도는 180도×2임을 알 수 있습니다. 여기서 $n$은 3 이상의 자연수입니다.

한편, $n$-각형에서 서로 다른 대각선은 몇 개나 그릴 수 있을까요?

이전에 삼각형의 개수를 구할 때를 생각해 보면, 하나의 꼭짓점을 선택했을 때, 나뉘는 삼각형의 개수보다 하나 적게 대각선을 그릴 수 있음을 쉽게 알 수 있습니다. 따라서, 하나의 꼭짓점을 선택했을 때,

• 삼각형은 0개
• 사각형은 1개
• 오각형은 2개
• $n$-각형은 $n-3$개를 그릴 수 있습니다.

여기에, 꼭짓점을 선택할 수 있는 개수가 $n$개이므로, 전체 $n\times (n-3)$개의 대각선을 그릴 수 있을 것으로 보이지만, 오답입니다.

왜냐하면 이유는 다음과 같습니다.

예를 들어, 오각형의 꼭짓점은 5개이고, 1,2,3,4,5 순으로 번호를 매겼다고 생각해 보십시오.

먼저, 1번 꼭짓점을 선택했을 때, 2,5는 선분으로 연결되어 있으므로, 3,4와 연결할 수 있는 둘의 대각선이 그려집니다.

그런-다음, 3번의 꼭짓점을 선택했을 때, 2,4가 선분으로 연결되어 있으므로, 1,5와 연결할 수 있는 둘의 대각선이 그려집니다.

즉, 1번 선택 3번 연결, 3번 선택 1번 연결과 같이 항상 둘의 같은 대각선이 만들어지므로, $n$-각형의 서로 다른 대각선의 개수는 다음과 같습니다:

$$${\displaystyle \frac{n(n-3)}{2}}$.