(번역) Vanish at infinity

Original article: w:Vanish at infinity

 

수학(mathematics)에서, 함수(function)는 만약 입력이 경계 없이 증가함에 따라 그것의 값이 0에 접근하면 무한대에서 사라진다(vanish at infinity)고 말합니다. 노름된 벡터 공간(normed vector spaces) 위에 정의된 함수에 적용되는 정의와 지역적 컴팩트 공간(locally compact spaces) 위에 정의된 함수에 적용되는 다른 정의로 이것을 정의하기 위한 두 가지 다른 방법이 있습니다. 이 차이를 제외하고, 이들 두 개념은 무한대에서 점을 더하고, 함수가 무한대에 접근할 때 함수의 값을 임의적으로 영에 가까워지도록 요구하는 직관적인 개념에 해당합니다. 이 정의는 (실제) 무한대에서 점(point at infinity)을 더함으로써 많은 경우에 형식화될 수 있습니다.

Definitions

노름된 벡터 공간(normed vector space) 위에 함수는 만약 입력이 경계 없이 성장할 때 함수가 0에 접근하면 (즉, $\Vert x\Vert \to \mathrm{\infty }$일 때 $f(x)\to 0$이면) 무한대에서 사라진다고 말합니다. 또는, 실수 직선 위의 함수의 특정 경우에서,

${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0.}$

예를 들어, 실수 직선(real line) 위에 정의된 다음 함수는

${\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+1}}$ 

무한대에서 사라집니다.

대안적으로, 지역적으로 컴팩트 공간(locally compact space) 위에 함수 $f$는 만약 임의의 양수 ε가 주어졌을 때, 점 $x$가 $K$의 외부에 놓일 때마다 다음임을 만족하는 컴팩트(compact) 부분집합 $K$가 존재하면 무한대에서 사라집니다:

$\Vert f(x)\Vert <\epsilon$

다시 말해서, 각 양수 ε에 대해, 집합 $\{x\in X:\Vert f(x)\Vert \ge \epsilon \}$은 컴팩트 클로저를 가집니다. 주어진 지역적 컴팩트 공간 $\mathrm{\Omega }$에 대해, $\mathbb{R}$ 또는 $\mathbb{C}$에 있는 $\mathbb{K}$에서 평가된 다음 함수의 집합(set)은,

$f:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{K}$

점-별 스칼라 곱셈(scalar multiplication)과 덧셈(addition)에 관한 $\mathbb{K}$-벡터 공간(vector space)을 형성하며, 종종 $C_0(\mathrm{\Omega })$에 의해 표시됩니다.

예제로서, 다음 함수는 무한대에서 사라집니다:

${\displaystyle h(x,y)=\frac{1}{x+y}}$

여기서 $x$와 $y$는 1보다 크거나 같은 실수(reals)이고 ${\mathbb{R}}_{\ge 1}^2$ 위에 점 $(x,y)$에 해당합니다.

노름된 공간(normed space)은 지역적 컴팩트인 것과 그것이 유한-차원인 것은 필요충분 조건이므로 이 특별한 경우에서, "무한대에서 사라지는" 함수의 두 가지 다른 정의가 있습니다. 두 정의는 서로 일치하지 않을 수 있습니다: 만약 무한 차원 바나흐 공간(Banach space)에서 $f(x)=\Vert x{\Vert }^{-1}$이면, $f$는 $\Vert f(x)\Vert \to 0$ 정의에 의해 무한대에서 사라지지만, 컴팩트 집합 정의에 의해 사라지지 않습니다.

Rapidly decreasing

개념을 다듬으면, 무한대에서 함수가 사라지는 율(rate of vanishing)을 더 자세히 볼 수 있습니다. 수학적 해석학(mathematical analysis)의 기본 직관 중 하나는 푸리에 변환(Fourier transform)이 매끄러움(smoothness) 조건을 무한대에서 사라지는 율 조건과 교환한다는 것입니다. 부드럽게 된 분포 이론의 빠르게 감소하는 검정 함수는 다음과 같은 평활 함수입니다.

완화된 분포(tempered distribution) 이론의 빠르게 감소하는 테스트 함수는 $|x|\to \mathrm{\infty }$일 때 모든 $N$에 대해 다음이고, 모든 그것들 부분 도함수(partial derivatives)도 같은 조건을 만족시키는 매끄러운 함수(smooth functions)입니다:

${\displaystyle O\left(|x{|}^{-N}\right)}$

이 조건은 완화된 분포의 대응하는 분포 이론(distribution theory)이 같은 속성을 가지도록 푸리에 변환 아래에서 자기-이중(self-dual)이 되도록 설정됩니다.

See also

• Infinity
• Projectively extended real line
• Zero of a function

Citations

 

• "Function vanishing at infinity - Encyclopedia of Mathematics". www.encyclopediaofmath.org. Retrieved 2019-12-15.
• "vanishing at infinity in nLab". ncatlab.org. Retrieved 2019-12-15.

References

 

• Hewitt, E and Stromberg, K (1963). Real and abstract analysis. Springer-Verlag.