Original article: w:Van Schooten's theorem
네덜란드 수학자 프란스 반 슈텐(Frans van Schooten)의 이름을 따서 지은 반 슈텐의 정리는 등변 삼각형(equilateral triangle)의 속성을 설명합니다. 그것은 다음을 말합니다:
- 그것의 둘레원 위에 점 \(P\) 갖는 등변 삼각형 \(\triangle ABC\)에 대해, 삼각형의 꼭짓점과 \(P\)를 연결하는 세 선분 \(PA, PB, PC\)의 가장 긴 것의 길이는 다른 둘의 길이의 합과 같습니다.
그 정리는 일치순환 사변형(concyclic quadrilateral)에 대해 프톨레마이오스의 정리(Ptolemy's theorem)의 결과입니다. \(a\)를 등변 삼각형 \(\triangle ABC\)의 한 변의 길이로 놓고 \(PA\)를 가장 긴 선분이라고 놓습니다. 삼각형의 꼭짓점은 \(P\)와 함께 일치순환 사변형을 형성하고 따라서 프톨레마이오스의 정리는 다음을 산출합니다:
\(\quad
\begin{align}
& |BC| \cdot |PA| =|AC| \cdot |PB| + |AB| \cdot |PC| \\[6pt]
\Longleftrightarrow & a \cdot |PA| =a \cdot |PB| + a \cdot |PC|
\end{align}
\)
마지막 방정식을 \(a\)로 나누면 반 슈텐의 정리가 됩니다.
References
- Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA, 2010, ISBN 9780883853481, pp. 102–103
- Doug French: Teaching and Learning Geometry. Bloomsbury Publishing, 2004, ISBN 9780826434173 , pp. 62–64
- Raymond Viglione: Proof Without Words: van Schooten′s Theorem. Mathematics Magazine, Vol. 89, No. 2 (April 2016), p. 132
- Jozsef Sandor: On the Geometry of Equilateral Triangles. Forum Geometricorum, Volume 5 (2005), pp. 107–117
External links
- Van Schooten's theorem at cut-the-knot.org
